Cosinus Hyperbolique

Cosinus hyperbolique

Graphe de la fonction cosinus hyperbolique sur une partie de $\mathbb R$

Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Valeurs
4 Zéros
5 Fonction réciproque
6 Utilisation
- 6.1 Physique
- 6.2 Architecture
7 Voir aussi

Définition

La fonction cosinus hyperbolique, notée cosh (parfois, mais plus rarement, ch) est la fonction complexe suivante :

$\begin{matrix} \cosh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {e^z+e^{-z}} {2} \end{matrix}$

où $e$ est la fonction exponentielle complexe.

La fonction cosinus hyperbolique est en quelque sorte l'analogue de la fonction cosinus dans la géométrie hyperbolique.

Propriétés

Propriétés générales

cosh est continue et infiniment dérivable, dite de classe $C^\infty$
La dérivée de cosh est sinh, la fonction sinus hyperbolique.
La primitive de cosh est sinh+C, à une constante d'intégration C près.
La restriction de cosh à $\mathbb R$ est paire et strictement croissante sur $\mathbb R^+$ .

Propriétés trigonométriques

De par les définitions des fonction cosinus et sinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :

$e^z = \cosh(z) + \sinh(z) \,$

$e^{-z} = \cosh(z) - \sinh(z) \,$

Ces égalités sont analogues à la formule d'Euler en trigonométrie classique.

De même que les coordonnées (cos(t), sin(t)) définissent un cercle, (cosh(t),sinh(t)) définissent la branche positive d'une hyperbole équilatérale. On a en effet pour t>0 :

$\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1 \,$ .

D'autre part, pour $x \in \mathbb R$ :

$\cosh(i x) = \frac{(e^{i x} + e^{-i x})}{2} = \cos(x)$

$\cosh(x) = \cos(i x) \,$

$\cosh(x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y) \,$

$\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cosh(x)}{2}$

Développement en série de Taylor

cosh, étant indéfiniment dérivable, possède un développement en série de Taylor en tout point :

$\cosh z = 1 + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^4} {4!} + \frac {z^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}$

Valeurs

Quelques valeurs de cosh :

$\cosh(0) = 1 \,$
$\cosh(1) = \frac {e^2+1}{2e}$
$\cosh(i) = \cos(1) \,$

Zéros

Tous les zéros de $cosh$ sont des imaginaires pures : $z\in \mathbb{C}, \cosh(z)=0 \Leftrightarrow z \in \{i( \pi / 2 + k \pi ) ; k \in \mathbb{Z}\}$ .

Démonstration: Soit $z = x + i y$ avec $x,y \in \mathbb{R}$ . On a alors : $\cosh(x+i y)=\cosh(x)\cos(y)-i\sinh(x)\sin(y)=0 \Leftrightarrow \cos(y)=0 \mbox{ et } \sinh(x)=0 \Leftrightarrow y \in \{\pi / 2 +k \pi ; k \in \mathbb{Z}\} \mbox{ et } x=0$ .

Fonction réciproque

Graphe de la fonction argument cosinus hyperbolique sur $\left[1;+\infty\right[$

cosh admet une fonction réciproque, notée argcosh (ou argch), et nommée argument cosinus hyperbolique. Il s'agit d'une fonction à valeurs multiples complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure le segment $\left]-\infty;1\right[$ .

$\operatorname{argcosh}(z) = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt {z-1})$

Pour $x \in \left[1;+\infty\right[$ , la restriction de cosh à $\mathbb R$ admet deux réciproques : $\operatorname{argcosh}(x)=\ln\left(x \pm \sqrt{x^2-1}\right)$ .

Utilisation

Physique

La courbe représentative de la fonction cosh sur $\mathbb R$ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.

Architecture

L'arche du Gateway

L'arche du Gateway à Saint-Louis (Missouri) possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à 192 m en son centre et enjambe 192 m à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation

$y=-39 \cosh \left( \frac{x}{39} \right)+231$

pour -96 < x < 96.

Voir aussi

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