Espérance mathématique

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est l'équivalent en probabilité de la moyenne d'une série statistique en statistiques. Elle se note E(X) et se lit espérance de X. C'est une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire. Elle permet par exemple de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard; elle est alors égale à la somme des gains (et des pertes) pondérés par la probabilité du gain (ou de la perte). Lorsque l'espérance est égale à 0, le jeu est dit équitable.

Sommaire

1 Définition
- 1.1 Exemple
- 1.2 Généralisation: espérance d'une fonction d'une variable aléatoire réelle
2 Propriétés
3 Interprétation et applications
4 Notes
5 Liens externes

Définition

Soit $\ \scriptstyle X$ une variable aléatoire de l'espace probabilisé $\ \scriptstyle (\Omega, \Sigma, P)\,$ vers $\ \scriptstyle \R$ (ou un espace mesurable $\ \scriptstyle (E, \mathcal{E})$ ). Son espérance est définie par:

$\mathbb E(X) = \int_{\Omega}X\, \mathrm{d}P = \int_{\mathbb{R}}x\, \mathrm{d}P_X$ (où $\ \scriptstyle P_X$ est la probabilité image).

Si la loi de probabilité de $\ \scriptstyle X$ admet une densité $\ \scriptstyle f(x)$ , alors:

$\mathbb E(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \operatorname{d}x .$

Si $\ \scriptstyle X$ est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs sur un espace de valeurs dénombrables $\ \scriptstyle S\subset\R$ , et qu'elle a une fonction de masse $\ \scriptstyle p_X(x)$ , l'espérance prend la forme:

$\mathbb E(X) = \sum_{x \in S} x p_X(x)$

C'est notamment le cas quand le nombre de valeurs possibles est fini, par exemple $\ \scriptstyle x_1,\dots,x_i,\dots,x_n$ avec les probabilités $\ \scriptstyle p_1,\dots,p_i,\dots,p_n$ . Dans ce cas l'espérance devient:

$\mathbb E(X) = \sum_{i =1}^{n} x_i p_i$

Dans ce cas la famille $\ \scriptstyle x_i p_i$ est sommable et la convergence absolue assure que la division de la série ne dépend pas de la manière de numéroter les termes.

Exemple

Exemple de calcul pour la roulette française : en jouant un numéro plein, le joueur a 1 chance sur 37 (les numéros vont de 0 à 36) de repartir avec 35 fois sa mise initiale^{[note 1]}. Son espérance de gain est donc :

$\frac{1}{37}\times (mise\times 35) -\frac{36}{37}\times (mise) \simeq -0,027\times mise$

Ce résultat indique qu'en moyenne, il perd 2,7 % de sa mise à chaque partie au profit du casino.

Généralisation: espérance d'une fonction d'une variable aléatoire réelle

$X$ étant une variable aléatoire réelle, une fonction $f$ supposée régulière définit une nouvelle variable aléatoire $f\circ X$ notée $f (X)$ dont l'espérance, lorsqu'elle existe, s'écrit en remplaçant $k$ par $f (k)$ ou $x$ par $f (x)$ dans les formules précédentes (théorème de transfert).

Variable aléatoire discrète: $\mathbb E[f(X)] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k)\ \mathbb P_X(k)$

Variable aléatoire continue: $\mathbb E[f(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ p_X(x)\ dx$

En particulier, il est intéressant de considérer la variable aléatoire à valeurs complexes $e^{i \theta X}\,$ (où $\theta \in \mathbb{R}$ ) dont l'espérance mathématique est [la valeur en $θ$ de] la transformée de Fourier inverse de la densité de probabilité :

$\phi_X(\theta) = \mathbb E\left[e^{i \theta X}\right]\,$

Il s'agit de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. L'exponentielle se développe en série : $\phi_X(\theta) = \mathbb E\left[\sum_{k=0}^\infty {(i \theta X)^k \over {k !}}\right]$

ou, si la densité de probabilité est une fonction suffisamment régulière :

$\phi_X(\theta) = \sum_{k=0}^\infty {(i \theta)^k \over {k !}} \mathbb E\left[X^k\right]$

Propriétés

Propriétés élémentaires

L'espérance d'une variable aléatoire constante est égale à cette constante; par exemple, si b est une constante, alors E(b) = b.

Monotonie: si $\scriptstyle X$ et $\ \scriptstyle Y$ sont des variables aléatoires tels que $\ \scriptstyle X \le Y$ presque sûrement, alors $\ \scriptstyle \mathbb{E}(X) \le \mathbb{E}(Y)$ .

Linéarité: l'espérance est un opérateur linéaire. Pour deux variables aléatoires quelconques $\scriptstyle X$ et $\scriptstyle Y$ (qui doivent être définies sur le même espace probabiliste) et pour deux nombres réels $\ \scriptstyle a$ et $\ \scriptstyle b$ :

$\mathbb{E}(a X + b Y) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)\,$

Produit: en général, l'opérateur espérance ne respecte pas le produit, c'est-à-dire que en général $\scriptstyle \mathbb{E}(X Y)\neq \mathbb{E}(X) \mathbb{E}(Y)$ . L'égalité est vraie pour des variables X et Y indépendantes. L'absence de la multiplicativité amène à étudier les covariances et corrélation.

Loi de l'espérance itérée

Pour une variable aléatoire discrète: Pour deux variables aléatoires $X, Y$ , on peut définir l'espérance conditionnelle

Définition — $\mathbb{E}(X|Y)(y) \equiv \mathbb{E}(X|Y=y) \equiv \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y).$

qui signifie que $\mathbb{E}(X|Y)(y)$ est une fonction de y (en fait une variable aléatoire). L'espérance itérée vérifie

Propriété — $\mathbb{E} \left( \mathbb{E}(X|Y) \right)=\mathbb{E}(X)$

Démonstration

$\begin{align} \mathbb{E} \left(\mathbb{E}(X|Y) \right) &= \sum\limits_y \mathbb{E}(X|Y=y) \cdot \mathbb{P}(Y=y)\\ &=\sum\limits_y \left( \sum\limits_x x \cdot \mathbb{P}(X=x|Y=y) \right) \cdot \mathbb{P}(Y=y)\\ &=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \mathbb{P}(X=x|Y=y) \cdot \mathbb{P}(Y=y)\\ &=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \mathbb{P}(Y=y|X=x) \cdot \mathbb{P}(X=x) \\ &=\sum\limits_x x \cdot \mathbb{P}(X=x) \cdot \left( \sum\limits_y \mathbb{P}(Y=y|X=x) \right) \\ &=\sum\limits_x x \cdot \mathbb{P}(X=x)\\ &=\mathbb{E}(X) \end{align}$

Pour une variable continue: dans le cas continu, les résultats sont analogues. Dans ce cas-ci, on utilise la densité de probabilité et les intégrales à la place de la distribution et des sommes. En tout cas, le résultat reste valable:

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E} \left( \mathbb{E}(X|Y) \right).$

Espérance d'une fonctionnelle

En général, l'opérateur espérance ne respecte pas les fonctions de variable aléatoire, c'est-à-dire qu'en général:

$\mathbb{E}(g(X)) = \int_{\Omega} g(X)\, \mathrm{d}P \neq g(\mathbb{E}(X)),$

Une inégalité célèbre à ce propos est l'inégalité de Jensen pour des fonctions convexes (ou concaves).

Estimation

On utilise souvent comme estimateur de l'espérance la moyenne empirique, qui est un estimateur:

Sans biais
Convergent selon la loi des grands nombres et même fortement convergent selon la loi forte des grands nombres
Distribué normalement asymptotiquement selon le théorème central limite

Caractère central

On considère fréquemment l'espérance comme le centre de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur autour de laquelle se dispersent les autres valeurs.
En particulier, si X et 2a - X ont même loi de probabilité, c'est-à-dire si la loi de probabilité est symétrique par rapport à a, alors E(X) = a.

Mais ce point de vue n'est plus valable lorsque la loi est dissymétrique. Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une loi géométrique, une loi particulièrement dissymétrique. Si X représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre 1 avec un dé cubique, on démontre que E(X) = 6 ce qui veut dire qu'il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le chiffre 1. Pourtant, la probabilité que 5 essais ou moins suffisent vaut près de 0,6 et la probabilité que 7 lancers ou plus soient nécessaires est de 0,33. Les valeurs de X ne se répartissent donc pas équitablement de part et d'autre de l'espérance.

Interprétation et applications

Espérance mathématique et choix rationnel

Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. Il est probable que vous refuserez de jouer. Pourtant l'espérance de ce jeu vous est très favorable : la probabilité de tirer un double 6 est de 1/36; on obtient donc :

$\frac{1\,000\,000}{36} - \frac{10\,000 \times 35}{36} = 18\,055$

à chaque partie vous gagnez en moyenne 18 000 euros.

Le problème tient justement sur ce « en moyenne » : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que relativement rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut donc avoir suffisamment d'argent pour participer à un grand nombre de parties. Si les mises sont trop importantes pour permettre un grand nombre de parties, le critère de l'espérance mathématique n'est donc pas approprié.

Incidence de la prime de risque

Ce sont ces considérations et de risque de ruine qui conduisirent, à partir de son « paradoxe de Saint Petersbourg », le mathématicien Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée d'aversion au risque qui conduit à assortir l'espérance mathématique d'une prime de risque pour son application dans les questions de choix.

Applications particulières (économie, assurance, finance, jeux)

La notion de prime de risque appliquée à l'espérance mathématique fut en économie à l'origine du concept d'utilité (et d'utilité dite « marginale »).
les primes d'assurance sont d'un coût supérieur à l'espérance mathématique de perte du souscripteur du contrat. Mais c'est ce risque de forte perte en cas d'évènement rare qui l'incite à le souscrire.
L'espérance mathématique, comme d'autres concepts probabilistes, est utilisée dans les calculs d'évaluation en finance, par exemple pour l'évaluation d'entreprise.
La finance comportementale aborde, entre autres, les aspects émotionnels et cognitifs, qui vont au-delà de la simple prime de risque, et qui peuvent interférer avec le concept rationnel d'espérance mathématique à l'heure du choix.
De même que l'on paye une prime pour éviter le risque avec les assurances, on paie au contraire un accès au risque dans les jeux de hasard (qui rapportent toujours moins que leur espérance mathématique, puisqu'ils doivent s'autofinancer)

Notion d'utilité probabiliste

Plutôt que de passer par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'utilité, associant à tout couple {gain, probabilité} une valeur. L'espérance mathématique constitue alors la plus simple des fonctions d'utilité, appropriée dans le cas d'un joueur neutre au risque disposant de ressources au moins très grandes à défaut d'infinies.

Émile Borel adopta cette notion d'utilité pour expliquer qu'un joueur ayant peu de ressources choisisse rationnellement de prendre un billet de loterie chaque semaine : la perte correspondante n'est en effet pour lui que quantitative, tandis que le gain - si gain il y a - sera qualitatif, sa vie entière en étant changée. Une chance sur un million de gagner un million peut donc valoir dans ce cas précis bien davantage qu'un euro.

Notes

↑ En cas de victoire, il reçoit 36 fois la mise. Le gain vaut donc ce bénéfice moins la mise initiale, c'est-à-dire qu'il a réellement gagné 35 fois cette mise.

Liens externes

Bases mathematiques sur les probabilites... (article sur l'espérance et exemple simple)

v · Probabilités et statistiques

Théorie des probabilités

Axiomes des probabilités • Espace probabilisable • Probabilité • Événement • Tribu • Indépendance

Probabilités élémentaires	Moyenne • Espérance • Médiane • Variance • Écart type
Loi de probabilité	Variable aléatoire • Loi de Bernoulli • Loi de Poisson • Loi uniforme • Loi normale • Loi de Student • Loi de Fisher • Variables iid
Convergence de lois	Théorème central limite • Loi des grands nombres • Théorème de Borel-Cantelli
Calcul stochastique	Marche aléatoire • Chaîne de Markov • Processus stochastique • Processus de Markov • Martingale • Mouvement brownien • Équation différentielle stochastique

Statistiques

Statistique descriptive	Échantillon • Quantile • Intervalle de confiance • Représentations de données • Histogramme • Diagramme circulaire • Boîte à moustaches • Régression linéaire • Méthode des moindres carrés
Statistique mathématique	Fonction de répartition empirique • Théorème de Glivenko-Cantelli • Inférence bayésienne
Tests statistiques	Test d'hypothèse • Hypothèse statistique • Estimateur • Test du χ² • Test t • Test de Fisher

Applications

Économétrie • Mécanique statistique • Jeu de hasard • Biomathématique • Mathématiques financières

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