Inégalité arithmético-géométrique

Inégalité arithmético-géométrique

En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

Énoncé

Étant donnés n réels strictement positifs x_1,\, \dots,\, x_n, on définit leur moyenne arithmétique \ m_a et leur moyenne géométrique \ m_g :

m_a = \frac{1}{n}\, (x_1 + \cdots + x_n) et m_g = \sqrt[n\,]{x_1\times\cdots\times x_n}.

L'inégalité arithmético-géométrique s'écrit alors :

m_g \leq m_a.

On peut également décrire le cas d'égalité

m_g  = m_a \Longleftrightarrow \forall i,j \in \{1,\ldots,n\},\ x_i=x_j.

Démonstration

Comme \ m_g > 0 et \ m_a > 0, m_g \leq m_a équivaut (par croissance stricte du logarithme) à

\ln(m_g) \leq \ln(m_a),

ou encore à

\frac{1}{n}\, \left[\,\ln(x_1) + \cdots + \ln(x_n)\right] \leq \ln \left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right).

Cette dernière inégalité n'est autre que l’inégalité de Jensen appliquée à la fonction logarithme népérien, et aux coefficients (tous égaux) t_1 = \cdots = t_n = \frac{1}{n}.

Le cas d'égalité provient du fait que le logarithme népérien est strictement concave.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité arithmético-géométrique de Wikipédia en français (auteurs)

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