- Transfert (théorie des groupes)
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Si G est un groupe (au sens mathématique) et Q un sous-groupe d'indice fini de G, on définit un certain homomorphisme, appelé transfert, allant de G dans l'abélianisé de Q, c'est-à-dire dans le groupe quotient Q/Q', où Q' désigne le groupe dérivé de Q.
Sommaire
Définition
Soient G un groupe (au sens mathématique), Q un sous-groupe de G et T une transversale à gauche de Q dans G. Pour tout élément x de G, nous désignerons par
le représentant de x dans T, c'est-à-dire l'unique élément de T qui appartient à la même classe à gauche modulo Q que x. Nous désignerons par 
l'élément 
de Q. Donc, si x = ab avec 
et 
, alors 
et 
.Notons pour la suite que si Q' désigne le groupe dérivé de Q, le groupe quotient Q/Q' (abélianisé de Q) est commutatif, donc on peut parler du produit d'une famille finie d'éléments de Q/Q' sans préciser l'ordre des facteurs.
On démontre[1] que si G est un groupe et Q un sous-groupe d'indice fini de G, si Q' désigne le groupe dérivé de Q, il existe un et un seul homomorphisme V de G dans le groupe quotient Q/Q' tel que, pour toute transversale à gauche T de Q dans G et tout élément g de G,
On démontre aussi[2] que l'application définie à partir d'une transversale à droite de Q dans G comme V l'est à partir d'une transversale à gauche, est identique à V.
L'homomorphisme V de G dans Q/Q' est appelé le transfert de G dans Q[3], ou encore[4] le transfert de G vers Q, ou encore le transfert de G vers Q/Q'. On dit aussi « homomorphisme de transfert »[5].
- Remarques.
- Si Q est commutatif, alors Q' = 1 et le groupe Q/Q' est canoniquement isomorphe à Q. Dans ce cas, on considère que le transfert est un homomorphisme de G dans Q.
- Comme le groupe d'arrivée Q/Q' de l'homomorphisme transfert
est commutatif, le dérivé G' de G est contenu dans le noyau du transfert. Donc le transfert induit un homomorphisme de G/G' dans Q/Q', à travers lequel il se factorise et qu'on appelle[5] lui aussi « homomorphisme de transfert ». - On désigne couramment le transfert par la lettre V, qui est la première lettre du nom allemand du transfert : Verlagerung.
Théorème d'évaluation du transfert
Le théorème suivant, dit d'évaluation du transfert[6], facilite souvent l'utilisation du transfert dans les démonstrations :
Soient G un groupe, Q un sous-groupe d'indice fini n de G, V le transfert de G vers Q/Q', T une transversale gauche de Q dans G. Pour tout élément g de G, il existe une partie Tg de T et une famille
de nombres naturels tels que- pour tout élément t de Tg,
; 
;
Le théorème d'évaluation du transfert permet par exemple de démontrer[7] le théorème du complément normal de Burnside.
Histoire
Le transfert fut étudié pour la première fois en 1902, par Issai Schur[8].
Notes et références
- Voir par exemple Rotman 1999, th. 7.45, p. 194.
- Voir par exemple Rotman 1999, exerc. 7.45, p. 199.
- Terminologie conforme à (en) W.R. Scott, Group Theory, rééd. Dover, 1987, p. 61.
- Isaacs 2008, p. 149, signale les deux expressions « transfer map from G to Q/Q' » et « transfer from G to Q », mais considère la seconde comme incorrecte.
- Voir Jean-Pierre Serre, Œuvres: Collected Papers, vol. 2, Springer, 2003, partiellement consultable sur Google Livres, p. 176.
- Terminologie conforme à Isaacs 2008, p. 153
- Voir par exemple Rotman 1999, th. 7.50, p. 196-197.
- (de) I. Schur, « Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen », dans Sitzber. Akad. Wiss. Berlin, 1902, p. 1013-1019 ; rééd. dans I. Schur, Gesammelte Abhandlungen, Springer, 1973, vol. 1, p. 79-85. Références données par J.S. Rose, A Course on Group Theory, rééd. Dover, 1994, p. 234 et 298.
- (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 1999 [détail de l’édition]
- (en) I. Martin Isaacs, Finite Group Theory, AMS Bookstore, coll. « Graduate Studies in Mathematics (en) » (no 2), 2008
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