Indice d'un sous-groupe

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L'indice d'un sous-groupe H d'un groupe G peut être vu, de façon imprécise, comme le nombre de fois que H «va» dans G.

Sommaire

Définition

Soient (G,*) un groupe et H un sous-groupe de G. La relation x^{-1}y \in H est une relation d'équivalence (en x et y) dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme xH, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à gauche (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H.
De même, la relation yx^{-1} \in H est une relation d'équivalence dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme Hx, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à droite (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H.
(Il est clair que les classes à gauche et les classes à droite d'éléments de G modulo H coïncident si G est commutatif. Plus généralement, elles coïncident si H est un sous-groupe distingué de G.)

L'application X \mapsto X^{-1} est une bijection de l'ensemble des classes à gauche sur l'ensemble des classes à droite, donc l'ensemble des classes à gauche et l'ensemble des classes à droite ont même cardinal. Ce cardinal est appelé l'indice de H dans G et noté (G:H), ou encore [G:H], ou encore|G:H|.

Exemples

  • L'indice de G dans lui-même est égal à 1.
  • L'indice dans G du sous-groupe réduit à l'élément neutre est égal à l'ordre de G.
  • Soit n un nombre naturel > 0 et considérons le sous-groupe nZ de Z. En raisonnant sur le reste euclidien, on montre[1] que les classes d'éléments de Z modulo nZ sont exactement les classes de 0, 1, 2, ..., n-1 et que ces n classes sont distinctes. (Puisque le groupe Z est commutatif, il n'y a pas lieu ici de distinguer entre classes à gauche et classes à droite.) L'indice de nZ dans Z est donc égal à n.

Formule des indices

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et K un sous-groupe de H, autrement dit un sous-groupe de G contenu dans H. On démontre[2] la formule des indices :

\vert G:K \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H:K \vert.

En faisant K = 1, nous trouvons que, pour tout groupe G et tout sous-groupe H de G,

(1) \qquad \vert G \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H \vert.

Ceci peut évidemment se démontrer plus directement en notant que les classes modulo H sont équipotentes à H, de sorte que G est réunion disjointe de [G:H] « copies » de H.

De la relation (1) résulte le théorème de Lagrange, d'après lequel l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe.

La relation (1) montre aussi que l'indice d'un sous-groupe de \ G divise \vert G \vert.

Indice de l'intersection de deux sous-groupes

Si H et K sont deux sous-goupes de G alors [G:H\cap K]=[G:H][H:H\cap K]\le[G:H][G:K], car l'application H/(H\cap K)\to G/K, h(H\cap K)\mapsto h(H\cap K)K=hK est injective. En particulier, si [G:H] et [G:K] sont tous deux finis, [G:H\cap K] l'est aussi (théorème de Poincaré)[3].

Notes et références

  1. ↑ Voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre, Chap. 1, Paris, 1970, p. 47.
  2. ↑ Voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre, chap. 1, Paris, 1970, p. 34, ou encore J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, pp. 78-79.
  3. ↑ Pour la dénomination « théorème de Poincaré », voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 77, ou encore J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 54.

Voir aussi


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