- Lemme de Gauss (théorie des nombres)
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Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss.Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition pour qu'un entier soit un résidu quadratique. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses preuves de la loi de réciprocité quadratique[1],[2] et est utilisé dans plusieurs des nombreuses preuves ultérieures de cette loi[3].
Sommaire
Énoncé
Soient p un nombre premier impair et a un entier non divisible par p.
On considère les entiers
et leurs plus petits résidus positifs modulo p.
Parmi ces (p − 1) / 2 entiers distincts compris entre 1 et p − 1, soit n le nombre de ceux qui sont plus grands que p / 2. Alors
,
où
est le symbole de Legendre.Application
Les deux « lois complémentaires » de la loi de réciprocité quadratique se déduisent du lemme de Gauss par simple évaluation de n en fonction de p pour a=-1 et a=2.
Preuve
Une preuve assez simple de ce lemme peut être déduite du principe utilisé pour la démonstration du petit théorème de Fermat. Pour cela, évaluons modulo p le produit suivant :
de deux manières différentes.
Premièrement, ce produit vaut :
La seconde façon d'évaluer Z est plus délicate. Si x, compris entre 1 et p-1, est le résidu modulo p d'un entier y, définissons la « valeur absolue » de y comme
Comme n dénombre les multiples ka dont le résidu se trouve dans le second intervalle, on a :
Maintenant, observons que les valeurs |ra| sont distinctes pour r = 1, 2, … , (p−1)/2. En effet, si |ra| = |sa|, alors ra ≡ ±sa (mod p), d'où (comme a est inversible modulo p) r ≡ ±s (mod p), donc r et s sont égaux (car ils appartiennent tous deux à l'intervalle 1 ≤ r ≤ (p−1)/2). Mais il y en a exactement (p−1)/2, donc cette suite est une permutation des entiers 1, 2, ..., (p−1)/2. On obtient :
En comparant avec notre premier calcul, on peut supprimer les facteurs inversibles modulo p :
ce qui nous donne
Ceci est le résultat souhaité, car d'après le critère d'Euler, la partie de gauche n'est qu'une réécriture modulo p du symbole de Legendre (a/p).
Autre preuve, par la théorie du transfert
De par sa définition, l'application qui à a associe (-1)n est un morphisme de transfert du groupe abélien G = Z/pZ* dans le sous-groupe Q = {-1,+1}. D'après le théorème d'évaluation du transfert, on en déduit que l'image de a par ce morphisme est égale à am où m désigne l'indice de Q dans G, c'est-à-dire m = (p - 1)/2, ce qui conclut.
Notes et références
Notes
- (la) C. F. Gauss, « Theorematis arithmetici demonstratio nova », dans Comment. Soc. regiae sci. Göttingen, XVI, 1808
- (la) C. F. Gauss, « Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae », 1818
- (en) Franz Lemmermeyer (de), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Springer, 2000 (ISBN 978-3-540-66957-9), chap. 1
Références
- (en)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Gauss lemma » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Gauss's lemma (number theory) » (voir la liste des auteurs)
- (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, vol. 1, Springer, 1976 (ISBN 978-0-387-90163-3)
Voir aussi
Article connexe
Lien externe
Catégories :- Arithmétique modulaire
- Lemme de mathématiques
- Carl Friedrich Gauss
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