Module de Young

Le module de Young ou module d'élasticité (longitudinale) ou encore module de traction est la constante qui relie la contrainte de traction (ou de compression) et la déformation pour un matériau élastique isotrope.

Le physicien britannique Thomas Young (1773-1829) avait remarqué que le rapport entre la contrainte de traction appliquée à un matériau et la déformation qui en résulte (un allongement relatif) est constant, tant que cette déformation reste petite et que la limite d'élasticité du matériau n'est pas atteinte. La loi d'élasticité est la loi de Hooke :

Diagramme contrainte-déformation

σ = E ε

où :

$σ$ est la contrainte (en unité de pression),
$E$ est le module de Young (en unité de pression),
$ε$ est l'allongement relatif, ou déformation (adimensionnel).

Le module de Young est la contrainte mécanique qui engendrerait un allongement de 100 % de la longueur initiale d'un matériau (il doublerait donc de longueur), si l'on pouvait l'appliquer réellement : dans les faits, le matériau se déforme de façon permanente, ou se rompt, bien avant que cette valeur soit atteinte.

Un matériau dont le module de Young est très élevé est dit rigide. L'acier, l'iridium, le diamant, sont des matériaux très rigides, l'aluminium et le plomb le sont moins, les matières plastiques et organiques sont généralement peu rigides. Il ne faut cependant pas confondre élasticité et rigidité puisque la raideur d'une poutre par exemple dépend de son module de Young mais aussi du moment d'inertie de sa section.

Note
Il ne faut pas confondre rigidité et raideur. La rigidité caractérise les matériaux, la raideur concerne les produits et les constructions. Une pièce mécanique massive en matière plastique peut être beaucoup plus raide qu'un ressort en acier.

Sommaire

1 Unités
2 Expression théorique
3 Relations
4 Les méthodes de mesure du module de Young
5 Quelques valeurs numériques de modules de Young
6 Utilisations
7 Références

Unités

D'après l'équation aux dimensions, le module de Young est homogène à une pression, ou plus précisément une contrainte. L'unité internationale est donc le pascal (Pa). Cependant, en raison des valeurs élevées que prend ce module, il est en général donné en gigapascal (GPa).

Expression théorique

Dans le cas d'un matériau cristallin et certains matériaux amorphes, le module de Young exprime la « force de rappel » électrostatique qui tend à maintenir les atomes à distance constante. Il peut s'exprimer en fonction de la dérivée seconde du potentiel interatomique.

Dans le système d'unités « naturelles » atomique, le module de Young, pour un matériau isotrope, est homogène à^[1] :

$E = E_0 = \frac{m^4 q_e^{10}}{\hbar^8}$

où $q_e^2 = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}$ et où $\hbar=\frac{h}{2 \pi}$ est la constante de Planck réduite.

Cela dit, compte tenu des problèmes où il apparaît (bilaplacien), il paraît assez naturel de le rationaliser soit

comme $E 1 = E 0 / (16π 2)$ , soit
comme $E 2 = E 0 / 64π 6$ ,

les ordres de grandeur de $E 1$ ou $E 2$ sont à comparer aux valeurs tabulées, de l'ordre de 100 GPa, qui apparaissent alors relever de ce corpus théorique.

Dans le cas des polymères, c'est l'agitation thermique qui « tortille » la chaîne carbonée qui tend à maintenir la longueur de la chaîne constante. Le module de Young peut alors s'exprimer en fonction de l'entropie.

Cette différence de comportement est flagrante lorsque l'on considère l'influence de la température ; si l'on soumet une éprouvette à une charge constante :

lorsque l'on augmente la température, une éprouvette de métal s'allonge (dilatation), donc son module de Young diminue, tandis que l'éprouvette en polymère se raccourcit (les chaînes s'agitent, s'entortillent) donc son module de Young augmente^{[réf. nécessaire]} ;
lorsque l'on diminue la température, on observe le phénomène inverse : l'éprouvette de métal se raccourcit (contraction) donc son module de Young augmente, tandis que l'éprouvette de polymère s'allonge (les chaînes sont moins agitées et se laissent étirer) donc son module de Young diminue^{[réf. nécessaire]}.

Relations

Avec le module de cisaillement ( $G$ ) et le coefficient de Poisson ( $ν$ ) :

$E = 2(1+\nu)\cdot G$ .

Avec $λ$ et $μ$ appelées coefficients de Lamé :

$E = \frac{(3{\lambda}+2{\mu}){\mu}}{{\lambda}+{\mu}}$ .

Les méthodes de mesure du module de Young

Le plus simple reste bien sûr de réaliser un essai de traction. Et, connaissant les dimensions de l'éprouvette, d'en déduire le module de Young $E$ . Cependant, il est difficile de réaliser cette mesure avec une bonne précision.

C'est pourquoi on préfère, lorsque cela est possible, déduire le module de Young de la fréquence propre de vibration d'une tige de matériau maintenue à ses extrémités et chargée en son milieu.

Quelques valeurs numériques de modules de Young

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. D'un point de vue global, selon M. Ashby, on trouve des matériaux dont la valeur est comprise entre 10 kPa (mousses) et 1000 GPa (céramiques technique).

Métaux purs
Matériaux	Module (GPa)
Aluminium (Al)	69
Argent (Ag)	83
Baryum (Ba)	13
Ber !Béryllium (Be)	240
Bismuth (Bi)	32
Cadmium (Cd)	50
ces !Césium (Cs)	1,7
Chrome (Cr)	289
Cobalt (Co)	209
Cuivre (Cu)	124
Etain !Étain (Sn)	41,5
Fer (Fe)	196
Germanium (Ge)	89,6
Indium (In)	11
Iridium (Ir)	528
Lithium (Li)	4,9
Magnésium (Mg)	45
Manganèse (Mn)	198
Molybdène (Mo)	329
Nickel (Ni)	214
Niobium (Nb)	105
Or (Au)	78
Palladium (Pd)	121
Platine (Pt)	168
Plomb (Pb)	18
Plutonium (Pu)	96
Rhodium (Rh)	275
Rubidium (Rb)	2,4
Ruthénium (Ru)	447
Scandium (Sc)	74
Sel !Sélénium (Se)	10
Sodium (Na)	10
Tantale (Ta)	186
Titane (Ti)	114
Tungstène (W)	406
Uranium (U)	208
Vanadium (V)	128
Zinc (Zn)	78
Zirconium (Zr)	68

Alliages
Matériaux	Module (GPa)
Acier de construction	210
Acier à ressorts	220
Acier inoxydable 18-10	203
Bronze (cuivre + 9 à 12% d'étain)	124
Bronze au béryllium	130
Cuivre laminé U4 (Recuit)	90
Cuivre laminé U4 (Écroui dur)	150
Duralumin AU4G	75
Fontes	83 à 170
Hastelloy B2 (Ni + Mo)	217
Hastelloy C 2000 (Ni + Cr + Mo)	206
Inconel X-750 (Ni + Cr + Fe)	212 à 218
Invar	140
Monel 400 (Ni + Cu)	173
Nimonic 90 (Ni + Cr + Co)	213 à 240
Nispan (Ni + Cr + Ti)	165 à 200
Phynox (Co + Cr + Ni + Mo)	203

Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Matériaux	Module (GPa)
Arsenic (As)	8
Arséniure de gallium (AsGa)	85,5
Béton	20 à 50
Brique	14
Calcaire (carbonate de calcium CaCO₃, pierres)	20 à 70
Carbure de chrome (Cr₃C₂)	373
Carbure de silicium (SiC)	450
Carbure de titane (TiC)	440
Carbure de tungstène (WC)	650
Carbure de zirconium (ZrC)	380 à 440
Diamant (C)	1 000
Graphite	30
Granite	60
Marbre	26
Mullite (Al₆Si₂O₁₃)	145
Alumine (Oxyde d'aluminium Al₂O₃)	390
Oxyde de béryllium (BeO)	30
Oxyde de magnésium (MgO)	250
Oxyde de zirconium (ZrO)	200
Saphir	420
Silice (oxyde de silicium SiO₂)	107
Titanate d'aluminium (Ti₃Al)	140
Titanate de baryum (BaTiO₃)	67
Verre	69

Bois
Matériaux	Module (GPa)
Acajou (Afrique)	12
Bambou	20
Bois de rose (Brésil)	16
Bois de rose (Inde)	12
Chêne	12
Contreplaqué glaw	12,4
Epi !Épicéa	10 à 13
Era !Érable	10
Frêne	10
Papier	3 à 4
Séquoia	9,5

N.B. Ces valeurs sont celles du module d'élasticité dans le sens parallèle au fil (matériau anisotrope). Dans une même essence, celui-ci varie en fonction de l'humidité, de la densité (qui n'est pas constante) et d'autres caractéristiques (longueur des fibres...).

Polymères, fibres
Matériaux	Module (GPa)
Caoutchouc	0.001 à 0.1
Fibre de carbone haut module	640
Fibre de carbone haute résistance	240
Kevlar	34.5
Nanotubes (Carbone)	000001100 !1 100
Nylon	2 à 5
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle)	000002.38 !2,38
Polyamide	3 à 5
Polycarbonate	2.3
polyeth !Polyéthylène	0.2 à 0.7
Polystyrène	3 à 3.4
Résines époxy	3.5

Biomatériaux
Matériaux	Module (GPa)
Bec de poussin	50
Cartilage	0,024
Cheveux	10
Collagène	0,006
Fémur	17,2
Humérus	17,2
Piquant d'oursin	15 à 65
Radius	18,6
Soie d'araignée	60
Tibia	18,1
Vertèbre cervicale	0,23
Vertèbre lombaire	0,16

Utilisations

Médecine

La mesure des variations du module de Young dans un organe est une possibilité de l'imagerie médicale qui permet de représenter l'élasticité des tissus même profonds, par exemple pour donner l'étendue de la fibrose d'un foie ou détecter dans un sein un carcinome petit ou profond, peu décelable à la palpation (élastographie de 2^e génération).

Références

↑ Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »] [détail des éditions] , chapitre 3.

Ch. KITTEL , physique du solide, éd. Dunod ; chapitre : constantes d'élasticité.
Michael F. Ashby, David R. H. Jones, Matériaux 1. Propriétés et applications, éd. Dunod; chapitre 3: Les constantes d'élasticité.

v · Module de cisaillement ( $G$ ) • Module de compression ( $K$ ) • Premier coefficient de Lamé ( $λ$ ) • Coefficient de Poisson ( $ν$ ) • Module d'onde de compression ( $M$ , P-wave modulus)

Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.
	$(\lambda,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda)$	$(K,\,G)$	$(\lambda,\,\nu)$	$(G,\,\nu)$	$(E,\,\nu)$	$(K,\, \nu)$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda+ \tfrac{2G}{3}$	$\tfrac{EG}{3(3G-E)}$			$\tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}$	$\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}$	$\tfrac{E}{3(1-2\nu)}$			$M - \tfrac{4G}{3}$
$E=\,$	$\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}$		$\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}$	$\tfrac{9KG}{3K+G}$	$\tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}$	$2G(1+\nu)\,$		$3K(1-2\nu)\,$		$\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}$
$\lambda=\,$		$\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}$		$K-\tfrac{2G}{3}$		$\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}$	$\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K\nu}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}$	$M - 2G\,$
$G=\,$			$\tfrac{3(K-\lambda)}{2}$		$\tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}$		$\tfrac{E}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3KE}{9K-E}$
$\nu=\,$	$\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}$	$\tfrac{E}{2G}-1$	$\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}$	$\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}$					$\tfrac{3K-E}{6K}$	$\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}$
$M=\,$	$\lambda+2G\,$	$\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}$	$3K-2\lambda\,$	$K+\tfrac{4G}{3}$	$\tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu}$	$\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu}$	$\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}$

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Module de Young de Wikipédia en français (auteurs)

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