Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un Hilbert

Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

Le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert est un théorème d'analyse fonctionnelle.

Énoncé

Si $H$ est un espace de Hilbert, et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $H$ , alors l'orthogonal de $F$ est un sous-espace supplémentaire de $F$ , c'est-à-dire que $H = F \oplus F^\bot$

Démonstration

$F$ est un espace vectoriel, donc convexe, et fermé par hypothèse. On peut donc appliquer le théorème de projection sur un convexe fermé :

$\forall z \in H, \exists! x \in F, \|z-x\|=\inf_{u\in F} \|z-u\|$

Notons $y = z - x$ . Par définition de $x$ , on a:

$\forall u \in F, \|y\|^2 = \|z-x\|^2 \le \|z-u\|^2 = \|y+x-u\|^2 =\|y\|^2+\|x-u\|^2+2\langle y,x-u\rangle$

d'où $\forall u \in F, \|x-u\|^2 + 2\langle y,x-u\rangle \ge 0$ .

Prenons $v$ et posons $u = x + ε v$ . L'inéquation devient alors

$\forall v \in F, \forall \epsilon \in R, \epsilon^2 \|v\|^2-2\epsilon \langle y,v\rangle \ge 0$

D'où, en choisissant d'abord un $ε$ puis son opposé dans l'expression ci-dessus :

$\forall v \in F, \forall \epsilon \in R,\begin{cases}\epsilon ^2\|v\|^2+2\epsilon\langle y,v\rangle \ge 0 \\ \epsilon ^2\|v\|^2-2\epsilon\langle y,v\rangle \ge 0\end{cases}$

d'où, en se restreignant à $R +$ et en simplifiant par $ε$ :

$\forall v \in F, \forall \epsilon \in R^+,\begin{cases}\epsilon \|v\|^2+2\langle y,v\rangle \ge 0 \\ \epsilon \|v\|^2-2\langle y,v\rangle \ge 0\end{cases}$

d'où, en faisant tendre $ε$ vers 0,

$\forall v \in F, \langle y,v\rangle =0$

c'est-à-dire $y \in F^\bot$ .

Et donc on peut décomposer $z$ en

$z=x+ y, x \in F, y \in F^\bot$

Comme on a toujours $F \cap F^\bot = 0$ ,

on peut donc enfin conclure

$H = F \oplus F^\bot$

Conséquences

L'application $p F$ qui a $z$ associait $x$ , ci-dessus, définie en minimisant une distance, s'appelle le projecteur sur $F$ .

Il a bien la particularité d'un projecteur au sens classique (bien que défini topologiquement, et non algébriquement), i.e. $p_F\circ p_F=p_F$ .

Lorsque, comme dans notre cas, $H = F \oplus F^\bot$ on appelle ce projecteur le projecteur orthogonal sur $F$ , et on peut préciser de noyau $F^\bot$ et d'image $F$ .

On peut alors montrer que $p F$ est linéaire.

En effet, par unicité de la décomposition dans deux sous-espaces vectoriels orthogonaux et supplémentaires, si $z=x+ y, x \in F, y \in F^\bot$ , alors $p F (z) = x$ .

Du coup, soient $z = x + y, z' = x' + y'$ les décompositions de deux vecteurs, on en déduit la décomposition $z + λ z' = (x + λ x') + (y + λ y')$ et donc $p F (z + λ z') = x + λ x' = p F (z) + λ p F (z')$ .

On retombe bien sur la définition algébrique habituelle d'un projecteur, que l'on connaissait bien pour les espaces de dimension finie.

Théorèmes de l'analyse fonctionnelle

Théorème d'Ascoli • Théorème de Baire • Théorème de Banach-Alaoglu • Théorème de Banach-Mazur • Théorème de Banach-Schauder • Théorème de Banach-Steinhaus • Théorème du graphe fermé • Théorème de Hahn-Banach • Théorème de Lax-Milgram

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