Théorème des croissances comparées

Théorème des croissances comparées

Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de formes indéterminées par la méthode usuelle.

Sommaire

Énoncé des résultats classiques

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty
\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0
\lim_{x \to 0+} x\,\ln(x) = 0
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0

Démonstrations

  • \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \infty

On sait que (voir ci-après): \forall x\geqslant 1,\ e^x\geqslant x^2

On a alors: \forall x\geqslant 1, \frac{e^x}{x}\geqslant x

Par le théorème des gendarmes ou théorème d'encadrement, on a le résultat voulu.

Preuve de \forall x\geqslant 1,\ e^x\geqslant x^2:

Soit \begin{align}f\ : & \ [1;+\infty]\to \mathbb{R} \\ \ & \qquad \quad x \mapsto e^x-x^2 \end{align}

\forall x\geqslant 1,\ f'(x)=e^x-2x \qquad f''(x)=e^x-2

\forall x\geqslant 1,\ e^x \geqslant 2 \quad \Rightarrow f''(x) \geqslant 0 \quad \Rightarrow f'\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]

Or\ f'(1)=e-2\geqslant 0 \qquad \Rightarrow f\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]

Or\ f(1)=e-1\geqslant 0 \qquad \Rightarrow \forall x \geqslant 1,\ f(x) \geqslant 0

D'où le résultat voulu.


  • \lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0

\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = \lim_{x \to +\infty} -x\,e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{e^x}{-x}} = 0

  • \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0

De la même manière, on utilise le résultat (montré par l'analyse de la fonction f(x)= \ln(x)-\sqrt(x)): \forall x\geqslant 1,\ \ln(x)\leqslant \sqrt x \qquad \Rightarrow \frac{\ln(x)}{x}\leqslant \frac{1}{\sqrt x}

Par le théorème des gendarmes(ou théorème d'encadrement, on a le résultat voulu.

  • \lim_{x \to 0+} x\, \ln(x) = 0

0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to 0} x\, \ln(1/x) = \lim_{x \to 0} -x\, \ln(x)

Résultats généralisés

\forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty


\forall n\in\mathbb{Z},\ \lim_{x \to -\infty} x^n\,e^x = 0

Démonstrations

  • \forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty

Si n<0, le résultat est évident. Supposons 0<n<1 \forall x>1,\ x^n\le x\quad \Rightarrow \frac{1}{x^n}\ge \frac{1}{x}\quad \Rightarrow \frac{e^x}{x^n}\ge \frac{e^x}{x} d'où le résultat par le théorème des gendarmes.

Si n>1, \forall x\geqslant 1,\ {\left( \frac{e^x}{x} \right)}^n = \frac{e^{n\,x}}{x^n};\ en\ posant\ X=n\,x,\ on\ a\ {\left( \frac{e^x}{x} \right)}^n = \frac{n^n\,e^X}{X^n}

On peut alors appliquer le résultat de base.

Voir aussi

v · d · m
Mathématiques élémentaires
Domaines des mathématiques Algèbre classique  · Arithmétique élémentaire  · Analyse  · Analyse réelle  · Suites numériques  · Géométrie classique  · Logique  · Probabilités  · Statistiques
Algèbre classique Addition  · Multiplication  · Division  · Ordre des opérations  · Table d'addition  · Table de multiplication  · Associativité  · Commutativité  · Distributivité  · Transitivité  · Proportionnalité  · Pourcentage  · Règle de trois  · Fraction  · Équation du premier degré  · Équation du second degré  · Système d'équation
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