Théorème de Riesz-Fischer

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Riesz.

En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration, le théorème de Riesz-Fischer dit :

qu'une fonction est de carré intégrable si et seulement si la série de Fourier correspondante converge dans l'espace $L 2$ ;
que l'espace $L p$ est complet.

Ces deux énoncés (avec $p = 2$ dans le second) ont été démontrés en 1907 par le Hongrois Frigyes Riesz^[1] et l'Autrichien Ernst Sigismund Fischer (de)^[2]^,^[3] : Riesz a démontré le premier énoncé et Fischer le second, à partir duquel il a redémontré le premier.

Convergence de la série de Fourier

Le premier énoncé signifie que si la somme partielle de la série de Fourier correspondant à la fonction $f$ est donnée par

$S_N f(x) = \sum_{n=-N}^NF_n \,e^{inx},$

où $F n$ est le $n$ ^ième coefficient de Fourier donné par

$F_n =\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}~\mathrm dx$ ,

alors

$\lim_{n \to \infty} \left \Vert S_n f - f \right \| = 0,$

où $\left \Vert \cdot \right \|$ est la norme $L 2$ qui peut s'écrire pour une fonction $g$

$\left \Vert g \right \| =\sqrt {\int_{ -\pi}^\pi| g |^2 }.$

Inversement, si $(a n)$ est une suite de nombres complexes indexée par l'ensemble des entiers relatifs telle que

$\sum_{n=-\infty}^\infty \left | a_n \right \vert^2 < \infty,$

alors il existe une fonction $f$ de carré intégrable telle que les $a n$ sont les coefficients de Fourier de $f$ .

Ce théorème généralise l'inégalité de Bessel et peut être utilisé pour démontrer le théorème de Parseval pour les séries de Fourier.

Complétude de l'espace $L p$

Pour tout $p > 0$ , l'espace métrique $L p$ est complet. Dans le cas usuel $\scriptstyle 1\le p\le\infty$ , c'est par ailleurs un espace vectoriel normé, donc un espace de Banach ; en particulier si $p = 2$ , c'est un espace de Hilbert.

Démonstration pour $\scriptstyle p\ge1$

Le cas $\scriptstyle p=\infin$ étant immédiat (il s'agit de convergence uniforme en dehors d'un ensemble négligeable), fixons $\scriptstyle 1\le p<\infty$ et une suite de Cauchy $(f n)$ d'éléments de $L p$ .

Elle possède une sous-suite $(g n)$ vérifiant :

$\forall n\in\N,\quad\|g_{n+1}-g_n\|_p<2^{-n},$

et il suffit, pour prouver que $(f n)$ converge, de montrer que $(g n)$ converge. Pour cela, posons

$g=\sum_{n\in\N}|g_{n+1}-g_n|.$

Cette fonction $g$ est mesurable et vérifie (par convergence monotone et inégalité de Minkowski) :

$\|g\|_p\le\sum_{n\in\N}\|g_{n+1}-g_n\|_p<\infty.$

Elle est donc finie presque partout, c'est-à-dire qu'en tout point hors d'un certain ensemble négligeable, la série de fonctions $\scriptstyle\sum_{n\in\N}(g_{n+1}-g_n)$ est absolument convergente, donc convergente. En dehors de cet ensemble négligeable, la suite $(g n)$ converge donc simplement vers une certaine fonction $f$ . On conclut en remarquant que cette fonction $f$ est mesurable et vérifie :

$\|f-g_n\|_p\le\sum_{k\ge n}\|g_{k+1}-g_k\|_p\le2^{-n+1},$

si bien qu'elle appartient à $L p$ et que la suite $(g n)$ converge dans cet espace.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riesz–Fischer theorem » (voir la liste des auteurs)
(en) Richard Beals, Analysis: An Introduction, Cambridge University Press, 2004 (ISBN 978-0-521-60047-7)
(en) John Horváth, On the Riesz-Fischer theorem [PDF]

↑ F. Riesz, « Sur les systèmes orthogonaux de fonctions », dans CRAS, vol. 144, 1907, p. 615–619
↑ E. Fischer, « Sur la convergence en moyenne », dans CRAS, vol. 144, 1907, p. 1022–1024
↑ E. Fischer, « Applications d'un théorème sur la convergence en moyenne », dans CRAS, vol. 144, 1907, p. 1148-1151

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