Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle

L’espérance conditionnelle est un concept important en probabilités, notamment utilisé dans des domaines tels que l'étude des martingales et l'intégration stochastique.

Sommaire

Définition générale

On se place dans le cas général d'un espace de probabilité \scriptstyle\ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). Pour définir l'espérance conditionnelle, il faut une sous-tribu \scriptstyle\ \mathcal{G} \subset \mathcal{F},\ ainsi qu'une variable aléatoire intégrable X. Alors il existe une variable aléatoire Z , \scriptstyle\ \mathcal{G}-mesurable et Lebesgue-intégrable, telle que, pour toute variable aléatoire U bornée et \scriptstyle\ \mathcal{G}-mesurable,

\mathbb{E}[XU]\ =\ \mathbb{E}[ZU].

On note alors

Z\ =\ \mathbb{E}[X|\mathcal{G}].

Cette notation est bien définie car si une autre variable aléatoire Y satisfait aussi cette propriété, alors Y = Z presque sûrement.

Cas particuliers

Cette définition inclut plusieurs définitions données de manières plus immédiates.

  • On peut définir la probabilité conditionnelle d'un événement E par :
\mathbb{P}(E|\mathcal{G}) = \mathbb{E}\left[1_E|\mathcal{G}\right]
  • On peut également définir l'espérance conditionnellement à une variable aléatoire, par le biais de la tribu engendrée par cette variable aléatoire:
\mathbb{E}\left[X|Y\right]\ =\ \mathbb{E}\left[X|\sigma(Y)\right].
Dans ce cas, il existe une fonction mesurable \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} telle que, presque sûrement,
\mathbb{E}\left[X|Y\right]=\varphi(Y).
  • Si A est un évènement, par analogie avec la relation \mathbb{P}(A)=\mathbb{E}(1_{A}), on définit la probabilité conditionnelle de A à l'aide de la relation :
\mathbb{P}(A|Y)=\mathbb{E}(1_{A}|Y).
Il s'agit alors d'une variable aléatoire et non d'un réel.

Interprétation

On peut, dans le cas des variables aléatoires de carré intégrable, interpréter l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire X comme la projection orthogonale de X sur l'espace vectoriel des variables aléatoires \scriptstyle\ \mathcal{G}\ -mesurables, et, partant de là, comme la meilleure approximation qu'on puisse donner de la variable X à l'aide d'une variable aléatoire \scriptstyle\ \mathcal{G}\ -mesurable. En effet, l'espérance conditionnelle possède la propriété suivante : pour toute variable aléatoire Y intégrable \scriptstyle\ \mathcal{G}\ -mesurable,

\mathbb{E}\left[(X-Y)^2\right]\ \ge\ \mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right]\right)^2\right].

C'est-à-dire que, parmi les variables aléatoires Y intégrables \scriptstyle\ \mathcal{G}\,-mesurables, la plus proche de X (pour la distance induite par le produit scalaire \scriptstyle\ (X,Y)\mapsto \mathbb{E}\left[X\, Y\right]\ ) est \scriptstyle\ Y_0=\mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right].\

Pour ce qui est des applications, l'espérance conditionnelle pourra alors s'interpréter, par exemple, comme la meilleure prévision possible de la variable aléatoire X, en fonction de l'information disponible à un moment donné, information encodée par la tribu \scriptstyle\ \mathcal{G},\ ou encore comme la meilleure reconstruction du signal original X, après émission, en fonction de la déformation bruitée obtenu à la réception.

Propriétés

L’espérance conditionnelle possède les propriétés suivantes

  • L’espérance conditionnelle est linéaire :
\mathbb{E}\left[aX+bY|\mathcal{G}\right]\ =\ a \mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right] + b \mathbb{E}\left[Y|\mathcal{G}\right]
  • Son espérance vaut :
\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right]\right]\ =\ \mathbb{E}\left[X\right]
  • Itération : si \scriptstyle\ \mathcal{H} \subset \mathcal{G},
\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right]|\mathcal{H}\right] = \mathbb{E}\left[X|\mathcal{H}\right]
  • Monotonie : Si \scriptstyle\ X \le Y, alors
\mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right]\ \le\ \mathbb{E}\left[Y|\mathcal{G}\right]
  • Convergence monotone : si \scriptstyle\ X_n\ge 0\ converge en croissant vers X, alors
\mathbb{E}\left[X_n|\mathcal{G}\right]\ \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\ \mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right].
Plus généralement, le théorème de convergence dominée et le lemme de Fatou s'appliquent naturellement aux espérances conditionnelles.
  • Indépendance: si X est indépendant de \scriptstyle\ \mathcal{G}, alors
\mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right]\ =\ \mathbb{E}\left[X\right]
  • Si Z est \scriptstyle\ \mathcal{G}\,-mesurable, alors
\mathbb{E}\left[XZ|\mathcal{G}\right]\ =\ Z\mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right]
  • Si X est \scriptstyle\ \mathcal{G}\,-mesurable, alors
\mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right]\ =\ X
  • Inégalité de Jensen : si \scriptstyle\ \phi\ est une fonction convexe et \scriptstyle\ \phi(X)\ est intégrable, alors
\mathbb{E}\left[\phi(X)|\mathcal{G}\right]\ \ge\ \phi\left(\mathbb{E}\left[X|\mathcal{G}\right]\right])

Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques

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