Théorème de Burnside (problème de 1902)

Théorème de Burnside (problème de 1902)
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William Burnside (1852-1927)

En mathématiques, et plus précisément dans le contexte de la théorie des groupes finis, le théorème de Burnside traite des représentations de degré fini d'un groupe répondant aux critères du problème de Burnside de 1902 (en).

Ce théorème stipule que toute représentation de degré fini d'un groupe d'exposant fini possède une image finie.

Ce théorème est nommé en l'honneur William Burnside, qui l'a démontré en 1905.

Ce théorème est un élément de solution d'une vaste question, nommée problème de Burnside, sur les groupes de type fini et d'exposant fini. Cette conjecture est encore ouverte en 2006.

Sommaire

Enoncé

Un énoncé équivalent est que dans le groupe linéaire d'un espace vectoriel complexe de dimension finie, tout sous-groupe d'exposant fini est en fait fini.

Contexte

En 1902, William Burnside s'intéresse aux conjectures sur les groupes finis. Il pose en particulier la question générale suivante : un groupe de type fini, et dont tout élément est d'ordre fini, est-il fini ? Cette question prend le nom de problème de Burnside 1902, la date permettant de la différencier de sa non moins célèbre conjecture de 1911, résolue par Feit et Thompson.

Il pressent immédiatement la difficulté de cette question générale, et même de sa version bornée : un groupe de type fini et d'exposant fini est-il fini ? Dans l'article[1] décrivant cette conjecture, il traite le cas où l'exposant n est égal à deux ou à trois. Le cas où n est égal à deux est relativement simple car le groupe est alors abélien. Il traite aussi le cas où n est égal à quatre et où le groupe est engendré par deux éléments[2].

En 1905 il démontre[3] le théorème énoncé ci-dessus, ce qui met en évidence la difficulté de construire un contre-exemple à son problème : il faudrait, d'après son théorème, qu'un tel groupe n'ait aucune représentation fidèle de degré fini. En 1911, Issai Schur donne[4], pour le problème général de Burnside, la réponse partielle analogue : il démontre la finitude de l'image de toute représentation de degré fini d'un groupe de type fini dont tout élément est d'ordre fini.

Il faut attendre les travaux d'Efim Zelmanov[5] pour trouver le premier contre-exemple à la version bornée du problème de Burnside. Il reçoit en 1994 la médaille Fields pour ce résultat. Le problème reste très généralement ouvert. En 2006 par exemple, personne ne sait s'il existe un groupe d'ordre infini d'exposant cinq avec deux générateurs.

Démonstration

Les notations suivantes sont utilisées pour la démonstration : C désigne le corps des nombres complexes, V un espace vectoriel sur C de dimension finie noté n, u un endomorphisme de V et Tr désigne l'application trace du groupe linéaire GL(V) dans C. Ici, si p est un entier positif, up désigne la composée itérée p fois de u. Le sous-groupe image de la représentation est noté G, et l'algèbre de GL(V) engendrée par G est notée A.

Lemme

La démonstration s'appuie sur un lemme technique :

  • L'endomorphisme u est nilpotent si et seulement si pour tout entier p compris entre 1 et n, up possède une trace nulle.

En effet, si u est nilpotent, alors son unique valeur propre est zéro, et il en est de même pour ses puissances. Sa trace, ainsi que celle de ses puissances est nulles.

Réciproquement, supposons que la trace de u ainsi que de ses puissances soient nulles. Soient P[X] son polynôme caractéristique, k le nombre de ses valeurs propres, (λi) la famille de ses valeurs propres, si i est un entier entre 1 et k, et αi l'ordre de multiplicité de λi, c'est-à-dire :

P[X]=\prod_{i=1}^k (X-\lambda_i)^{\alpha_i}

Si i est un entier compris entre 1 et n, la trace de ui vérifie l'égalité suivante :

(i)\quad \forall i \in [1,n] \quad Tr(u^i)=\sum_{j=1}^k \alpha_j . \lambda_j^i=0

Pour s'en rendre compte, il suffit par exemple d'opérer une réduction de Jordan sur une matrice de u. La famille (αi) est annulée par la matrice (λij) si i et j sont des entiers entre 1 et k. On trouve alors une matrice de Vandermonde. On en déduit que zéro est valeur propre. En retranchant la valeur propre zéro du système d'équation (i), on obtient une nouvelle matrice de Vandermonde, l'unique valeur propre possible est donc zéro.

Le polynôme minimal est alors une puissance de X, ce qui signifie que u est nilpotent.

Théorème

Si le groupe G est fini, alors le théorème de Lagrange prouve qu'il est d'exposant fini.

Réciproquement, A est une algèbre de dimension finie, il existe donc une famille (gi) pour i variant de 1 à m qui est une base de cette algèbre. Soit φ l'application linéaire de A dans Cm définie par :

\forall a \in A \quad \varphi(a)= \Big (Tr(a\circ c_i)\Big )_{i \in [1,m]}

Le théorème se démontre en trois temps :

  • Si a et b sont deux éléments de A ayant même image par φ alors si k est un entier positif, la trace de ( ab-1 )k est égale à n.

Tout d'abord, on remarque que si m est un élément quelconque que A, alors les traces de am et de bm sont égales. En effet, la famille des ci est génératrice de l'espace vectoriel A et la trace est linéaire. Calculons alors la trace de ( ab-1 )k.

Si \; k \ge 1 \quad Tr\Big ((ab^{-1})^k \Big ) =Tr\Big (a (ab^{-1})^{k-1}b^{-1}\Big)=Tr\Big (b (ab^{-1})^{k-1} b^{-1} \Big) = Tr\Big ((ab^{-1})^{k-1} \Big)\;

La deuxième égalité est vraie car les deux derniers facteurs sont des éléments de A. Une récurrence permet de conclure que la trace de ( ab-1 )k est égale à celle de l'identité et donc à n.

  • L'application φ est injective.

Pour cela, déterminons la trace des puissances de ab-1 - Id où Id désigne l'endomorphisme identité. Si k est un entier positif, la formule du binôme de Newton montre que :

(ab^{-1} - Id)^k = \sum_{i=1}^k {k \choose i} Tr\Big ((ab^{-1})^i \Big )(-1)^{k-i}=n\sum_{i=1}^k {k \choose i}(-1)^{k-i} = 0 \;

L'endomorphisme ab-1 - Id est nilpotent d'après le lemme. Or ab-1 est un endomorphisme diagonalisable car, si e désigne l'exposant du groupe G, il admet comme polynôme annulateur Xe - 1, c'est-à-dire un polynôme scindé sans racine multiple. En effet, l'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si le polynôme minimal est scindé sans racine multiple (cette propriété est démontrée dans l'article polynôme d'endomorphisme).

Soit une base de vecteurs propres de ab-1, c'est aussi une base de vecteurs propres de l'identité et donc de ab-1 - Id. Ce dernier endomorphisme est donc à la fois diagonalisable et nilpotent, ce qui démontre qu'il est égale à l'endomorphisme nul. On en déduit que ab-1 est égal à l'identité ou encore que a est égal à b et la proposition est démontrée.

  • Le groupe G est d'ordre fini.

Si g est un élément de G alors les seules valeurs propres sont les racines e-ièmes de l'unité. On en déduit que la trace de g ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs et que l'ensemble d'arrivé de φ est fini. Comme φ est injective, G est un ensemble fini. Ce qui termine la démonstration.

Notes et références

Notes

  1. ↑ (en) William Burnside, « On an unsettled question in the theory of discontinuous groups », dans Quart. J. Math. 33 (1902), p. 230-238
  2. ↑ Cependant, il affirme qu'un tel groupe est d'ordre égal à 212, alors qu'en réalité ce nombre n'est qu'un majorant de l'ordre.
  3. ↑ (en) William Burnside, « On criteria for the finiteness of the order of a group of linear substitutions », dans Proc. London Math. Soc. (2) 3, 1905, p. 435-440
  4. ↑ (de) Issai Schur, « Über Gruppen periodischer Substitutionen », dans Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 1911, p.619-627
  5. ↑ (en) Efim Zelmanov, « Solution of the restricted Burnside problem for groups of odd exponent », dans Math. USSR Izvestiya 36 (1), 1991, p. 41-60

Références

  • (en) Marshall Hall, Jr. (en), The theory of groups [détail des éditions]
  • Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
  • X. Gourdon, Algèbre, Ellipses, 1994

Liens externes


v · Représentations d'un groupe fini
Théorie des représentations d'un groupe fini et de leurs caractères | Algèbre d'un groupe fini | Fonction centrale | Représentation régulière | Produit tensoriel | Représentation induite | Groupe symétrique d'indice trois | Groupe symétrique d'indice quatre | Groupe des quaternions | Théorème de Maschke | Lemme de Schur | Réciprocité de Frobenius | Critère d'irréductibilité de Mackey | Théorème de Burnside (groupe résoluble) | Théorème de Burnside (problème de 1902)

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