Théorème de Riesz-Fischer

Théorème de Riesz-Fischer
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En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration, le théorème de Riesz-Fischer dit :

Ces deux énoncés (avec p = 2 dans le second) ont été démontrés en 1907 par le Hongrois Frigyes Riesz[1] et l'Autrichien Ernst Sigismund Fischer (de)[2],[3] : Riesz a démontré le premier énoncé et Fischer le second, à partir duquel il a redémontré le premier.

Convergence de la série de Fourier

Le premier énoncé signifie que si la somme partielle de la série de Fourier correspondant à la fonction f est donnée par

S_N f(x) = \sum_{n=-N}^NF_n \,e^{inx},

Fn est le nième coefficient de Fourier donné par

F_n =\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}~\mathrm dx,

alors

\lim_{n \to \infty} \left \Vert S_n f - f \right \| = 0,

\left \Vert \cdot \right \| est la norme L2 qui peut s'écrire pour une fonction g

\left \Vert g \right \| =\sqrt {\int_{ -\pi}^\pi| g |^2 }.

Inversement, si (an) est une suite de nombres complexes indexée par l'ensemble des entiers relatifs telle que

\sum_{n=-\infty}^\infty \left | a_n \right \vert^2 < \infty,

alors il existe une fonction f de carré intégrable telle que les an sont les coefficients de Fourier de f.

Ce théorème généralise l'inégalité de Bessel et peut être utilisé pour démontrer le théorème de Parseval pour les séries de Fourier.

Complétude de l'espace Lp

Pour tout p > 0, l'espace métrique Lp est complet. Dans le cas usuel \scriptstyle 1\le p\le\infty, c'est par ailleurs un espace vectoriel normé, donc un espace de Banach ; en particulier si p = 2, c'est un espace de Hilbert.

Notes et références

  1. F. Riesz, « Sur les systèmes orthogonaux de fonctions », dans CRAS, vol. 144, 1907, p. 615–619 
  2. E. Fischer, « Sur la convergence en moyenne », dans CRAS, vol. 144, 1907, p. 1022–1024 
  3. E. Fischer, « Applications d'un théorème sur la convergence en moyenne », dans CRAS, vol. 144, 1907, p. 1148-1151 

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Riesz-Fischer de Wikipédia en français (auteurs)

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