Propriété de Bolzano-Weierstrass

Propriété de Bolzano-Weierstrass

Théorème de Bolzano-Weierstrass

En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.

Sommaire

Énoncé du théorème

Un espace métrique (X,d) est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si et seulement si toute suite à valeurs dans X admet une valeur d'adhérence dans X.

Démonstration

Sens direct

On suppose que de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Soit \left(x_{n}\right) une suite d'éléments de X. Montrons que \left(x_{n}\right) admet une valeur d'adhérence.

Notons F_{n}=\overline{\left\{ x_{k},k\in\left[n,+\infty\right[\right\} } (où \overline{A} désigne l'adhérence de A).

Posons alors U_{n}=X\setminus F_{n}. Si la famille \left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} était un recouvrement de X alors par hypothèse on pourrait en extraire un sous recouvrement fini; or \left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} est une famille croissante d'ensembles donc \exists p\in\mathbb{N},U_{p}=X mais alors F_{p}=\emptyset ce qui est exclu car x_{p}\in F_{p}.

\left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} n'est donc pas un recouvrement donc \bigcup_{n=0}^{+\infty}U_{n}\neq X, donc \bigcap_{n=0}^{+\infty}F_{n}\neq\emptyset

Ce qui montre par définition que \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} admet une valeur d'adhérence.

Sens réciproque

Dans cette démonstration, on qualifiera de séquentiellement compact un espace métrique dans lequel toute suite admet une valeur d'adhérence.

Premier lemme (nombres de Lebesgue d'un recouvrement)

Si \left(U_{i}\right)_{i\in I} est un recouvrement ouvert d'un espace séquentiellement compact X, alors

\exists r\in\mathbb{R}_{+}^{*},\forall x\in X,\exists i\in I,\overline{B}\left(x,r\right)\subset U_{i}

(Où \overline{B}\left(x,r\right) désigne la boule fermée de centre x et de rayon r.)


Deuxième lemme (précompacité)

Si X est un espace métrique séquentiellement compact, alors pour tout nombre r\in\mathbb{R}_{+}^{*} il existe une suite finie de points \displaystyle \left(x_{k}\right)_{k\in\left[\left[0,n\right]\right]} de X tel que:X=\bigcup_{k=0}^{n}\overline{B}\left(x_{k},r\right)


Fin de la démonstration du théorème

Supposons X séquentiellement compact. Soit \left(U_{i}\right)_{i\in I} un sous recouvrement ouvert de X.

D'après le premier lemme: \exists r\in\mathbb{R}_{+}^{*},\forall x\in X,\exists i\left(x\right)\in I,\overline{B}\left(x,r\right)\subset U_{i\left(x\right)}.

D'après le lemme de précompacité, pour ce r donné il existe une suite finie de points \left(x_{k}\right)_{k\in\left[\left[0,n\right]\right]} de X tel que X=\bigcup_{k=0}^{n}\overline{B}\left(x_{k},r\right).

On en déduit donc que la sous-famille \left(U_{i\left(x_{k}\right)}\right)_{k\in\left[\left[0,n\right]\right]} recouvre X.

Énoncé dans le cas réel

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Pour montrer cette propriété, il suffit de remarquer que les intervalles fermés bornés de \R sont compacts (théorème de Borel-Lebesgue). La même propriété s'applique aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.


Voir aussi

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