Théorème de Puiseux

Théorème de Puiseux
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Le théorème de Puiseux donne une description des solutions des équations polynomiales dont les coefficients sont des séries formelles de Laurent à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Une variante du théorème de Puiseux décrit les racines des équations polynomiales dont les coefficients sont des fonctions méromorphes.

Ce théorème était supposé être vrai par Jean le Rond D'Alembert qui l'utilise dans sa démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss.

Énoncé

Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Alors le corps des séries de Puiseux (en), i.e. la réunion des K((X1 / n)) pour tous les entiers n > 0, est une clôture algébrique du corps K((X)) des séries de Laurent. On peut montrer que chacune des hypothèses faites sur K est nécessaire.

Référence

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Springer, 2007 (ISBN 9783540343981), chap. V, exerc. 2 p. 143


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