Théorème

Théorème
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème (homonymie).

Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une théorie.

Une fois le théorème démontré, il est considéré comme vrai quelle que soit la valeur de vérité de sa prémisse (hypothèse de base) car il se présente sous la forme d'une implication: si A est vraie alors B est nécessairement vraie. Il peut alors être utilisé pour démontrer d'autres propositions. Démontrer le théorème consiste à démontrer l'impossibilité d'avoir à la fois A vrai et B faux.

Un théorème a généralement :

  • des hypothèses de base, i.e. des conditions qui peuvent être énumérées dans le théorème ou décrites d'avance,
  • une conclusion, i.e. une affirmation mathématique qui est vraie sous les conditions de base.

La démonstration, bien que nécessaire à la classification de la proposition comme « théorème », n'est pas considérée comme faisant partie du théorème.

Autre définition possible d'un théorème : « un énoncé dont on peut démontrer l’exactitude. »

La démonstration comprend :

  • des axiomes ;
  • les hypothèses du théorème ;
  • d'autres théorèmes déjà démontrés.

Chaque étape de la preuve est liée aux précédentes par des règles d'inférence logiques.

D'autres formes d'assertions

Au sens large toute assertion effectivement démontrée peut prendre le nom de théorème. Dans les ouvrages de mathématiques, il est cependant d'usage de réserver ce terme aux affirmations considérées comme nouvelles ou particulièrement intéressantes ou importantes. Selon leur importance, ou leur utilité, les autres assertions peuvent prendre des noms différents :

  • lemme : assertion servant d'intermédiaire pour démontrer un théorème plus important ;
  • corollaire : résultat qui découle directement d’un théorème prouvé ; on trouve aussi, dans les ouvrages anciens, le terme scholie. (Voir wikt:corollaire)
  • proposition : résultat relativement simple qui n'est pas associé avec un théorème particulier ;
  • remarque : résultat intéressant ou conséquence qui peut faire partie de la preuve ou d'une autre affirmation ;
  • conjecture : proposition mathématique dont on ignore la valeur de vérité. Une fois prouvée, une conjecture devient un théorème.

Comme énoncé ci-dessus, un théorème exige un raisonnement logique basé sur des axiomes. Cela consiste en une série d'axiomes fondamentaux (voir système d'axiomes) et un procédé d'inférence qui permet de dériver les axiomes en de nouveaux théorèmes et d'autres théorèmes démontrés auparavant. Dans la logique des propositions, n'importe quelle affirmation démontrée est appelée un théorème.

Articles connexes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • théorème — [ teɔrɛm ] n. m. • 1539; lat. theorema, mot gr. « objet d étude, principe », de theôrein→ théorie ♦ Proposition démontrable qui résulte d autres propositions déjà posées (opposé à définition, axiome, postulat, principe). Démontrer un théorème. ⇒… …   Encyclopédie Universelle

  • Théorème PI — Théorème de Buckingham En mathématiques, le théorème de Vaschy Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l analyse dimensionnelle. Sommaire 1 Énoncé 2 Démonstration de la 3e loi de Kepler 3 Références …   Wikipédia en Français

  • Théorème Pi — Théorème de Buckingham En mathématiques, le théorème de Vaschy Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l analyse dimensionnelle. Sommaire 1 Énoncé 2 Démonstration de la 3e loi de Kepler 3 Références …   Wikipédia en Français

  • Théorème pi — Théorème de Buckingham En mathématiques, le théorème de Vaschy Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l analyse dimensionnelle. Sommaire 1 Énoncé 2 Démonstration de la 3e loi de Kepler 3 Références …   Wikipédia en Français

  • theoreme — THEOREME. s. m. Proposition d une verité speculative qui se peut demonstrer. Ce terme est plus en usage dans les mathematiques que dans les autres sciences. Theoreme nouveau. theoreme important. theoreme dont on peut tirer de grandes consequences …   Dictionnaire de l'Académie française

  • Théorème H — Le théorème H est un théorème démontré par Boltzmann en 1872 dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, lorsqu un gaz hors d équilibre vérifie son équation. Selon ce théorème, il existe une certaine grandeur H(t) qui varie de façon monotone… …   Wikipédia en Français

  • THÉORÈME — n. m. T. didactique Proposition scientifique qui peut se démontrer. Un théorème de géométrie. Cette proposition : Les trois angles d’un triangle rectiligne sont égaux à deux droits, est un théorème …   Dictionnaire de l'Academie Francaise, 8eme edition (1935)

  • théorème — (té o rê m ) s. m. Terme didactique. Toute proposition qui a besoin d une démonstration pour devenir évidente. La proposition que, dans un triangle rectangle, le carré fait sur le grand côté est égal à la somme des carrés faits sur les deux… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • THÉORÈME — s. m. T. didactique. Proposition d une vérité spéculative qui se peut démontrer. Il est plus usité dans les mathématiques que dans les autres sciences. Cette proposition, Les trois angles d un triangle rectiligne sont égaux à deux droits, est un… …   Dictionnaire de l'Academie Francaise, 7eme edition (1835)

  • théorème — teorema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. proposition; theorem vok. Lehrsatz, m; Satz, m; Theorem, n rus. теорема, f pranc. théorème, m …   Automatikos terminų žodynas

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”