Théorème des Croissances Comparées

Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires

Le théorème des Croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de 'formes indéterminées' par la méthode usuelle.

Sommaire

1 Énoncé des résultats
2 Démonstrations
- 2.1 Résultats généralisés
- 2.2 Démonstrations
3 Voir aussi

Énoncé des résultats

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0$

$\lim_{x \to 0+} x\,\ln(x) = 0$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$

Démonstrations

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \infty$

On sait que (voir ci-après): $\forall x\geqslant 1,\ e^x\geqslant x^2$

On a alors: $\forall x\geqslant 1, \frac{e^x}{x}\geqslant x$

Par le théorème des gendarmes, on a le résultat voulu.

Preuve de $\forall x\geqslant 1,\ e^x\geqslant x^2$ :

Soit $\begin{align}f\ : & \ [1;+\infty]\to \mathbb{R} \\ \ & \qquad \quad x \mapsto e^x-x^2 \end{align}$

$\forall x\geqslant 1,\ f'(x)=e^x-2x \qquad f''(x)=e^x-2$

$\forall x\geqslant 1,\ e^x \geqslant 2 \quad \Rightarrow f''(x) \geqslant 0 \quad \Rightarrow f'\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]$

$Or\ f'(1)=e-2\geqslant 0 \qquad \Rightarrow f\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]$

$Or\ f(1)=e-1\geqslant 0 \qquad \Rightarrow \forall x \geqslant 1,\ f(x) \geqslant 0$

D'où le résultat voulu.

$\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0$

$\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = \lim_{x \to +\infty} -x\,e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{e^x}{-x}} = 0$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$

De la même manière, on utilise le résultat (montré par l'analyse de la fonction f(x)=ln(x)-sqrt(x) ): $\forall x\geqslant 1,\ ln(x)\leqslant \sqrt x \qquad \Rightarrow \frac{ln(x)}{x}\leqslant \frac{1}{\sqrt x}$

Par le théorème des gendarmes, on a le résultat voulu.

$\lim_{x \to 0+} x\,ln(x) = 0$

$0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x \to 0} x\,ln(1/x) = \lim_{x \to 0} -x\,ln(x)$

Résultats généralisés

$\forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$

$\forall n\in\mathbb{Z},\ \lim_{x \to -\infty} x^n\,e^x = 0$

Démonstrations

$\forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$

Si n<0, le résultat est évident. Supposons 0<n<1 $\forall x>1,\ x^n\le x\quad \Rightarrow \frac{1}{x^n}\ge \frac{1}{x}\quad \Rightarrow \frac{e^x}{x^n}\ge \frac{e^x}{x}$ d'où le résultat par le théorème des gendarmes.

Si n>1, $\forall x\geqslant 1,\ {\left( \frac{e^x}{x} \right)}^n = \frac{e^{n\,x}}{x^n};\ en\ posant\ X=n\,x,\ on\ a\ {\left( \frac{e^x}{x} \right)}^n = \frac{n^n\,e^X}{X^n}$

On peut alors appliquer le résultat de base.

Voir aussi

Limites de référence

Limite (mathématiques élémentaires)

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Catégorie : Mathématiques élémentaires

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