Bilaplacien

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Opérateur bilaplacien

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L'opérateur bilaplacien, ou opérateur biharmonique est, comme son nom le suggère, le nom donné à l'opérateur laplacien appliqué deux fois.

Expression

Dans un système de coordonnées cartésiennes x1,x2,...xn, la bilaplacien s'écrit

\Delta^2 = \nabla^4 = \sum_i \frac{\partial^4}{(\partial x^i)^4} + 2 \sum_{i < j} \frac{\partial^4}{(\partial x^i)^2(\partial x^j)^2}.

D'autre part, dans un espace euclidien de dimension n, la relation suivante est toujours vérifiée :

\Delta^2 \left(\frac{1}{ r}\right)= \frac{3(15-8n+n^2)}{ r^5}

avec r la distance euclidienne :

r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2} = \left(\sum_{k=0}^nx_k^2\right)^{\frac12}.

Voir aussi

Référence

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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