- Fonction Mesurable
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Fonction mesurable
Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu
et
.
Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de
dans
si l'image réciproque de la tribu
est une sous-tribu de
.
Applications à valeurs réelles
Si F est l'ensemble des réels et si
est la tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur
.
Il suffit alors de vérifier que l'image réciproque de tout ouvert est dans
.
Propriétés de passage à la limite pour les fonctions positives
Soit E un espace mesurable et
une suite de fonctions mesurable de E dans
alors la fonction
définie par
l'est également.
Démonstration: on considère pour cela l'image réciproque de
, que l'on peut écrire
a\}" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/55/737490b308c4cd800f2143e81c3d3a7a.png" border="0">
on obtient une réunion dénombrable d'éléments de
donc un ensemble mesurable.
Par passage au complémentaire, on conclut que l'image réciproque de [0,a] est aussi mesurable. Les intervalles de la forme [0,a[ sont réunion dénombrable des ensembles précédents et donc sont mesurable. Il en est de même pour les intervalles de la forme ]a,b[ obtenus par intersection. Or cette famille engendre la tribu. CQFD
Si les fonctions fn de X dans
sont toutes mesurables, la fonction inf fn l'est également, ainsi que les fonctions liminf fn, limsup fn.
En particulier, si la limite existe elle est mesurable.
Les démonstrations sont du même type.
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