- Lemme de Lax-Milgram
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Théorème de Lax-Milgram
Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram – est un théorème de mathématiques. Il est utilisé pour résoudre des équations différentielles partielles via la formulation faible et sert ainsi notamment de fondement à la méthode des éléments finis.
Sommaire
Énoncé
Soient :
un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté
, de norme associée notée
une forme bilinéaire qui est
- continue sur
:
0, \forall (u,v)\in \mathcal{H}^2\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/54/6b20fa5b29aff99e88a3510fdba5a119.png" border="0">
- coercive sur
(certains auteurs disent plutôt
-elliptique) :
0, \forall u\in\mathcal{H}\,,\ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/56/84cfd6544f253d7ecc143c632eedecd1.png" border="0">
- continue sur
- L une forme linéaire continue sur
.
Sous ces hypothèses il existe un unique u de
tel que l'équation a(u,v) = Lv soit vérifiée pour tout v de
:
Si de plus la forme bilinéaire a est symétrique, alors u est l'unique élément de
qui minimise la fonctionnelle
définie par
pour tout v de
, c'est-à-dire :
Démonstration
Cas général
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un unique
tel que
pour tout
.
Pour tout
, l'application
est une forme linéaire continue sur
et donc de la même manière, il existe un unique élément
tel que
pour tout
. On montre facilement que l'opérateur
ainsi défini est un endomorphisme linéaire continu sur
. La relation (1) s'écrit donc de manière équivalente :
Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que A est une bijection de
sur
. On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.
Par la coercivité de a et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout
d'où
pour tout v de
(*), ce qui montre que A est injectif.
Pour la surjectivité, considérons
l'image de l'opérateur A dans
.
L'inégalité (*) implique que, si Aun est une suite de Cauchy, alors un est une suite de Cauchy, dans
complet donc converge vers
. Et A est continue, donc Aun converge vers Au.
est donc un sous-espace fermé de
et par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que
.
Soit ensuite un élément w de
, on a par définition
et donc :
d'où w = 0. Ainsi,
est réduit à {0}, ce qui montre que A est surjectif.
L'endomorphisme A est bijectif, il existe donc un unique u de
tel que Au = f et il est donné par u = A − 1f.
Remarque
Sans calculer u on a l'inégalité
où
désigne la norme de l'espace dual
.
Cas symétrique
Si la forme bilinéaire a est symétrique, on a pour tout w de
:
Comme u est l'unique solution de la proposition (1), cela donne
Et comme a est coercive, on a :
On a donc
pour tout
, d'où le résultat (2).
Applications
- Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis, on peut en effet montrer que si au lieu de chercher u dans
l'on cherche un dans
, un sous espace de
de dimension finie n, alors d'une part :
- Dans le cas où a est symétrique un est le projeté de u au sens du produit scalaire définit par a
- Si l'on se donne
une base de
, le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :
avec
et
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