- Théorème de Riesz-Fischer
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En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration, le théorème de Riesz-Fischer dit :
- qu'une fonction est de carré intégrable si et seulement si la série de Fourier correspondante converge dans l'espace L2 ;
- que l'espace Lp est complet.
Ces deux énoncés (avec p = 2 dans le second) ont été démontrés en 1907 par le Hongrois Frigyes Riesz[1] et l'Autrichien Ernst Sigismund Fischer (de)[2],[3] : Riesz a démontré le premier énoncé et Fischer le second, à partir duquel il a redémontré le premier.
Convergence de la série de Fourier
Le premier énoncé signifie que si la somme partielle de la série de Fourier correspondant à la fonction f est donnée par
où Fn est le nième coefficient de Fourier donné par
- ,
alors
où est la norme L2 qui peut s'écrire pour une fonction g
Inversement, si (an) est une suite de nombres complexes indexée par l'ensemble des entiers relatifs telle que
alors il existe une fonction f de carré intégrable telle que les an sont les coefficients de Fourier de f.
Ce théorème généralise l'inégalité de Bessel et peut être utilisé pour démontrer le théorème de Parseval pour les séries de Fourier.
Complétude de l'espace Lp
Pour tout p > 0, l'espace métrique Lp est complet. Dans le cas usuel , c'est par ailleurs un espace vectoriel normé, donc un espace de Banach ; en particulier si p = 2, c'est un espace de Hilbert.
Démonstration pourLe cas étant immédiat (il s'agit de convergence uniforme en dehors d'un ensemble négligeable), fixons et une suite de Cauchy (fn) d'éléments de Lp.
Elle possède une sous-suite (gn) vérifiant :
et il suffit, pour prouver que (fn) converge, de montrer que (gn) converge. Pour cela, posons
Cette fonction g est mesurable et vérifie (par convergence monotone et inégalité de Minkowski) :
Elle est donc finie presque partout, c'est-à-dire qu'en tout point hors d'un certain ensemble négligeable, la série de fonctions est absolument convergente, donc convergente. En dehors de cet ensemble négligeable, la suite (gn) converge donc simplement vers une certaine fonction f. On conclut en remarquant que cette fonction f est mesurable et vérifie :
si bien qu'elle appartient à Lp et que la suite (gn) converge dans cet espace.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riesz–Fischer theorem » (voir la liste des auteurs)
- (en) Richard Beals, Analysis: An Introduction, Cambridge University Press, 2004 (ISBN 978-0-521-60047-7)
- (en) John Horváth, On the Riesz-Fischer theorem [PDF]
- F. Riesz, « Sur les systèmes orthogonaux de fonctions », dans CRAS, vol. 144, 1907, p. 615–619
- E. Fischer, « Sur la convergence en moyenne », dans CRAS, vol. 144, 1907, p. 1022–1024
- E. Fischer, « Applications d'un théorème sur la convergence en moyenne », dans CRAS, vol. 144, 1907, p. 1148-1151
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