Tenseur des contraintes

Le tenseur des contraintes est une représentation utilisée en mécanique des milieux continus pour caractériser l'état de contrainte, c'est-à-dire les efforts intérieurs mis en jeu entre les portions déformées du milieu. Le terme a été introduit par Cauchy vers 1822.

Comme les efforts intérieurs sont définis pour chaque surface coupant le milieu (on parle d'ailleurs également d'efforts surfaciques), le tenseur est défini localement, en chaque point du solide. L'état de contrainte du solide est donc représenté par un champ tensoriel. On parle aussi de ce fait de champ de contrainte.

Dans le cadre de l'élasticité linéaire, le champ de contrainte est relié au champ de déformation par la loi de Hooke généralisée, c'est-à-dire que l'on peut écrire l'équation tensorielle (et non algébrique) $\sigma = E \varepsilon$ .

Dans le cadre de la géologie structurale et de la tectonique, on parle fréquemment de tenseur de paléo-contraintes. Il représente la partie anisotrope du tenseur des contraintes, responsable des déformations comme les plis, les failles ou les schistosités. La valeur absolue des termes de la matrice n'est pas accessible, mais il est possible de retrouver l'orientation du triaxe principal, ainsi que le rapport d'intensité entre ces trois axes.

Dans certains cas, il est possible de visualiser ces contraintes par la méthode de photoélasticimétrie.

Sommaire

1 Construction du tenseur
2 Symétrie du tenseur des contraintes
3 Pression isostatique
4 Principe de la coupure
5 Calcul des vecteurs-contrainte
6 Contraintes principales
7 Invariants du tenseur des contraintes
8 Déviateur
9 Voir aussi
- 9.1 Articles connexes
- 9.2 Liens externes

Construction du tenseur

Prenons une base $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ et un point M de la pièce. Considérons un cube de matière autour de M, d'arête infinitésimale dx = a, et dont les arêtes sont parallèles aux axes du repère.

numérotation des faces du cube

Numérotons ses faces :

les faces i et -i sont les faces normales à $\vec{e_i}$ , en partant du centre du cube, $\vec{e_i}$ pointe vers i, la face -i étant la face opposée.

Dans un premier temps, nous ne considérons que les faces numérotées positivement.

Indices des composantes du tenseur

Sur la face j s'exerce un vecteur-force $\vec{\mathrm{F}}_j$ qui a trois composantes :

$\vec{\mathrm{F}}_j = \begin{pmatrix} \mathrm{F}_{1j} \\ \mathrm{F}_{2j} \\ \mathrm{F}_{3j} \end{pmatrix}$

F_ij étant la composante selon $\vec{e_i}$ du vecteur-force s'exerçant sur la face j.

La surface de chaque facette étant a², on peut définir neuf composantes σ_ij homogènes à des contraintes :

$\sigma_{ij} = \frac{\mathrm{F}_{ij}}{a^2}$

On décrit donc l'état de contrainte par le tenseur

$\mathrm{T}(\mathrm{M}) = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\\ \end{pmatrix}$

T est un tenseur d'ordre 2, à 3 lignes et 3 colonnes. Il est défini localement pour un point M donné.

En mécanique, on n'utilise pas toujours la notation généralisée $(\vec{e_i})$ pour la base. Si l'on note la base $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ , les composantes du tenseur se notent alors :

$\mathrm{T}(\mathrm{M}) = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}\\ \end{pmatrix}$

Les termes hors diagonale correspondant à du cisaillement, on les note souvent τ_ij , les composantes du tenseur se notent alors :

$\mathrm{T}(\mathrm{M}) = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}\\ \end{pmatrix}$

Symétrie du tenseur des contraintes

En statique, le tenseur des contraintes est toujours symétrique, c'est-à-dire que :

σ_i j = σ_j i

ce qui traduit l'équilibre en moment d'un volume infinitésimal.

Le tenseur s'écrit donc :

$\mathrm{T}_{ij} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33}\\ \end{pmatrix}$ .

Du fait de cette symétrie, on peut écrire le tenseur comme un vecteur, selon la notation de Voigt : en définissant

σ₁ = σ₁₁, σ₂ = σ₂₂, σ₃ = σ₃₃ ;
σ₄ = σ₂₃, σ₅ = σ₃₁, σ₆ = σ₁₂ ;

On peut alors mettre le tenseur sous la forme :

$\mathrm{T}_{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \\ \end{pmatrix}$ .

Ceci facilite l'écriture de la loi de Hooke généralisée. On voit aussi que l'espace des contraintes est un espace vectoriel à six dimensions.

Pression isostatique

La pression isostatique p est définie comme le tiers de la trace de la matrice, c'est-à-dire comme la moyenne des termes diagonaux :

$p = \frac{\mathrm{tr}(\mathrm{T})}{3} = \frac{\sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33}}{3}$

Sa valeur ne dépend pas du repère x y z utilisé.

C'est une généralisation de la notion de pression hydrostatique dans les liquides. Dans le cadre de la géophysique, on parle de pression lithostatique. Toutefois, dans ces cas-là, on considère -p : une contrainte de compression a une valeur négative, p est donc négatif dans ces cas-là.

Principe de la coupure

Une manière simple de déterminer le tenseur des contraintes consiste à employer le « principe de la coupure ». Il s'agit d'une opération de pensée dans laquelle on scie l'objet selon un plan donné.

Supposons un solide se déformant sous l'effet de deux forces extérieures opposées. Si l'on coupe le solide en deux et que l'on sépare les moitiés, alors chaque moitié n'est soumise qu'à une seule force et donc n'est plus déformée mais mise en mouvement. Pour que chaque moitié retrouve sa déformation, il faut exercer une pression sur chacune des faces de la coupure.

Lorsqu'il y a des symétries évidentes à un problème, le choix de plans de coupe judicieux permet de déterminer de manière simple le tenseur des contraintes. C'est ainsi que l'on peut déterminer que dans le cas de la torsion d'un tube, on a un cisaillement pur.

Article détaillé : Principe de la coupure.

Calcul des vecteurs-contrainte

Tétraèdre permettant de calculer le vecteur-contrainte normal à une face quelconque

Considérons le petit élément de volume $d τ$ délimité par le tétraèdre de sommets M, (dx₁,0,0),(0,dx₂,0), (0,0,dx₃). Les vecteurs normaux aux faces sont donc $\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$ et le vecteur de composantes $(1 / d x 1,1 / d x 2,1 / d x 3)$ . La force $\vec{\mathrm{F}}$ s'exerçant sur une face vérifie

$\vec \mathrm{F} = \mathrm{T} \cdot \vec n$

où $\vec n$ le vecteur caractéristique de la face, c'est-à-dire le vecteur normal ayant pour norme l'aire de la face.

On a par exemple sur la face [M, (dx₁,0,0),(0,dx₂,0)], la relation

$\vec \mathrm{F} = \begin{pmatrix} \mathrm{F}_1 \\ \mathrm{F}_2 \\ \mathrm{F}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33}\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ (\mathrm{d}x_1 \cdot \mathrm{d}x_2)/2\\\end{pmatrix}$

Contraintes principales

Il existe (au moins) une base orthonormée de l'espace dans laquelle le tenseur des contraintes est une matrice diagonale :

$\mathrm{T}_{ij} = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \\ \end{pmatrix}$ .

Ceci résulte de la symétrie de ce tenseur. Les valeurs σ₁, σ₂ et σ₃ sont appelées contraintes principales (il ne faut pas les confondre avec les contraintes en notation de Voigt).

Invariants du tenseur des contraintes

Les contraintes principales permettent de déterminer les invariants du tenseur :

$\mathrm{I}_1 = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 = \mathrm{tr}(\mathrm{T}_{ij})\;$ ;

$\mathrm{I}_2 = \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2 \sigma_3 + \sigma_1 \sigma_3 = \mathrm{tr}(\mathrm{com}(\mathrm{T}_{ij}))\;$ ;

$\mathrm{I}_3 = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \mathrm{det}(\mathrm{T}_{ij})\;$ .

Notons que l'on a :

$p = \frac{\mathrm{I}_1}{3}$

Déviateur

Le tenseur des contraintes peut se décomposer en une somme de deux tenseurs : le déviateur (s_ij ) et la pression isostatique p⋅(δ_ij ) :

$T_{ij} = \begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} & s_{13} \\ s_{12} & s_{22} & s_{23} \\ s_{13} & s_{23} & s_{33} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p \\ \end{pmatrix}$ .

Le déviateur a les mêmes directions principales que le tenseur des contraintes, on a alors dans ce repère :

$s_{ij} = \begin{pmatrix} s_{1} & 0 & 0 \\ 0 & s_{2} & 0 \\ 0 & 0 & s_{3} \\ \end{pmatrix}$ .

On peut définir des invariants pour le déviateur :

J 1 = s 1 + s 2 + s 3 = tr(s i j) = 0

;

J 2 = - s 1 s 2 - s 2 s 3 - s 1 s 3

;

J 3 = s 1 s 2 s 3 = det(s i j)

Notons que l'on a aussi :

J 1 = s 11 + s 22 + s 33

;

$\begin{align} \mathrm{J}_2 & = - \tfrac{1}{2} \sum_{i, j} s_{ij} s_{ji} \\ & = \tfrac{1}{6} \left ( (\sigma_{11} - \sigma_{22})^2 + (\sigma_{22} - \sigma_{33})^2 + (\sigma_{33} - \sigma_{11})^2 +6(\sigma_{12}^2 + \sigma_{23}^2 + \sigma_{13}^2) \right ) \\ & = \tfrac{1}{6} \left ( (\sigma_{1} - \sigma_{2})^2 + (\sigma_{2} - \sigma_{3})^2 + (\sigma_{1} - \sigma_{3})^2 \right ) \\ & = \tfrac{1}{3} \mathrm{I}_1^2 - \mathrm{I}_2 \\ \end{align}$ ;

$\begin{align} \mathrm{J}_3 & = \tfrac{1}{3} \sum_{i, j, k} s_{ij} s_{jk} s_{ki} \\ & = \tfrac{2}{27} \mathrm{I}_1^3 - \tfrac{1}{3} \mathrm{I}_1 \mathrm{I}_2 + \mathrm{I}_3 \end{align}$ .

Ces invariants sont utiles pour définir le domaine élastique et la contrainte de comparaison.

Voir aussi

Liens externes

(fr) Les critères de plasticité : complément d'information, ENS Cachan
(en) [PDF] G. Backus, Continuum Mechanics, Samizdat Press
(en) [PDF] B. Kennett, Lecture Notes for a Course on Continuum Mechanics, Samizdat Press

v · d · m Les tenseurs en mathématiques et physique
Article général : Tenseur
Mathématiques	Tenseur en mathématiques · Produit tensoriel · ... de deux modules · ... de deux applications linéaires · Algèbre tensorielle · Champ tensoriel · Espace tensoriel
Physique	Convention de sommation d'Einstein · Tenseur métrique · Tenseur énergie-impulsion · Tenseur de Riemann · ... de Ricci · ... d'Einstein · ... de Weyl · ... de Levi-Civita · ... de Killing · ... de Killing-Yano · ... de Bel-Robinson · ... de Cotton-York · Tenseur électromagnétique · Tenseur des contraintes · Tenseur des déformations
Articles connexes : Modules · Algèbre extérieure

Portail de la physique
Portail de la géodésie et de la géophysique
Portail des sciences de la Terre et de l’Univers

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Tenseur des contraintes de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

tenseur des contraintes — įtempių tenzorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. stress tensor vok. Spannungstensor, m rus. тензор напряжений, m; тензор натяжений, m pranc. tenseur des contraintes, m; tenseur des efforts, m … Fizikos terminų žodynas
Tenseur des deformations — Tenseur des déformations Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace… … Wikipédia en Français
Tenseur des déformations — Le tenseur des déformations est un tenseur symétrique d ordre 2 servant à décrire l état de déformation local résultant de contraintes (efforts internes). L état de déformation d un solide est décrit par un champ de tenseur, c est à dire que le… … Wikipédia en Français
tenseur des efforts — įtempių tenzorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. stress tensor vok. Spannungstensor, m rus. тензор напряжений, m; тензор натяжений, m pranc. tenseur des contraintes, m; tenseur des efforts, m … Fizikos terminų žodynas
Tenseur de Cotton — York Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel … Wikipédia en Français
Tenseur de cotton-york — Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel … Wikipédia en Français
Tenseur metrique — Tenseur métrique Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel … Wikipédia en Français
Tenseur de levi-civita — Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel … Wikipédia en Français
Tenseur dualiseur — Tenseur de Levi Civita Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel … Wikipédia en Français
Tenseur de courbure — Tenseur de Riemann Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Tenseur des contraintes

Sommaire

Construction du tenseur

Symétrie du tenseur des contraintes

Pression isostatique

Principe de la coupure

Calcul des vecteurs-contrainte

Contraintes principales

Invariants du tenseur des contraintes

Déviateur

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Tenseur des contraintes

Sommaire

Construction du tenseur

Symétrie du tenseur des contraintes

Pression isostatique

Principe de la coupure

Calcul des vecteurs-contrainte

Contraintes principales

Invariants du tenseur des contraintes

Déviateur

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link