Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore
Triangle rectangle et relation algébrique entre les longueurs de ses côtés.
Relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle.

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui donne une formule reliant les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de lhypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème permet notamment de calculer lune de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé daprès Pythagore de Samos, mathématicien, philosophe et astronome de la Grèce antique, même si le résultat a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures.

Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul daire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème.

Divers autres énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, à des figures de plus grande dimension telles que les tétraèdres, ou en géométrie non euclidienne comme à la surface dune sphère.

Sommaire

Vocabulaire et énoncés

Un triangle rectangle est un triangle admettant un angle droit (cest-à-dire de mesure 90°).

Les deux côtés adjacents sont appelés cathètes et le côté opposé est lhypoténuse.

Théorème

Triangle rectangle muni de carrés formés sur chacun de ses côtés.
Une version géométrique du théorème : laire du grand carré violet est la somme des aires des deux autres carrés.

La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante :

Théorème de Pythagore — Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de lhypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de langle droit.

En particulier, la longueur de lhypoténuse est donc toujours supérieure à celle de chaque autre côté.

Le terme « longueur » est parfois omis, chaque côté étant assimilé à sa longueur. Toutefois lélévation au carré (algébrique), qui na de sens que pour une grandeur numérique comme la longueur, correspond à la construction dun carré (géométrique) sur chaque côté du triangle. Certaines démonstrations du théorème sappuient dailleurs sur une égalité daires entre le carré construit sur lhypoténuse et la réunion des carrés construits sur les deux autres côtés.

En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler dans limplication suivante :

Théorème de Pythagore — Si un triangle ABC est rectangle en C, alors AB2 = AC2 + BC2.

Avec les notations usuelles AB = c, AC = b et BC = a (cf figure ci-dessous), la formule sécrit encore : a2 + b2 = c2.

Triangle ABC rectangle en C avec les notations AB=c, AC=b et BC=a.

Par contraposée :

Théorème — Si AB2 nest pas égal à AC2 + BC2 alors le triangle nest pas rectangle en C.

Réciproque

Limplication réciproque est également vraie :

Réciproque du théorème de Pythagore — Si AB2 = AC2 + BC2 alors le triangle ABC est rectangle en C.

Pour une formulation sans notations des sommets, il faut éviter dutiliser le terme « hypoténuse », qui nest pas dusage pour un triangle quelconque.

Réciproque du théorème de Pythagore — Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et langle droit est langle opposé au plus grand côté, et le plus grand côté de ce triangle est son hypoténuse.

Par contraposée de la réciproque :

Théorème — Si un triangle ABC nest pas rectangle en C, alors AB2 nest pas égal à AC2 + BC2.

Applications

Arpentage

Triangle de dimensions 3-4-5 avec les côtés gradués par des points symbolisant les nœuds d’une corde.
Corde à treize nœuds disposée en triangle rectangle.
3^2+4^2 = 9+16\,
5^2 = 25\,
Vérification de la relation pour un triangle de longueurs de côté 3, 4 et 5.

Daprès la réciproque du théorème de Pythagore, si un triangle a des côtés de longueurs 3, 4 et 5 (par rapport à une unité quelconque) alors il est rectangle.

Ce cas particulier de triplet pythagoricien justifie lusage de la corde à treize nœuds, qui permettait de mesurer des distances mais aussi dobtenir un angle droit sans équerre rigide en répartissant les douze intervalles qui séparent les nœuds sur les trois côtés dun triangle de dimensions 3 - 4 - 5.

Nature d'un triangle

Le théorème (ou plutôt sa contraposée) et sa réciproque montrent que la relation donnée entre les longueurs des côtés est une propriété caractéristique des triangles rectangles, ce qui permet de lutiliser comme test dans la détermination de la nature dun triangle :

  • si AB2 = AC2 + BC2 alors le triangle est rectangle en C ;
  • si AB2 nest pas égal à AC2 + BC2 alors le triangle nest pas rectangle en C.

En procédant au test pour chacun des trois sommets du triangle, on obtient un algorithme qui détermine si le triangle est rectangle ou non à partir des longueurs de ses côtés.

Distance euclidienne

Dans le plan muni dun repère orthonormé, la distance entre deux points sexprime en fonction de leurs coordonnées cartésiennes à laide du théorème de Pythagore par :

AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.

Cette formule est analogue à celle qui donne la norme dun vecteur de coordonnées (x;y) dans une base orthonormée :

\lVert\vec u\rVert = \sqrt{x^2+y^2}.

Ces formules se généralisent en dimension plus grande.

Relation trigonométrique

En considérant le cosinus et le sinus dun angle α comme l'abscisse et l'ordonnée dun point du cercle trigonométrique repéré par cet angle, le théorème de Pythagore permet décrire la relation suivante :

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha=1.~

Histoire

Origines

Tablette munies d’inscriptions cunéiformes disposées en lignes.
La tablette Plimpton 322.

Les plus anciennes traces de la relation entre les longueurs des côtés dun triangle rectangle peuvent être envisagées dans linscription de triplets pythagoriciens. Il sagit de triplets dentiers (a, b, c) satisfaisant la relation a2+b2=c2. Ils ont été relevés sur des tablettes babyloniennes, notamment la tablette Plimpton 322 datant du XVIIIe siècle avJ.‑C.), soit plus de 1 000 ans avant Pythagore. Certains prétendent même en trouver sur des mégalithes datant du XXVe siècle avJ.‑C. en Grande-Bretagne[1].

Parmi ces triplets, le plus petit dentre eux est le triplet 3-4-5. Il correspond aux dimensions dun triangle rectangle dont Plutarque conjecture une interprétation symbolique dès lÉgypte antique[2]. Ce triangle peut être formé à laide dune corde à treize nœuds (voir plus haut) qui restera un outil des géomètres jusquà la fin du Moyen Âge[3].

Mais dune part, lutilisation de cette corde à nœuds nindique pas forcément la connaissance du fait que langle formé est mathématiquement un angle droit ; dautre part linventaire de triplets pythagoriciens a pu être entrepris dans un cadre arithmétique en dehors du contexte géométrique. Enfin, pour que le constat soit érigé en théorème, il faut que la relation soit démontrée, et pas seulement sur quelques cas particuliers.

Formulations

Le théorème, accompagné dune démonstration, apparait au début du IIIe siècle avJ.‑C. dans les Éléments dEuclide (proposition XLVII) sous la forme suivante[4] :

« Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient langle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. »

Sa réciproque est la proposition XLVIII[4] :

« Si le carré de lun des côtés dun triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, langle soutenu par ces côtés est droit. »

Les commentaires de Proclos (autour de lan 400) semblent indiquer quEuclide naurait fait que retranscrire une démonstration plus ancienne que Proclos attribue à Pythagore. Cependant, les preuves historiques de la vie de Pythagore sont si rares quon ne peut lui attribuer avec certitude la paternité de cette démonstration.

Parallèlement au développement des mathématiques grecques, le théorème apparait en Chine dans le Zhoubi suanjing (« Le Gnomon des Zhou »), un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois. Ce dernier, écrit probablement durant la dynastie Han (-206 à 220), regroupe des techniques de calcul datant de la dynastie Zhou (Xe siècle avJ.‑C. à -256). Le théorème ou procédure sénonce de la manière suivante :

« En réunissant laire (mi) de la base (gou) et laire de la hauteur (gu) on engendre laire de lhypoténuse. »

Mais la question se pose de savoir si ce théorème ou procédure est alors muni ou non dune démonstration. Sur ce point les avis sont partagés(Chemla Shuchun, p. 681). Le théorème, sous le nom de Gougu (à partir des mots « base » et « altitude »), est repris dans le Jiuzhang suanshu (Les neuf chapitres sur l'art mathématique, -100 à 50), avec une démonstration, utilisant un découpage et une reconstitution, qui ne ressemble en rien à celle dEuclide et qui prouve loriginalité de la démarche chinoise.

En Inde, vers -300, on trouve la trace dune démonstration numérique de la propriété (preuve effectuée sur des nombres particuliers mais qui peut se généraliser aisément).

De nombreuses autres démonstrations ont été recensées depuis, utilisant des outils mathématiques variés. Léonard de Vinci et même le président américain James Garfield en ont proposé.

Conséquences

Le théorème de Pythagore pourrait avoir été à lorigine de la notions de grandeurs incommensurables, prémisse des nombres irrationnels. En effet, il montre[note 1] quun carré dont le côté sert dunité a une diagonale dont le carré de la longueur vaut 2. Or aucune fraction dentiers na de carré égal à 2. La construction géométrique dun rapport « privé de raison » allait à lencontre de la vision du monde de lécole pythagoricienne[5].

Portrait de Pierre de Fermat, peint au XVIIe siècle.
Pierre de Fermat, inspiré par le problème des triplets pythagoriciens.

La recherche exhaustive des triplets pythagoriciens, motivée par la construction de triangles rectangles dont les longueurs de côté sont commensurables, sest constituée en problème arithmétique à part entière. Elle ouvre la porte à la recherche de triplets satisfaisant une équation plus générale : an + bn = cn, lexposant n est un entier supérieur à 2. Labsence de solution lorsque lexposant est supérieur ou égal à 3 est la conjecture de Fermat, qui na été définitivement démontrée que plus de trois siècles plus tard par Andrew Wiles.

Enfin, il a été démontré que le théorème de Pythagore est équivalent à laxiome des parallèles[6].

Validation physique

Le théorème de Pythagore étant dérivé des axiomes de la géométrie euclidienne, sa validité dans le monde réel a pu être remise en question avec le caractère non euclidien de lespace physique. Le mathématicien Carl Friedrich Gauss, ayant envisagé cette hypothèse près dun siècle avant la naissance de la théorie de la relativité générale, aurait selon une légende[7] mesuré les angles dun triangle formé par trois villes de la région de Hanovre afin de vérifier si la somme de leurs angles constituait effectivement un angle plat.

Démonstrations

Plusieurs centaines de démonstrations différentes[8] ont été répertoriées pour le théorème de Pythagore. La plupart sont construites sur des égalités daire obtenues par découpage et recollement, voire en utilisant des rapports daire de triangles semblables. La définition du produit scalaire en géométrie repérée fournit aussi une démonstration purement algébrique.

Selon Euclide

La démonstration présentée par Euclide dans les Éléments sappuie dune part sur le cas dégalité[note 2] de deux triangles ayant un angle de même mesure entre deux côtés de mêmes longueurs, dautre part sur la proposition XLI du livre Ier :

« Si un parallélogramme et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera [daire] double du triangle. »

Articles détaillés : Triangles isométriques et Aire d'un triangle.

La méthode utilisée permet de démontrer de façon analogue le théorème de Clairaut pour un triangle quelconque sur les côtés duquel sont construits des parallélogrammes.

Par le puzzle de Gougu

Animation du puzzle de Gougu

Le théorème de Gougu[9],[10] de gou (base) et gu (hauteur)(Chemla Shuchun, chap. 9) est reconstitué daprès les commentaires du mathématicien chinois Liu Hui (IIIe siècle apr. J.-C.) sur le JiuZhang SuanShu 九章算術 « neuf chapitres dArithmétique » (206 av.220 apr. J.-C.), et le Zhoubi Suanjian 周髀算經, « lombre des cycles, livre de calculs » (un livre dastronomie). Le neuvième chapitre du livre Les neuf chapitres, classique mathématique de la chine ancienne, souvre sur un énoncé du théorème de Pythagore avec le commentaire laconique : « la base multipliée par elle-même fait un carré vermillon, la hauteur multipliée par elle même un carré bleu-vert et lon fait en sorte que ce qui entre et ce qui sort se compense lun lautre (...) alors (...) on engendre par réunion laire du carré de lhypoténuse ». Cette preuve utilise le principe du puzzle : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Euclide, dans sa propriété de cisaillement, utilise le même principe.

Labsence dillustration associée à ce commentaire réduisent les historiens à émettre des conjectures pour sa reconstitution. Le dessin ci-contre est proposé par Jean-Claude Martzloff[11] daprès une édition de 1892 des Neuf chapitres. Le triangle rectangle y est tracé en gras, le carré de la hauteur a été tracé à lextérieur du triangle, le carré de la base et celui de lhypoténuse sont tournés vers le triangle. Les parties des carrés des côtés de langle droit qui dépassent du carré de lhypoténuse ont été découpées et replacées à lintérieur de ce carré. Le triangle rouge est égal au triangle de départ. Le triangle jaune a pour grand côté de langle droit le petit côté du triangle de départ et a mêmes angles que le triangle initial. Le triangle bleu a pour grand côté de langle droit, la différence des côtés du triangle initial et a mêmes angles que le triangle initial.

Karine Chemla(Chemla Shuchun, p. 680) appuie plutôt son raisonnement sur une figure fondamentale associée au texte du Zhoubi suanjing et formée dun triangle 3 - 4 - 5 dans laquelle on peut lire de nombreuses relations liant les trois côtés du triangle rectangle. Elle interprète le commentaire de Liu Hui comme une nouvelle lecture de la figure fondamentale avec déplacement des 3 pièces 1 - 2 - 3 de lextérieur du carré dans le carré de lhypoténuse.

Figure de lhypoténuse dans laquelle il est aisé de lire[note 3]
c² = 4 (ab)/2 +(b - a
ou bien aussi
(a + b)² - 4(ab)/2 = c²
Les pièces forment deux carrés dont les dimensions sont celles des côtés du triangle rectangle
Les pièces à lextérieur du carré de lhypoténuse sont venues se placer à lintérieur

Quant à Li Jimin[12], il attribue au Zhoubi Suanjian la paternité de la première démonstration, il sappuie lui aussi sur la figure fondamentale et fait pivoter les triangles (1-2) et 3 sur leur pointe pour les installer dans le carré de lhypoténuse.

Par soustraction d'aire

Carré de côté c inscrit dans un carré de côté a+b, tel que les quatre triangles constituant le complémentaire ont pour longueurs de côté a, b et c.

Pour un triangle rectangle donné, il est possible de linscrire en quatre exemplaires dans les coins dun carré dont le côté a pour longueur la somme des longueurs des cathètes. Les quatre hypoténuses forment alors un carré, par égalité de longueur et sachant que chacun de ses angles est supplémentaire des deux angles aigus du triangle.

Avec les notations usuelles, laire totale du grand carré vaut donc (a + b)2 et laire du carré intérieur vaut c2. La différence est constituée par quatre triangle daire (ab / 2) chacun.

La relation algébrique sécrit alors (a + b)2 = 4(ab / 2) + c2, cest-à-dire a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2, ce qui revient à a2 + b2 = c2.

Juxtaposition de deux figures représentant un même carré dans lequel s’inscrivent quatre copies d’un même triangle rectangle, agencées à gauche pour laisser deux carrés formés sur leurs cathètes, et à droite pour laisser un carré formé sur leurs hypoténuses.
Démonstration du théorème par soustraction daires égales dun même carré.

Avec une deuxième figure inscrite dans le même grand carré, les deux carrés formés sur les côtés du triangle rectangle sobtiennent eux aussi par soustraction de quatre copies du triangle initial.

Par des triangles semblables

Triangle rectangle avec pied de la hauteur

Il ny a pas trace de la démonstration quaurait conçue Pythagore et les historiens envisagent deux types de démonstrations : ou bien une démonstration fondée sur un découpage comme celui de Gougu ou une démonstration utilisant les proportionnalités des triangles découpés par la hauteur issue de langle droit[13].

Si H est le pied de la hauteur issue de C, les triangles CAB, HAC et HCB sont semblables (par égalités des angles). Le rapport de similitude entre les triangles HAC et CAB est le rapport des hypoténuses AC/AB, de même le rapport de la similitude entre les triangles HCB et CAB est CB/AB. Le rapport des aires est alors égal au carré du rapport de la similitude, soit : \dfrac{A_{HAC}}{A_{CAB}} = \dfrac{AC^2}{AB^2} et \dfrac{A_{HCB}}{A_{CAB}} = \dfrac{BC^2}{AB^2}.

Comme dautre part la somme des aires des triangles HAC et HCB donne laire du triangle CAB, on peut écrire : \dfrac{A_{HAC}}{A_{CAB}}+ \dfrac{A_{HCB}}{A_{CAB}} = \dfrac{AC^2}{AB^2}+ \dfrac{BC^2}{AB^2} = 1. Soit encore : AC2 + BC2 = AB2.CQFD

On peut également proposer une variante plus élémentaire de cette démonstration afin de saffranchir de la notion daire : Le rapport de similitude entre les triangles HAC et CAB implique \dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AC}{AB} soit AH \cdot AB = AC^2. De même, le rapport de similitude entre les triangles HCB et CAB implique \dfrac{HB}{CB} = \dfrac{CB}{AB} soit HB \cdot AB = BC^2 en additionnant, il vient (AH+HB) \cdot AB = AB^2 = AC^2 + BC^2. CQFD

Cette démonstration est à rapprocher de celle du théorème de Ptolémée en prenant un rectangle comme quadrilatère.

Par le produit scalaire

Dans le plan muni dun repère orthonormé, les vecteurs portés par les côtés dun triangle ABC vérifient la relation de Chasles :

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}

donc par bilinéarité du produit scalaire, il vient :

AB^2 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}) \cdot (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}) = AC^2 + CB^2 + 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}

donc la relation du théorème est équivalente à lannulation du dernier produit scalaire, ce qui correspond précisément au cas les vecteurs sont orthogonaux, autrement dit lorsque les côtés [AC] et [BC] forment un angle droit.

Généralisations

Pour un triangle quelconque

Triangle ABC avec les notations AB=c, AC=b, BC=a, d’angle α en A, β en B et γ en C
Notations usuelles dans un triangle quelconque.

Le théorème d'Al-Kashi donne une formule faisant intervenir les longueurs des côtés et le cosinus dun angle. Langle de mesure γ, le côté opposé de longueur c et les deux autres côtés de longueurs respectives a et b sont reliés par la relation :

c^2 = a^2 + b^2 - 2\,a\,b\,\cos(\gamma).

Si langle γ est droit, son cosinus est nul et la formule se réduit à la relation du théorème de Pythagore.

Cette formule est liée à la bilinéarité du produit scalaire. Elle permet de traiter des problèmes de calcul dangles et de distances avec les autres relations métriques du triangle données par le théorème de la médiane, la formule de laire et la loi des sinus.

Avec d'autres figures formées sur les côtés

Euclide mentionne dans les Éléments[4] (proposition 31 du livre VI:

Dans les triangles rectangles, la figure construite sur lhypoténuse est équivalente à la somme des figures semblables et semblablement construites sur les côtés qui comprennent langle droit.

Triangle rectangle avec les lunules formées sur les cathètes.
Propriété des lunules

En appliquant cette généralisation à des demi-disques formés sur chaque côté dun triangle rectangle, il en découle le théorème des deux lunules, selon lequel laire du triangle rectangle est égale à la somme des aires des lunules dessinées sur chaque côté de langle droit.

Le théorème de Clairaut est une autre généralisation, valable sur un triangle quelconque, sur les côtés desquels sont construits des parallélogrammes.

En plus grande dimension

Lhypoténuse dun triangle rectangle pouvant se concevoir comme la diagonale dun rectangle, une généralisation du théorème en dimension supérieure peut sénoncer comme suit :

Dans un pavé droit, le carré de la grande diagonale est égal à la somme des carrés des dimensions du pavé.

Ce résultat est équivalent au calcul de la longueur dun segment à partir des coordonnées cartésiennes de ses extrémités dans un repère orthonormé :

AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

ou, en dimension supérieure, si A est de coordonnées (xi) et B de coordonnées (x'i) :

AB = \sqrt{\sum_i(x'_i-x_i)^2}.

Cette dernière formule est encore valable dans un espace de Hilbert de dimension infinie et aboutit notamment à la formule de Parseval.

Le théorème de Gua donne une autre généralisation du théorème de Pythagore dans un espace euclidien : si un tétraèdre a toutes ses arêtes orthogonales en un sommet alors le carré de laire de la face opposée au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

En géométrie non euclidienne

Le théorème de Pythagore est équivalent à l'axiome des parallèles, qui peut être rédigé ainsi :

Axiome des parallèles — Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.

Cela signifie que, dans les axiomes de la géométrie euclidienne, on peut remplacer l'« axiome » des parallèles par le « théorème » de Pythagore sans que les autres résultats de la géométrie soient modifiés. Les statuts d'axiome et de théorème de ces deux résultats sont alors inversés : le « théorème » de Pythagore devient un axiome (une vérité de base, indémontrable, sur laquelle s'appuie la théorie) et l'« axiome » des parallèles devient un théorème, qui peut être démontré à l'aide de Pythagore.

Dans d'autres géométries, l'axiome des parallèles est remplacé par un autre, et le théorème de Pythagore n'est donc plus vrai.

Triangle formé par trois grands cercles à la surface d’une sphère, se coupant deux à deux à angle droit.
Triangle trirectangle à la surface dune sphère, pour lequel la relation du théorème de Pythagore ne sapplique pas.

En géométrie sphérique, si un triangle est formé par trois arcs de grands cercles à la surface dune sphère de rayon R et si deux de ces arcs se croisent à angle droit, la relation du théorème de Pythagore nest plus valable, comme dans le cas du triangle équilatéral trirectangle. Elle doit être remplacée par la formule :

 \cos \left(\dfrac{c}{R}\right) = \cos \left(\dfrac{a}{R}\right)\,\cos \left(\dfrac{b}{R}\right)

c est la longueur de larc opposé à langle droit.

Une relation similaire existe en géométrie hyperbolique pour une courbure constante égale à −1 :

 \mathrm{ch} \left(\dfrac{c}{R}\right) = \mathrm{ch}\left(\dfrac{a}{R}\right)\,\mathrm{ch}\left(\dfrac{b}{R}\right)

ch désigne la fonction cosinus hyperbolique.

Dans les deux cas, un développement limité à lordre 2 redonne, pour des triangles de faible dimension, la relation du théorème de Pythagore en géométrie plane.

Plus généralement, la propriété résiste mal au transfert dans dautres géométries à cause de leur courbure :

  • si la courbure est positive : c2 < a2 + b2 ;
  • si la courbure est négative : c2 > a2 + b2 ;
  • si la courbure est nulle : c2 = a2 + b2.

Dans le cadre de la relativité générale, lespace euclidien est remplacé par un espace courbe les segments sont remplacés par des géodésiques. La théorie de la relativité générale soutient que la matière et lénergie conduisent lespace à être non-euclidien et le théorème ne sapplique donc pas strictement en présence dénergie. Cependant, la déviation par rapport à lespace euclidien est faible sauf auprès dimposantes sources gravitationnelles comme les trous noirs. Déterminer si le théorème est enfreint sur dimportantes échelles cosmologiques, cest-à-dire mesurer la courbure de lUnivers, est un problème ouvert pour la cosmologie.

Culture

Le théorème de Pythagore est mentionné dans La Planète des singes, de Pierre Boulle. Le narrateur, considéré comme un animal dépourvu dintelligence, détrompe en effet son interlocuteur en traçant une figure géométrique qui illustre le théorème.

Le chansonnier Franc-Nohain a composé un quatrain qui cite le théorème[14] :

Le carré de lhypoténuse
Est égal, si je ne mabuse
À la somme des carrés
Construits sur les autres côtés.

Notes et références

Notes

  1. Lincommensurabilité du côté et de la diagonale du carré peut cependant se démontrer sans recourir au théorème de Pythagore.
  2. Lexpression est utilisée pour désigner des triangles isométriques.
  3. Le commentaire du Zhoubi suanjing consiste à remarquer que le carré de lhypoténuse est formé de 4 triangles vermillon daire ab/2 et dun carré jaune central daire (b-a

Références

  1. Le mathématicien Van der Waerden Le problème des objets dans la ... - Google Livres et lingénieur Alexander Thom Les mégalithes, ésotérisme et réalité - Google Livres auraient découvert des triplets pythagoriciens sur des sites mégalithiques en Grande-Bretagne et à Carnac, mais leurs analyses sont contestées par Kaveing et Keller [1].
  2. Voir le texte de Plutarque et les travaux de Jean Philippe Lauer relatés dans La géométrie égyptienne de Théophile Obenga.
  3. André Demailly attribue déjà cette compétence aux arpenteurs égyptiens dans Herbert Simon et les sciences de conception. Cest même ainsi que Thomas Henri Martin imagine la diffusion de ce savoir aux Grecs et aux Chinois dans Les signes numéraux chez les peuples de lAntiquité et du Moyen Âge.
  4. a, b et c Éléments dEuclide
  5. Entrée « Irrationnel » § III b dans (Baruk 1992).
  6. (en) Scott E. Brodie, « The Pythagorean Theorem is Equivalent to the Parallel Postulate », cut-the-knot
  7. Voir Renaissance de la géométrie non euclidienne entre 1860 et 1900, par Jean-Daniel Voelke, page 40 et suivantes ; Gauss a explicitement déclaré que seules des mesures sur des distances « immensément supérieures au rayon de la Terre » permettraient une telle vérification.
  8. Le site (en) Alexander Bogomolny, « Pythagorean theorem », cut-the-knot, propose 92 démonstrations différentes du théorème mais cite The Pythagorean Proposition (par Elisha Scott Loomis, au début du XXe siècle) qui en rassemble 367.
  9. (en) Proof of Guogu or Pythagoras' Theorem sur chinapage.com
  10. Quelques exemples de démonstration en mathématiques chinoises, Jean-Claude Martzloff, in La démonstration mathématique dans lhistoire, Irem de Lyon
  11. Jean-Claude Martzloff, Une histoire des mathématiques chinoises, A history of chinese mathematics - Google Livres
  12. Karine Chemla dans (Chemla Shuchun) fait référence à linterprétation (1993) de cet historien p. 682.
  13. Eliane Cousquer, Le Théorème de Pythagore[PDF] sur le site mediamaths
  14. Entrée « Pythagore (théorème de) » dans (Baruk 1992)

Sources

  • Karine Chemla et Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Édition critique. [détail des éditions] ,
  • Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, 1992 [détail de lédition] 

Annexes

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Articles connexes

Contexte
Problèmes reliés
Généralisations
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