- Théorème de Radon-Nikodym
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Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue
Sommaire
Absolue continuité
Définition — Soit une mesure positive -finie sur et soit des mesures positives -finies (resp. réelles, resp. complexes) sur
- On dit que est absolument continue par rapport à si pour tout tel que on a également On note alors
- On dit que est portée par si pour tout on a
- On dit que et sont mutuellement étrangères s'il existe telle que soit portée par et soit portée par On note
Théorème de Radon-Nikodym
En mathématiques, le théorème de Radon-Nikodym est un résultat de théorie de la mesure, cependant une preuve faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du XXième siècle (voir par exemple le manuel Analyse réelle et complexe de Rudin pour de plus amples détails). Il s'énonce de la façon suivante :
Théorème de Radon-Nikodym — Soient une mesure positive -finie sur et une mesure positive -finie (resp. réelle, resp. complexe) sur Alors :
(i) Il existe un unique couple de mesures et telles que :
- μ = μ1 + μ2
et sont des mesures positives -finies (resp. réelles, resp. complexes).
(ii) Il existe une unique (à égalité -presque partout près) fonction mesurable positive (resp. -intégrable réelle, resp. -intégrable complexe), telle que pour tout on ait
Densité d'une mesure
Définition — Soit une mesure positive -finie sur et soit une mesure positive -finie (resp. réelle, resp. complexe) sur On dit que possède une densité par rapport à si est une fonction mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe), telle que pour tout on ait
On note
En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante :
Proposition — Soient une mesure positive -finie sur et une mesure positive -finie (resp. réelle, resp. complexe) sur Alors on équivalence entre :
- possède une densité par rapport à
DémonstrationSi alors, clairement, est un décomposition de satisfaisant le Théorème de Radon-Nikodym, donc, en vertu de la dernière partie du Théorème, possède une densité par rapport à Réciproquement, notons la densité de par rapport à Si
alors est nul -presque partout. Il suit que est nul -presque partout également, donc
Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire
Rappel —
- On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire à valeur dans une fonction mesurable, telle que pour toute partie borélienne
- La loi de probabilité d'une variable aléatoire à valeur dans est la mesure de probabilité définie, pour toute partie borélienne par
- Si est appelée une variable aléatoire réelle, ou encore v.a.r..
Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions :
- Une variable aléatoire à valeur dans possède une densité de probabilité.
- La mesure possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur
- La mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur
Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste,
Critère — Une variable aléatoire à valeur dans possède une densité de probabilité si et seulement si, pour chaque borélien de dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a
Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire possède une densité, alors
- ,
- ,
- ,
- ,
pour des fonctions et suffisamment régulières[1], parce que la mesure de Lebesgue (i.e. la surface) de la première bissectrice (resp. du cercle unité, du graphe d'une fonction, ou d'une courbe, suffisamment régulières) sont nulles.
Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité : par exemple, si
où désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur alors ne possède pas de densité car
Remarque — Dans le cas une variable aléatoire à valeur dans possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est localement absolument continue.
Notes et références
- ↑ en effet il faut éviter des phénomènes de type "Courbe de Peano".
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