- Propriété de Bolzano-Weierstrass
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Théorème de Bolzano-Weierstrass
En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.
Sommaire
Énoncé du théorème
Un espace métrique (X,d) est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si et seulement si toute suite à valeurs dans X admet une valeur d'adhérence dans X.
Démonstration
Sens direct
On suppose que de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Soit
une suite d'éléments de X. Montrons que
admet une valeur d'adhérence.
Notons
(où
désigne l'adhérence de A).
Posons alors
. Si la famille
était un recouvrement de X alors par hypothèse on pourrait en extraire un sous recouvrement fini; or
est une famille croissante d'ensembles donc
mais alors
ce qui est exclu car
.
n'est donc pas un recouvrement donc
, donc
Ce qui montre par définition que
admet une valeur d'adhérence.
Sens réciproque
Dans cette démonstration, on qualifiera de séquentiellement compact un espace métrique dans lequel toute suite admet une valeur d'adhérence.
Premier lemme (nombres de Lebesgue d'un recouvrement)
Si
est un recouvrement ouvert d'un espace séquentiellement compact X, alors
(Où
désigne la boule fermée de centre x et de rayon r.)
DémonstrationPar l'absurde. on suppose
en particulier
.
X est séquentiellement compact donc il existe une suite extraite
de
convergeant vers
.
Comme
est un recouvrement de X on a
or
est un ouvert donc
or on peut choisir
tel que
, comme
converge vers x il existe
tel que
et
.
Comme
on a
ce qui est absurde.
Deuxième lemme (précompacité)
Si X est un espace métrique séquentiellement compact, alors pour tout nombre
il existe une suite finie de points
de X tel que:
DémonstrationPar l'absurde. On nie le résultat, puis on construit une suite qui nous permettra de trouver une contradiction.
Soit
et
. On suppose construit les termes
de la suite jusqu'au rang
tel que
. Par hypothèse on peut choisir
tel que
.
On peut donc construire par récurrence une suite
tel que
donc
n'admet pas de sous-suite convergente ce qui est en contradiction avec l'hypothèse X est un espace métrique séquentiellement compact.
Fin de la démonstration du théorème
Supposons X séquentiellement compact. Soit
un sous recouvrement ouvert de X.
D'après le premier lemme:
.
D'après le lemme de précompacité, pour ce r donné il existe une suite finie de points
de X tel que
.
On en déduit donc que la sous-famille
recouvre X.
Énoncé dans le cas réel
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Pour montrer cette propriété, il suffit de remarquer que les intervalles fermés bornés de
sont compacts (théorème de Borel-Lebesgue). La même propriété s'applique aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.
Démonstration élémentaireSoit
une suite à valeurs dans un segment [a,b] de
. La démonstration procède en deux temps :
-
- 1) Construction de deux suites
(resp.
) croissante (resp. décroissante) telles que l'intervalle [a,b] contient une infinité de termes de la suite
et que
- 2) Construction de la suite extraite.
- 1) Construction de deux suites
- 1) Construction par dichotomie des suites
(resp.
)
On définit a0 par a0 = a et b0 par b0 = b.
Pour tout entier naturel n, si l'intervalle
contient une infinité de termes de la suite
, on pose an + 1 = an et
.
Sinon, l'intervalle
contient une infinité de termes de la suite
, on pose alors
et bn + 1 = bn.
On vérifie que ces deux suites ainsi construite sont adjacentes et que l'intervalle [a,b] contient une infinité de termes de la suite
.
- 2) Construction par récurrence de la suite extraite convergente
Cela revient à dire que nous cherchons une fonction
de
dans
strictement croissante, telle que la suite
soit convergente. Construisons alors la fonction
par récurrence.
Posons
. Pour tout entier n, prenons pour
le plus petit entier m strictement supérieur à
tel que
(cet entier existe puisque
contient une infinité de termes de la suite
). La fonction
est donc bien définie par récurrence et par construction cette fonction est strictement croissante et vérifie la propriété:
n,\ \forall n_2>n,\ |x_{\varphi(n_1)}-x_{\varphi(n_2)}|<\frac{b-a}{2^n}\;" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/102/f65abf86b465c26bcd36f174e9748aec.png" border="0">
Cette propriété nous montre que la suite
vérifies le critère de Cauchy, elle est donc convergente vers un réel
appartenant à l'intervalle [a,b].
Voir aussi
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