Équation de Poisson

Équation de Poisson
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En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles du second ordre suivante :

\displaystyle \Delta\phi=f

\displaystyle \Delta est l'opérateur laplacien et \displaystyle f est une fonction généralement donnée.

Sur un domaine borné de \R^N et de frontière régulière, le problème de trouver \displaystyle \phi à partir de \displaystyle f et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé  : la solution existe et est unique.


Ce problème est important en pratique :

\Delta V = - {\rho \over \epsilon_0}.
\displaystyle\Delta \Phi = 4 \pi \, G \, \mu.


Sommaire

Conditions aux limites

L'équation de Poisson étant insensible à lajout sur \displaystyle \phi dune fonction satisfaisant léquation de Laplace (ou une simple fonction linéaire par exemple), une condition aux limites est nécessaire pour espérer l'unicité de la solution : par exemple les conditions de Dirichlet, celles de Neumann, ou des conditions mixtes sur des portions de frontière.

Équation de Poisson à deux dimensions

En coordonnées cartésiennes dans \mathbb R^2, considérons un ouvert \displaystyle \Omega, une fonction \displaystyle f continue sur \displaystyle \Omega et une fonction \displaystyle g continue sur la frontière \partial \Omega. Le problème consiste à trouver une fonction de deux variables réelles φ(x,y) définie sur \displaystyle \Omega qui vérifie les deux relations :


{\partial^2 \over \partial x^2 }\varphi(x,y) +
{\partial^2 \over \partial y^2 }\varphi(x,y) = f(x,y) sur \displaystyle \Omega
et φ = g sur \partial \Omega.


Cette formulation est un modèle mathématique du problème statique dune membrane élastique tendue et chargée (une peau de tambour:

  • \displaystyle f est la densité de charge (exprimée par exemple en Pa, ceci à un multiple près caractérisant les propriétés délasticité de la membrane),
  • \displaystyle g est la cote (élévation verticale) le long de la frontière de fixation de la membrane,
  • la solution φ(x,y) indique la cote de la membrane dans \displaystyle \Omega.


Formulation faible et solution

Soit \displaystyle \Omega un domaine ouvert et borné de \R^N dont la frontière \part \Omega est suffisamment régulière pour satisfaire le théorème de la divergence. Soit \mathbf n le vecteur normal à \part \Omega et dirigé vers lextérieur.

Soient \displaystyle f une fonction de \displaystyle L^2(\Omega), puis \displaystyle g et α > 0 des fonctions continues définies sur \part \Omega.


On cherche une solution \displaystyle \phi pour chacun des problèmes suivants :

\displaystyle - \Delta\phi=f sur \displaystyle \Omega
satisfaisant lune des conditions sur \part \Omega :
  1. \displaystyle \phi = 0
  2. \nabla \phi \cdot \mathbf n = g et \int_{\Omega} \phi \, \mathrm{d}V = 0 (pour fixer la constante additive dindétermination)
  3. \nabla \phi \cdot \mathbf n + \alpha \phi = 0


Pour toute fonction \displaystyle \psi régulière, la relation

{\mathrm{div}} (\psi \, \nabla \phi) = \nabla \phi \cdot  \nabla \psi + \psi \Delta\phi

et le théorème de la divergence impliquent

\int_{\Omega} \nabla \phi \cdot  \nabla \psi \, \mathrm{d}V = - \int_{\Omega} \psi \, \Delta\phi \, \mathrm{d}V + \int_{\part\Omega} \psi \, \nabla \phi \cdot \mathbf n \, \mathrm{d}S.

Si \displaystyle \phi est solution du problème précédent muni de la condition aux limites retenue, alors

  1. \int_{\Omega} \nabla \phi \cdot  \nabla \psi \, \mathrm{d}V = \int_{\Omega} f \, \psi \, \mathrm{d}V
  2. \int_{\Omega} \nabla \phi \cdot  \nabla \psi \, \mathrm{d}V = \int_{\Omega} f \, \psi \, \mathrm{d}V + \int_{\part\Omega} g \, \psi \, \mathrm{d}S
  3. \int_{\Omega} \nabla \phi \cdot  \nabla \psi \, \mathrm{d}V + \int_{\part\Omega} \alpha \, \phi \, \psi \, \mathrm{d}S = \int_{\Omega} f \, \psi \, \mathrm{d}V


En notant a(\phi, \, \psi) le membre de gauche et \displaystyle b(\psi) celui de droite, la formulation faible consiste à :

  • définir un espace vectoriel \displaystyle H approprié dans lequel \displaystyle a(.,.) et \displaystyle b(.) sont définies,
  • rechercher \displaystyle \phi \in H tel que a(\phi, \, \psi) = b(\psi) pour tout \psi \in H.


Si elle existe, la solution naturelle de ces formulations se trouve dans lespace de Sobolev \displaystyle H^1(\Omega) muni de sa norme \|\psi\|^2_{H^1} = \|\psi\|^2_{L^2} + \|\nabla \psi\|^2_{L^2}.

En effet, pour chaque problème, a(\phi, \, \psi) est une forme bilinéaire symétrique définie sur H^1(\Omega) \times H^1(\Omega) b(ψ) est une forme linéaire sur \displaystyle H^1(\Omega).


Proposition — Soit \displaystyle \Omega un domaine ouvert et borné de \R^N et de frontière \part \Omega régulière (ou régulière par morceaux), \displaystyle f dans \displaystyle L^2(\Omega), puis \displaystyle g et α > 0 des fonctions continues définies sur \part \Omega.

Alors les trois problèmes précédents possèdent une unique solution \displaystyle \phi dans \displaystyle H^1(\Omega) qui est caractérisée par la formulation faible correspondante mise en oeuvre dans les espaces suivants :

  1. H = H^1_0(\Omega) qui est ladhérence dans \displaystyle H^1(\Omega) des fonctions indéfiniment dérivables et à support compact dans \displaystyle \Omega.
  2. H = \left \{ \phi  \in H^1(\Omega) \, | \int_{\Omega} \phi \, \mathrm{d}V = 0 \right \}.
  3. \displaystyle H = H^1(\Omega).

Résolution

Il y a diverses méthodes pour la résolution numérique. La méthode de relaxation, un algorithme itératif, est un exemple. Les méthodes basées sur les transformées de Fourier sont presque toujours utilisées en gravitation universelle.

Considérations historiques et essais de résolution

L'équation de Poisson est une correction célèbre de léquation différentielle de Laplace au second degré pour le potentiel :

 \nabla^2 \phi = - 4 \pi \rho \; ,

On appelle aussi cette équation : l'équation de la théorie du potentiel publiée en 1813. Si une fonction dun point donné ρ = 0, nous obtenons léquation de Laplace :

 \nabla^2 \phi = 0 \; .

En 1812, Poisson découvrit que cette équation nest valide qu'hors dun solide. Une preuve rigoureuse pour les masses avec une densité variable fut dabord donnée par Carl Friedrich Gauss en 1839. Les deux équations ont leurs équivalents en analyse vectorielle. Létude des champs scalaires φ dune divergence donne :

 \nabla^2 \phi = \rho (x, y, z) \; .

Par exemple, une équation de Poisson pour un potentiel électrique en surface Ψ, qui montre sa dépendance de la densité dune charge électrique ρe dans une place particulière :

 \nabla^2 \Psi = {\partial ^2 \Psi\over \partial x^2 } +
                     {\partial ^2 \Psi\over \partial y^2 } +
                     {\partial ^2 \Psi\over \partial z^2 } =
                     - {\rho_{e} \over \varepsilon \varepsilon_{0}} \; .

La distribution dune charge dans un fluide est inconnue et nous devons utiliser léquation de Poisson-Boltzmann :

 \nabla^2 \Psi = {n_{0} e \over \varepsilon \varepsilon_{0}}
     \left( e^{e\Psi (x,y,z)\over k_{B}T} -
            e^{e\Psi (x,y,z)\over k_{B}T} \right) \; ,

ce qui, dans la plupart des cas, ne peut être résolu analytiquement, mais seulement pour des situations particulières. Dans les coordonnées polaires, léquation de Poisson-Boltzmann est :

 {1\over r^{2}} {d\over dr} \left( r^{2} {d\Psi \over dr} \right) =
     {n_{0} e \over \varepsilon \varepsilon_{0}}
     \left( e^{e\Psi (r)\over k_{B}T} - e^{e\Psi (r)\over k_{B}T} \right) \; ,

laquelle ne peut pas non plus être résolue analytiquement. Même si le champ φ nest pas scalaire, léquation de Poisson est valide, comme elle peut lêtre par exemple dans un espace de Minkowski à quatre dimensions :

 \square \phi_{ik} = \rho (x, y, z, ct) \; .

Si ρ(x, y, z) est une fonction continue et si pour r→∞ (ou si un point 'se déplace' à linfini) une fonction φ va à 0 suffisamment rapidement, une solution à léquation de Poisson est le potentiel newtonien dune fonction ρ(x, y, z:

 \phi_M = - {1\over 4 \pi} \int {\rho (x, y, z) dv \over r} \; ,

r est une distance entre lélement avec le volume dv et le point M. Lintégration parcourt la totalité de lespace. Lintégrale de Poisson en résolvant la fonction de Green pour le Problème de Dirichlet de léquation de Laplace, si le cercle est le domaine étudié :

 \phi(\xi , \eta) = {1\over 2 \pi} \int _0^{2\pi}
     {R^2 - \rho^2\over R^2 + \rho^2 - 2R \rho \cos (\psi - \chi) } \phi
     (\chi) d \chi \; ,

 :

 \xi = \rho \cos \psi \; , \quad \eta = \rho \sin \psi \; .

φ(χ) est une fonction prescrite sur une ligne circulaire, qui définit les conditions aux limites de la fonction requise φ de léquation de Laplace. De la même manière nous définissons la fonction de Green pour le problème de Dirichlet pour léquation de Laplace Del.svg2 φ = 0 dans lespace, pour un domaine constitué dune sphère de rayon R. Cette fois la fonction de Green est:

 G(x,y,z;\xi,\eta,\zeta) = {1\over r} - {R\over r_1 \rho} \; ,

 :  \rho = \sqrt {\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2} est une distance dun point (ξ, η, ζ) depuis le centre dune sphère, r une distance entre des points (x, y, z), (ξ, η, ζ), r1 est une distance entre le point (x, y, z) et le point (Rξ/ρ, Rη/ρ, Rζ/ρ), symmetrique au point (ξ, η, ζ). Lintégrale de Poisson est maintenant de la forme:

 \phi(\xi, \eta, \zeta) = {1\over 4 \pi} \int\!\!\!\int_S {R^2 - 
        \rho^2 \over R r^3} \phi ds \; .

Articles connexes

Références

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Liens externes


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