Théorème de Radon-Nikodym

Théorème de Radon-Nikodym

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Sommaire

Absolue continuité

Définition —  Soit \scriptstyle\ \nu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A})\ et soit \scriptstyle\ \rho,\tilde{\rho}\ des mesures positives \scriptstyle\ \sigma-finies (resp. réelles, resp. complexes) sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A}).

  • On dit que \scriptstyle\ \rho\ est absolument continue par rapport à \scriptstyle\ \nu\ si pour tout \scriptstyle\ A\in\mathcal{A}\ tel que \scriptstyle\ \nu(A)=0, on a également \scriptstyle\ \rho(A)=0. On note alors
\rho\ll\nu.
  • On dit que \scriptstyle\ \rho\ est portée par \scriptstyle\ E\in\mathcal{A}\ si pour tout \scriptstyle\ A\in\mathcal{A}\ on a
\rho(A)=\rho(A\cap E),\quad\text{ ou bien encore }\quad\rho(A\backslash E)=0.
  • On dit que \scriptstyle\ \rho\ et \scriptstyle\ \tilde{\rho}\ sont mutuellement étrangères s'il existe \scriptstyle\ E\in\mathcal{A}\ telle que \scriptstyle\ \rho\ soit portée par \scriptstyle\ E\ et \scriptstyle\ \tilde{\rho}\ soit portée par \scriptstyle\ E^c. On note
\rho\perp\tilde{\rho}.

Théorème de Radon-Nikodym

En mathématiques, le théorème de Radon-Nikodym est un résultat de théorie de la mesure, cependant une preuve faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du XXième siècle (voir par exemple le manuel Analyse réelle et complexe de Rudin pour de plus amples détails). Il s'énonce de la façon suivante :

Théorème de Radon-Nikodym — Soient \scriptstyle\ \nu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A})\ et \scriptstyle\ \mu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A}). Alors :

(i) Il existe un unique couple de mesures \scriptstyle\ \mu_1\ et \scriptstyle\ \mu_2\ telles que :

  • μ = μ1 + μ2
  • \mu_1 \ll \nu
  • \mu_2 \perp \nu

\scriptstyle\ \mu_1\ et \scriptstyle\ \mu_2\ sont des mesures positives \scriptstyle\ \sigma\ -finies (resp. réelles, resp. complexes).

(ii) Il existe une unique (à égalité \scriptstyle\ \nu-presque partout près) fonction \scriptstyle\ h\ mesurable positive (resp. \scriptstyle\ \nu-intégrable réelle, resp. \scriptstyle\ \nu-intégrable complexe), telle que pour tout \scriptstyle\ A\in \mathcal{A}, on ait

\mu_1(A) = \int_A h\ d\nu = \int_X 1_A\,h\ d\nu.

Densité d'une mesure

Définition —  Soit \scriptstyle\ \nu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A})\ et soit \scriptstyle\ \rho\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A}). On dit que \scriptstyle\ \rho\ possède une densité \scriptstyle\ h\ par rapport à \scriptstyle\ \nu\ si \scriptstyle\ h\ est une fonction mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe), telle que pour tout \scriptstyle\ A\in\mathcal{A}\ on ait

\rho(A) = \int_A h\ d\nu = \int_X 1_A\,h\ d\nu.

On note

h=\frac{d\rho}{d\nu}.

En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante :

Proposition — Soient \scriptstyle\ \nu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A})\ et \scriptstyle\ \mu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A}). Alors on équivalence entre :

  • \mu \ll \nu,
  • \scriptstyle\ \mu\ possède une densité par rapport à \scriptstyle\ \nu.
Démonstration

Si \scriptstyle\ \mu \ll \nu, alors, clairement, \scriptstyle\ \mu=\mu+0\ est un décomposition de \scriptstyle\ \mu\ satisfaisant le Théorème de Radon-Nikodym, donc, en vertu de la dernière partie du Théorème, \scriptstyle\ \mu\ possède une densité par rapport à \scriptstyle\ \nu. Réciproquement, notons \scriptstyle\ h\ la densité de \scriptstyle\ \mu\ par rapport à \scriptstyle\ \nu. Si

\nu(A) = \int_X 1_A\ d\nu = 0,

alors \scriptstyle\ 1_A\ est nul \scriptstyle\ \nu-presque partout. Il suit que \scriptstyle\ 1_A\,h\ est nul \scriptstyle\ \nu-presque partout également, donc

\mu(A) = \int_X 1_A\,h\ d\nu=0.

Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

Rappel — 

\mathbb{P}(X\in A)= \int_{\mathbb{R}^d}\ 1_A(u)\,f(u)\,du= \int_{A}\ f(u)\,du.
\mathbb{P}_X(A)=\mathbb{P}(X\in A).

Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions :

Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste,

Critère — Une variable aléatoire \scriptstyle\ Z\ à valeur dans \scriptstyle\ \mathbb{R}^d\ possède une densité de probabilité si et seulement si, pour chaque borélien \scriptstyle\ A\ de \scriptstyle\ \mathbb{R}^d\ dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a

\mathbb{P}\left(Z\in A\right)=0.

Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que \scriptstyle\ Z\ possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire \scriptstyle\ Z=(X,Y)\ possède une densité, alors

  • \mathbb{P}\left(X=Y\right)=0 ,
  • \mathbb{P}\left(X^2+Y^2=1\right)=0 ,
  • \mathbb{P}\left(Y=\varphi(X)\right)=0 ,
  • \mathbb{P}\left(\psi(X,Y)=0\right)=0 ,

pour des fonctions \scriptstyle\ \varphi\ et \scriptstyle\ \psi\ suffisamment régulières[1], parce que la mesure de Lebesgue (i.e. la surface) de la première bissectrice (resp. du cercle unité, du graphe d'une fonction, ou d'une courbe, suffisamment régulières) sont nulles.

Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité : par exemple, si

Z=\left(\cos \Theta, \sin \Theta\right),

où \scriptstyle\ \Theta\ désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \scriptstyle\ [0,2\pi], alors \scriptstyle\ Z\ ne possède pas de densité car

\mathbb{P}\left(X^2+Y^2=1\right)=1.

Remarque — Dans le cas \scriptstyle\ d=1,\ une variable aléatoire \scriptstyle\ Z\ à valeur dans \scriptstyle\ \mathbb{R}\ possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est localement absolument continue.

Notes et références

  1. ↑ en effet il faut éviter des phénomènes de type "Courbe de Peano".
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