Théorème des croissances comparées

Théorème des croissances comparées

Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de formes indéterminées par la méthode usuelle.

Sommaire

Énoncé des résultats classiques

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty
\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0
\lim_{x \to 0+} x\,\ln(x) = 0
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0

Démonstrations

  • \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \infty

On sait que (voir ci-après): \forall x\geqslant 1,\ e^x\geqslant x^2

On a alors: \forall x\geqslant 1, \frac{e^x}{x}\geqslant x

Par le théorème des gendarmes ou théorème d'encadrement, on a le résultat voulu.

Preuve de \forall x\geqslant 1,\ e^x\geqslant x^2:

Soit \begin{align}f\ : & \ [1;+\infty]\to \mathbb{R} \\ \ & \qquad \quad x \mapsto e^x-x^2 \end{align}

\forall x\geqslant 1,\ f'(x)=e^x-2x \qquad f''(x)=e^x-2

\forall x\geqslant 1,\ e^x \geqslant 2 \quad \Rightarrow f''(x) \geqslant 0 \quad \Rightarrow f'\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]

Or\ f'(1)=e-2\geqslant 0 \qquad \Rightarrow f\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]

Or\ f(1)=e-1\geqslant 0 \qquad \Rightarrow \forall x \geqslant 1,\ f(x) \geqslant 0

D'où le résultat voulu.


  • \lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0

\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = \lim_{x \to +\infty} -x\,e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{e^x}{-x}} = 0

  • \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0

De la même manière, on utilise le résultat (montré par l'analyse de la fonction f(x)= \ln(x)-\sqrt(x)): \forall x\geqslant 1,\ \ln(x)\leqslant \sqrt x \qquad \Rightarrow \frac{\ln(x)}{x}\leqslant \frac{1}{\sqrt x}

Par le théorème des gendarmes(ou théorème d'encadrement, on a le résultat voulu.

  • \lim_{x \to 0+} x\, \ln(x) = 0

0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to 0} x\, \ln(1/x) = \lim_{x \to 0} -x\, \ln(x)

Résultats généralisés

\forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty


\forall n\in\mathbb{Z},\ \lim_{x \to -\infty} x^n\,e^x = 0

Démonstrations

  • \forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty

Si n<0, le résultat est évident. Supposons 0<n<1 \forall x>1,\ x^n\le x\quad \Rightarrow \frac{1}{x^n}\ge \frac{1}{x}\quad \Rightarrow \frac{e^x}{x^n}\ge \frac{e^x}{x} d'où le résultat par le théorème des gendarmes.

Si n>1, \forall x\geqslant 1,\ {\left( \frac{e^x}{x} \right)}^n = \frac{e^{n\,x}}{x^n};\ en\ posant\ X=n\,x,\ on\ a\ {\left( \frac{e^x}{x} \right)}^n = \frac{n^n\,e^X}{X^n}

On peut alors appliquer le résultat de base.

Voir aussi

v · d · m
Mathématiques élémentaires
Domaines des mathématiques Algèbre classique  · Arithmétique élémentaire  · Analyse  · Analyse réelle  · Suites numériques  · Géométrie classique  · Logique  · Probabilités  · Statistiques
Algèbre classique Addition  · Multiplication  · Division  · Ordre des opérations  · Table d'addition  · Table de multiplication  · Associativité  · Commutativité  · Distributivité  · Transitivité  · Proportionnalité  · Pourcentage  · Règle de trois  · Fraction  · Équation du premier degré  · Équation du second degré  · Système d'équation
Géométrie classique Géométrie du triangle  · Quadrilatère  · Coordonnées cartésiennes  · Théorème de Pythagore  · Théorème de Thalès  · Théorème de Thalès (cercle)  · Théorème des milieux  · Théorème d'Al-Kashi  · Rotation plane  · Homothétie  · Translation  · Similitude
Arithmétique Multiple  · Diviseur  · Division euclidienne  · Nombre premier  · Congruence sur les entiers  · PGCD de nombres entiers  · Plus petit commun multiple  · Critère de divisibilité  · Preuve par neuf
Suites et fonctions Fonction de référence  · Fonction affine  · Fonction du second degré  · Fonction puissance · Fonction trigonométrique  · Fonction logarithme  · Fonction exponentielle  · Suite arithmétique  · Suite géométrique  · Limite  · Dérivation  · Opérations sur les limites  · Dérivées usuelles  · Opérations sur les dérivées
Logique Logique (mathématiques élémentaires)  · Démonstration  · Contre-exemple  · Difficulté mathématique
Statistiques et probabilités Statistiques (mathématiques élémentaires)  · Critères de position  · Critères de dispersion  · Série statistique à deux variables  · Probabilités (mathématiques élémentaires)  · Arbre de probabilité  · Variables aléatoires élémentaires

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème des croissances comparées de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème des Croissances Comparées — Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Croissance comparée — Théorème des Croissances Comparées Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Limites de référence — Cette page est une annexe de l article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d étudier une limite, c …   Wikipédia en Français

  • Limites De Référence — Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Limites de reference — Limites de référence Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • TCC — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom.   Sigles d’une seule lettre   Sigles de deux lettres > Sigles de trois lettres   Sigles de quatre lettres …   Wikipédia en Français

  • Tcc — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. {{{image}}}   Sigles d une seule lettre   Sigles de deux lettres > Sigles de trois lettres …   Wikipédia en Français

  • Fonction puissance — En mathématiques, et plus spécialement en analyse, les fonctions puissances sont les fonctions définies par fa(x) = xa où a peut désigner un entier naturel, un entier relatif, ou même un réel que l on appelle l exposant de la fonction puissance.… …   Wikipédia en Français

  • Opérations sur les limites — Cette page est une annexe de l article limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition... Tous les résultats listés ici sont valables à… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”