Tenseur d'Einstein

Tenseur d'Einstein

En relativité générale, le tenseur d'Einstein est la quantité qui décrit comment le champ gravitationnel est affecté par la présence de matière.

Sommaire

Formule du tenseur dEinstein en deux dimensions

Le tenseur dEinstein est un tenseur dordre 2, ce qui schématiquement signifie que lon peut le représenter sous forme dune matrice, qui possède 4 lignes et 4 colonnes, autant que les coordonnées de lespace-temps dans lequel nous vivons. Il se déduit du tenseur de Ricci par la formule

G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}

Gμν étant le tenseur dEinstein, Rμν le tenseur de Ricci, gμν la métrique riemannienne de lespace-temps, et R la courbure scalaire, cest-à-dire la trace du tenseur de Ricci. En deux dimensions, il s'écrit:

\left.G_{xx}= R_{xx}-\frac12 g_{xx}R\right.

ou

\left. G_{yy} =R_{yy}-\frac12 g_{yy}R\right.

Ces deux expressions sont égales et même nulles car on a:

\left. R_{xx} = g^{xx} R_{xxxx} +g^{yy} R_{xyxy} = g^{yy}R_{xyxy} = 0+\frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}\right.
R = g^{mn} R_{mn} = g^{xx} R_{xx} +g^{yy} R_{yy} = \frac{1}{g_{xx}} R_{xx} +\frac{1}{g_{yy}} R_{yy} = \frac{2}{g_{xx}g_{yy}} R_{xyxy}
G_{xx}= \frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}-\frac12 g_{xx}\frac{2}{g_{xx}g_{yy}} R_{xyxy}=0

On aurait de même Gyy = 0. Le tenseur d'Einstein d'une surface est identiquement nul, au contraire du tenseur de Riemann,ce qu'on vérifie sur la sphère[1].

Propriété fondamentale

Le tenseur de Ricci se déduit dun autre tenseur, le tenseur de Riemann. Celui-ci obéit à un certain nombre de propriétés dont lune est appelée identité de Bianchi. Celle-ci, transposée à la définition du tenseur dEinstein, implique quil est de divergence nulle :

DμGμν = 0,

D est la dérivée covariante, sorte de généralisation du concept usuel de dérivée au cas lespace temps est courbé par la présence de matière, et les composantes dites covariantes Gμν se déduisent de celles dites contravariantes de Gμν par la formule Gμν = gμαgνβGαβ

Importance en relativité générale

Le tenseur dEinstein est le seul tenseur dordre deux faisant intervenir la métrique et ses dérivées jusquà lordre deux qui soit de divergence nulle. Cest donc le candidat idéal pour faire partie des équations d'Einstein, qui relient la géométrie de lespace-temps (en fait le tenseur dEinstein) à la distribution de matière, décrite par le tenseur énergie-impulsion Tμν . Les équations dEinstein sécrivent ainsi

Gμν = κTμν

la constante de proportionnalité κ est appelée constante d'Einstein est ajustée de façon à ce que les équations dEinstein deviennent équivalente aux lois de la gravitation universelle reliant le potentiel gravitationnel Φ à la masse volumique µ au même point selon la loi dite de Poisson ΔΦ = Gμ, G étant la constante de Newton et Δ le laplacien.

Références

  1. Kenyon, I.R., General relativity, Oxford University Press, 1990

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Tenseur d'Einstein de Wikipédia en français (auteurs)

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