- Propriété de Bolzano-Weierstrass
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Théorème de Bolzano-Weierstrass
En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.
Sommaire
Énoncé du théorème
Un espace métrique (X,d) est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si et seulement si toute suite à valeurs dans X admet une valeur d'adhérence dans X.
Démonstration
Sens direct
On suppose que de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Soit une suite d'éléments de X. Montrons que admet une valeur d'adhérence.
Notons (où désigne l'adhérence de A).
Posons alors . Si la famille était un recouvrement de X alors par hypothèse on pourrait en extraire un sous recouvrement fini; or est une famille croissante d'ensembles donc mais alors ce qui est exclu car .
n'est donc pas un recouvrement donc , donc
Ce qui montre par définition que admet une valeur d'adhérence.
Sens réciproque
Dans cette démonstration, on qualifiera de séquentiellement compact un espace métrique dans lequel toute suite admet une valeur d'adhérence.
Premier lemme (nombres de Lebesgue d'un recouvrement)
Si est un recouvrement ouvert d'un espace séquentiellement compact X, alors
(Où désigne la boule fermée de centre x et de rayon r.)
DémonstrationPar l'absurde. on suppose en particulier .
X est séquentiellement compact donc il existe une suite extraite de convergeant vers .
Comme est un recouvrement de X on a or est un ouvert donc or on peut choisir tel que , comme converge vers x il existe tel que et .
Comme on a ce qui est absurde.
Deuxième lemme (précompacité)
Si X est un espace métrique séquentiellement compact, alors pour tout nombre il existe une suite finie de points de X tel que:
DémonstrationPar l'absurde. On nie le résultat, puis on construit une suite qui nous permettra de trouver une contradiction.
Soit et . On suppose construit les termes de la suite jusqu'au rang tel que . Par hypothèse on peut choisir tel que .
On peut donc construire par récurrence une suite tel que donc n'admet pas de sous-suite convergente ce qui est en contradiction avec l'hypothèse X est un espace métrique séquentiellement compact.
Fin de la démonstration du théorème
Supposons X séquentiellement compact. Soit un sous recouvrement ouvert de X.
D'après le premier lemme: .
D'après le lemme de précompacité, pour ce r donné il existe une suite finie de points de X tel que .
On en déduit donc que la sous-famille recouvre X.
Énoncé dans le cas réel
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Pour montrer cette propriété, il suffit de remarquer que les intervalles fermés bornés de sont compacts (théorème de Borel-Lebesgue). La même propriété s'applique aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.
Démonstration élémentaireSoit une suite à valeurs dans un segment [a,b] de . La démonstration procède en deux temps :
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- 1) Construction de deux suites (resp. ) croissante (resp. décroissante) telles que l'intervalle [a,b] contient une infinité de termes de la suite et que
- 2) Construction de la suite extraite.
- 1) Construction de deux suites (resp. ) croissante (resp. décroissante) telles que l'intervalle [a,b] contient une infinité de termes de la suite et que
- 1) Construction par dichotomie des suites (resp. )
On définit a0 par a0 = a et b0 par b0 = b.
Pour tout entier naturel n, si l'intervalle contient une infinité de termes de la suite , on pose an + 1 = an et .
Sinon, l'intervalle contient une infinité de termes de la suite , on pose alors et bn + 1 = bn.
On vérifie que ces deux suites ainsi construite sont adjacentes et que l'intervalle [a,b] contient une infinité de termes de la suite .
- 2) Construction par récurrence de la suite extraite convergente
Cela revient à dire que nous cherchons une fonction de dans strictement croissante, telle que la suite soit convergente. Construisons alors la fonction par récurrence.
Posons . Pour tout entier n, prenons pour le plus petit entier m strictement supérieur à tel que (cet entier existe puisque contient une infinité de termes de la suite ). La fonction est donc bien définie par récurrence et par construction cette fonction est strictement croissante et vérifie la propriété:
Cette propriété nous montre que la suite vérifies le critère de Cauchy, elle est donc convergente vers un réel appartenant à l'intervalle [a,b].
Voir aussi
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