Developpement limite

Developpement limite

Développement limité

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D.L.) d'une fonction f au voisinage d'un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

  • d'une fonction polynôme ;
  • et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (ie : le reste) ainsi faite, soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre 1, on parle d'approximation linéaire.

En mathématique, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.

L'étude des développements limités se prolonge par l'étude des développements en séries entières.

Sommaire

Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x_0 \in I. On dit que f possède un développement limité d'ordre n (abrégé par D.L.n) en x0, s'il existe n + 1 réels a0,a1,...,an et une fonction R : I \rightarrow \mathbb{R} tels que \forall x \in I :

f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + ... + a_n(x - x_0)^n +R(x ) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + R(x )
avec R(x) qui tend vers 0 lorsque x tend vers x0, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la série. C'est-à-dire que :
\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R(x )}{(x - x_0)^n} = 0

Les fonctions vérifiant ceci sont notées o((xx0)n). On écrit donc : f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + o((x - x_0)^n)

Note : Le nombre n est appelé ordre de développement.

Il est fréquent de chercher un développement limité au voisinage de 0. L'expression d'un tel D.L. se trouve être plus simple. En posant x = x0 + h, on a :

f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + o((x - x_0)^n) qui se réécrit en f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot h^i + o(h^n)
Conséquences immédiates
On a a0 = f(x0)
Si une fonction admet un D.L.n au voisinage de x0, alors ce développement est unique.

Note : la fonction f peut être à valeurs vectorielles.

Opérations sur les développements limités

Somme
Si ƒ et g possèdent deux D.L.n, alors ƒ + g possède un D.L.n qui s'obtient en effectuant la somme des deux polynômes.
Multiplication par λ
si ƒ possède un D.L.n alors λ·ƒ aussi, obtenu en multipliant le D.L.n de ƒ par λ.
Produit
Si ƒ et g possèdent des D.L.n, alors ƒ·g possède un D.L.n. Si ak, bk et ck sont les coefficients de xk dans les développements respectifs de ƒ, g et ƒ·g, le coefficient ck est obtenu par la formule suivante :
 c_k = \sum_{i+j=k}a_ib_j\,
Inverse
Si u(x0) = 0 et si u possède un D.L.n au voisinage de x0, alors \frac{1}{1 - u} possède un D.L.n. Ce développement limité se trouve en cherchant un D.L.n de
 \sum_{k=0}^n u^k
Composition
si u possède un D.L.n au voisinage de x0 et si v possède un D.L.n au voisinage de u(x0), alors v o u possède un D.L.n qui s'obtient en cherchant un D.L.n de Qn o PnPn et Qn sont les D.L.n de u et v
ex : développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 de e^{\frac{1}{1-x}}
D.L.2au voisinage de 1 de ex :
e^x  = e(1 + (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}{2} + o((x - 1)^2))
rem: le D.L. au voisinage de 1 de ex se trouve en remarquant que ex = e.ex − 1 et en utilisant le D.L. de eh au voisinage de 0
D.L.2 au voisinage de 0 de \frac{1}{1-x} :
\frac{1}{1-x}  = 1 + x +x^2 + o(x^2)
D.L.2 au voisinage de 0 de e^{\frac{1}{1-x}}:
e^{\frac{1}{1-x}} = e(1 + (x  + x^2)+ \frac{( x +x^2)^2}{2} + o(x^2))
e^{\frac{1}{1-x}} = e(1 + x  +\frac{3}{2} x^2 + o(x^2))
Intégration
Si ƒ est continue sur un intervalle I autour dex0 et possède un D.L.n au voisinage de x0, alors toute primitive F de ƒ possède un D.L.n+1 au voisinage de x0 qui est
F(x) = F(x_0) + \sum_{i=0}^{n}\frac{a_i}{i+1}(x - x_0)^{i+1}
Dérivation
il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un D.L.n - 1 pour la dérivée d'une fonction admettant un D.L.n au voisinage de x0.
par exemple la fonction définie par
f(x) = x^3\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) pour tout x non nul et ƒ(0) = 0
possède un développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 mais sa dérivée, non continue, ne possède pas de D.L.1 .
Par contre si f' admet un D.L. d'ordre n-1 en xo alors la partie régulière du D.L. de f' est la dérivée de la partie régulière du D.L. d'ordre n de f en xo .

D.L.n et fonctions dérivables

Article principal: Théorème de Taylor

Le mathématicien Taylor a démontré qu'une fonction f, dérivable n fois sur un intervalle I contenant x0, possédait un D.L.n au voisinage de x0 :

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...+  \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n  + o((x-x_0)^n)

soit en écriture abrégée

f(x) = f(x_0) + \sum_{i=1}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + o((x-x_0)^n)

En revanche, le fait qu'une fonction possède un D.L.n au voisinage de x0 n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x0. On peut juste déduire, de l'existence d'un D.L.0 au voisinage de x0, la continuité en x0, et, de l'existence d'un D.L.1 au voisinage de x0, la dérivabilité en x0. Par contre si f' admet un D.L. d'ordre n-1 en xo alors la partie régulière du D.L. de f' est la dérivée de la partie régulière du D.L. d'ordre n de f en xo .

Quelques utilisations

Le développement d'ordre 0 consiste à considérer que ƒ est continue en x0 :

f(x) = f(x_0) + \varepsilon(x)

Le développement limité d'ordre 1 consiste à approcher une courbe par sa tangente ; on parle aussi d'approximation affine :

f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + o(x-x_0).

Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x0.

Le développement limité d'ordre 2 consiste à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique. Il permet aussi de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente, au voisinage du point de contact (pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul).

Le changement de variable h = \frac{1}{x} permet, à l'aide d'un D.L.0 au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un D.L.1 au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote.

Quelques exemples

Fonction cos et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0

Les fonctions suivantes possèdent des D.L.n au voisinage de 0 pour tout entier n et sont développables en séries entières.

  • \frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^n x^i+ \frac{x^{n+1}}{1-x} une conséquence en est la somme de la série géométrique.
  • \ln(1+x) = \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^{i+1}}{i}x^i + o(x^n) par intégration de la formule précédente et changement de x en -x
  • e^{x} =  \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!}x^{i} + o(x^n)
  • \sin(x) = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}x^{2i+1} + o(x^{2n+2}) à l'ordre 2n + 1 ou 2n + 2, car le terme en x2n + 2 est nul (comme tous les autres termes de puissance paire), donc o(x2n + 1) = o(x2n + 2).
  • \cos(x) = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{(2i)!}x^{2i} + o(x^{2n+1}) à l'ordre 2n ou 2n + 1, car le terme en x2n + 1 est nul (comme tous les autres termes de puissance impaire), donc o(x2n) = o(x2n + 1).
  •  (1+x)^a = 1+\sum_{i=1}^n \frac1{i!} \left(\prod\limits_{j=0}^{i-1} (a-j)\right)x^i + o(x^n)

Voir l'article série entière.

Formulaire

Développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 de fonctions usuelles:

  • (1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)...(a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)
  • \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n)
  • \frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)
  • \ln(1-x) = -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots-\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})
  • \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})
  • e^{x} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)
  • \cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})
  • \sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})
  • {\rm ch}(x) = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})
  • {\rm sh}(x) = x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})
  • {\rm th}(x) = x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)
  • {\rm Arcsin}(x) = x+\frac{1x^3}{2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot x^5}{2 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})
  • {\rm Argsh}(x) = x-\frac{1x^3}{2 \cdot 3}-\cdots+(-1)^n\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})
  • {\rm Arctan}(x) = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- \cdots +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})
  • {\rm Argth}(x) = x+\frac{x^3}{3}+ \cdots +\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})

Approximations linéaires : développements limités d'ordre 1

On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1, qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision :

Articles connexes

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