Cosinus Hyperbolique

Cosinus Hyperbolique

Cosinus hyperbolique

Graphe de la fonction cosinus hyperbolique sur une partie de \mathbb R

Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Sommaire

Définition

La fonction cosinus hyperbolique, notée cosh (parfois, mais plus rarement, ch) est la fonction complexe suivante :

\begin{matrix} \cosh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {e^z+e^{-z}} {2} \end{matrix}

e est la fonction exponentielle complexe.

La fonction cosinus hyperbolique est en quelque sorte l'analogue de la fonction cosinus dans la géométrie hyperbolique.

Propriétés

Propriétés générales

  • cosh est continue et infiniment dérivable, dite de classe C^\infty
  • La dérivée de cosh est sinh, la fonction sinus hyperbolique.
  • La primitive de cosh est sinh+C, à une constante d'intégration C près.
  • La restriction de cosh à \mathbb R est paire et strictement croissante sur \mathbb R^+.

Propriétés trigonométriques

De par les définitions des fonction cosinus et sinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :

e^z = \cosh(z) + \sinh(z) \,
e^{-z} = \cosh(z) - \sinh(z) \,

Ces égalités sont analogues à la formule d'Euler en trigonométrie classique.

De même que les coordonnées (cos(t), sin(t)) définissent un cercle, (cosh(t),sinh(t)) définissent la branche positive d'une hyperbole équilatérale. On a en effet pour t>0 :

\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1 \,.

D'autre part, pour x \in \mathbb R :

\cosh(i x) = \frac{(e^{i x} + e^{-i x})}{2} = \cos(x)
\cosh(x) = \cos(i x) \,
\cosh(x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y) \,
\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cosh(x)}{2}

Développement en série de Taylor

cosh, étant indéfiniment dérivable, possède un développement en série de Taylor en tout point :

\cosh z = 1 + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^4} {4!} + \frac {z^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}

Valeurs

Quelques valeurs de cosh :

  • \cosh(0) = 1 \,
  • \cosh(1) = \frac {e^2+1}{2e}
  • \cosh(i) = \cos(1) \,

Zéros

Tous les zéros de cosh sont des imaginaires pures : z\in \mathbb{C}, \cosh(z)=0 \Leftrightarrow z \in \{i( \pi / 2 + k \pi ) ; k \in \mathbb{Z}\}.

Démonstration: Soit z = x + iy avec x,y \in \mathbb{R}. On a alors :\cosh(x+i y)=\cosh(x)\cos(y)-i\sinh(x)\sin(y)=0 \Leftrightarrow \cos(y)=0 \mbox{ et } \sinh(x)=0 \Leftrightarrow y \in \{\pi / 2 +k \pi ; k \in \mathbb{Z}\} \mbox{ et } x=0.

Fonction réciproque

Graphe de la fonction argument cosinus hyperbolique sur \left[1;+\infty\right[

cosh admet une fonction réciproque, notée argcosh (ou argch), et nommée argument cosinus hyperbolique. Il s'agit d'une fonction à valeurs multiples complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure le segment \left]-\infty;1\right[.

\operatorname{argcosh}(z) = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt {z-1})

Pour x \in \left[1;+\infty\right[, la restriction de cosh à \mathbb R admet deux réciproques : \operatorname{argcosh}(x)=\ln\left(x \pm \sqrt{x^2-1}\right).

Utilisation

Physique

La courbe représentative de la fonction cosh sur \mathbb R décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.


Architecture

L'arche du Gateway

L'arche du Gateway à Saint-Louis (Missouri) possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à 192 m en son centre et enjambe 192 m à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation

y=-39 \cosh \left( \frac{x}{39} \right)+231

pour -96 < x < 96.

Voir aussi

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