Conditions de Kuhn-Tucker

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En mathématiques, les conditions de Kuhn-Tucker ou conditions de Karush-Kuhn-Tucker permettent de résoudre des problèmes d'optimisation sous contraintes non-linéaires d'inégalité.

Soient : $f: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ fonction pseudo-concave de n variables (fonction objective) et $g: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ fonction quasi-concave (m représente le nombre de contraintes).

On note $g(X)=(g_i(X))_{1 \le i \le m}$ : la fonction g résume les m contraintes $g i$ .

On suppose que la fonction f et les fonctions $g i$ admettent des dérivées partielles par rapport à chaque variable.

L'objectif est de trouver $X^* \in \mathbb{R}^n$ qui maximise $f(X) \,$ sous contrainte $g(X) \ge 0$ , c'est-à-dire résoudre :

$X^*\in \arg \max_{X \in \mathbb{R}^n} f(X)$

sous contrainte $g(X) \ge 0$ .

Sommaire

1 Première étape : multiplicateurs de Lagrange
2 Deuxième étape : conditions de premier ordre
3 Troisième étape : conditions supplémentaires
- 3.1 Remarques
4 Théorème
5 Article connexe

Première étape : multiplicateurs de Lagrange

Soit $\lambda = (\lambda_i)_{1 \le i \le m} \in \mathbb{R}_+^m$ un vecteur de m réels positifs ou nuls.

On appelle le Lagrangien la fonction :

$L(X, \lambda) = f(X) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(X)$ .

Les $λ i$ sont appelés multiplicateurs de Lagrange associés à la i-ième contrainte.

Deuxième étape : conditions de premier ordre

On considère L comme fonction objective d'un problème de maximisation (en fonction de X) sans contrainte. On écrit les conditions de premier ordre (conditions nécessaires) pour maximiser L en fonction de X :

$\frac{\partial f}{\partial X}(X) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \frac{\partial g_i}{\partial X}(X)=0$ , où l'opérateur $\frac{\partial}{\partial X}$ est le gradient.

Troisième étape : conditions supplémentaires

On écrit les conditions de relâchement supplémentaires ("complementary slackness conditions") et les conditions de positivité (conditions suffisantes) :

$\forall i \in \{1, ..., m\}, \min [\lambda_i, g_i(X)] = 0$ .

Remarques

la troisième étape implique que : $g_i(X)><span class=$ 0 \Rightarrow \lambda_i = 0" border="0"> : si la contrainte i n'est pas saturée, le multiplicateur de Lagrange associé à cette contrainte est nul ;

les conditions de premier ordre et les conditions de relâchement supplémentaires sont appelées conditions de Kuhn-Tucker.

Théorème

$X^*\in \arg \max_{X \in \mathbb{R}^n} f(X)$

sous contrainte $g(X) \ge 0$

si et seulement si $(X^*, \lambda^*) \,$ est solution des conditions de Kuhn-Tucker.

Article connexe

L'article Conditions d'optimalité (dimension finie) explore de manière systématique et consistante les conditions d'optimalité des problèmes d'optimisation sans contrainte, avec contraintes d'égalité ou avec contraintes d'égalité et d'inégalité, non nécessairement convexes.

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Interactions géométrie-analyse	Théorème de Hahn-Banach • Jauge
Analyse convexe	Articles principaux : Ensemble convexe • Fonction convexe Outils et résultats fondamentaux : Conditions de Kuhn-Tucker • Inégalité de Jensen Algorithmique : Méthodes de points intérieurs
Utilisations de la convexité	Inégalités de convexité : Inégalité arithmético-géométrique • Inégalité de Hölder Analyse fonctionnelle : Espace localement convexe • Théorème du point fixe de Schauder Localisation de zéros de polynômes : Théorème de Gauss-Lucas Théorie des nombres : Théorème de Minkowski

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Sommaire

Première étape : multiplicateurs de Lagrange

Deuxième étape : conditions de premier ordre

Troisième étape : conditions supplémentaires

Remarques

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