Théorème de riesz-fischer

Théorème de Riesz-Fischer

En mathématiques, le théorème de Riesz-Fischer dit qu'une fonction est de carré intégrable si et seulement si la série de Fourier correspondante converge dans l'espace $L 2$ .

Cela signifie que si la somme partielle de la série de Fourier correspondant à la fonction $f$ est donnée par

$S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} F_n \,e^{inx},$

où $F n$ est le n^ième coefficient de Fourier donné par

$F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx$ ,

alors

$\lim_{n \to \infty} \left \Vert S_n f - f \right \| = 0,$

où $\left \Vert \cdot \right \|$ est la norme $L 2$ qui peut s'écrire pour une fonction $g$

$\left \Vert g \right \| =\sqrt {\int_{ -\pi}^{\pi} | g |^2 }.$

Inversement, si $\left ( a_n \right ) \quad$ est une suite de nombres complexes indexée par l'ensemble $\Z$ telle que

$\sum_{n=-\infty}^\infty \left | a_n \right \vert^2 < \infty,$

alors il existe une fonction $f$ de carré intégrable telle que les $a n$ sont les coefficients de Fourier de $f$ .

Le théorème de Riesz-Fischer généralise l'inégalité de Bessel et peut être utilisé pour démontrer le théorème de Parseval pour les séries de Fourier.

Le mathématicien hongrois Frigyes Riesz et le mathématicien autrichien Ernst Fischer ont démontré de manière indépendante ce théorème en 1907.

Références

(en) Richard Beals (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
(en) John Horváth. On the Riesz-Fischer theorem [pdf].

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