Nombre décimal

Nombre décimal
Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Système décimal.

Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité, c'est-à-dire, un nombre qui s'écrit avec une quantité quelconque, mais finie, de chiffres derrière la virgule.

Sommaire

Caractérisation

Si a est un nombre rationnel, les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait que le nombre a est décimal :

  • a admet un développement décimal limité (c'est-à-dire avec un nombre fini de chiffres différents de 0 et de 9).
  • Il existe m\in \mathbb Z et p\in \mathbb N tels que : a = \frac{m}{10^p}.
  • On peut écrire a sous la forme d'une fraction irréductible \frac{b}{5^m \times 2^p}, où b est un entier relatif premier avec 5 et 2, et m et p des entiers naturels.
  • soit a possède deux développements décimaux distincts, soit a=0.

Remarques

  • La première assertion différencie 1,6666 qui est un nombre décimal de 1,6666... qui n'en n'est pas un. (Ce dernier nombre qui s'écrirait avec une infinité de 6, peut s'écrire 5/3 sous forme de fraction).
  • La deuxième assertion nous dit qu'un nombre tel que \frac{765}{10^8} est un nombre décimal. (Elle peut difficilement être utilisée pour prouver qu'un nombre donné sous forme de fraction n'est pas décimal, parce que la fraction qu'on a mentionnée dans l'énoncé n'est pas nécessairement irréductible).
  • La troisième assertion donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible (par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur), puis de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 ou par 5.
  • La quatrième assertion confirme une propriété des nombres décimaux qui est parfois considérée comme une « curiosité »: Le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999... (avec une infinité de 9). Autrement dit, le développement décimal des nombres décimaux n'est pas unique si on autorise les développements décimaux infinis. Pour plus de détails, voir l'article Développement décimal de l'unité.

Structure algébrique

  • L'ensemble des décimaux est souvent noté \mathbb D.
  • L'ensemble des nombres décimaux muni des lois d'addition et de multiplication est noté (\mathbb D,+,\times). C'est un anneau intègre, qui est la localisation de \mathbb Z par rapport à l'ensemble des puissances entières positives de 10. Son corps des fractions est l'ensemble des nombres rationnels \mathbb Q.

Topologie

L'ensemble \mathbb D des décimaux est dense dans \mathbb R.

Autrement dit, tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres décimaux. Ce théorème est fréquemment utilisé lors de la recherche de valeurs approchées.

Utilisation

Dans toutes les autres sciences que les mathématiques, les nombres décimaux sont pratiquement les seuls à être utilisés.

C'est dans le but d'harmoniser l'usage des nombres décimaux avec celui des unités de mesure que les révolutionnaires Français de 1789 ont été conduit à introduire le système métrique, qui est un système décimal d'unités.

Voir aussi



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre décimal de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Nombre Décimal —  Ne doit pas être confondu avec Base décimale. Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s écrire sous la forme (où a et p sont des entiers relatifs). Ce n est pas le cas, par exemple, du nombre qui …   Wikipédia en Français

  • Nombre decimal — Nombre décimal  Ne doit pas être confondu avec Base décimale. Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s écrire sous la forme (où a et p sont des entiers relatifs). Ce n est pas le cas, par exemple …   Wikipédia en Français

  • Nombre décimal — ● Nombre décimal élément de l ensemble D. (→ D.) …   Encyclopédie Universelle

  • nombre décimal groupé — glaustasis dešimtainis skaičius statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. packet decimal; packet decimal number vok. gepackte Dezimalzahl, f rus. упакованное десятичное число, n pranc. nombre décimal groupé, m …   Automatikos terminų žodynas

  • décimal — décimal, ale, aux [ desimal, o ] adj. et n. f. • 1746; de décime ♦ Qui procède par dix; qui a pour base le nombre dix. Numération décimale, à base dix. Nombre décimal, pouvant s écrire sous la forme d une fraction dont le dénominateur est une… …   Encyclopédie Universelle

  • Nombre Réel — Les nombres réels (dont l ensemble est noté ℝ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu ils soient positifs, négatifs ou nuls,… …   Wikipédia en Français

  • Nombre reel — Nombre réel Les nombres réels (dont l ensemble est noté ℝ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu ils soient positifs, négatifs… …   Wikipédia en Français

  • Décimal — Nombre décimal  Ne doit pas être confondu avec Base décimale. Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s écrire sous la forme (où a et p sont des entiers relatifs). Ce n est pas le cas, par exemple …   Wikipédia en Français

  • Nombre Rationnel — Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers (souvent appelés fractions) sont souvent notés a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec …   Wikipédia en Français

  • Nombre Normal — En mathématiques, un nombre normal est un nombre réel qui a ses chiffres équidistribués dans son développement décimal, ceux ci apparaissant tous à la même fréquence. Les « chiffres » font référence aux chiffres avant la virgule (la… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”