- Équation de Poisson
-
En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles du second ordre suivante :
où
est l'opérateur laplacien et
est une fonction généralement donnée.
Sur un domaine borné de
et de frontière régulière, le problème de trouver
à partir de
et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé : la solution existe et est unique.
Ce problème est important en pratique :- En électrostatique, la formulation classique (voir Équation de Poisson-Boltzmann) exprime le potentiel électrique
associé à une distribution connue de charges
(dans le vide) par la relation
- En gravitation universelle, le potentiel gravitationnel
est relié à la masse volumique
par la relation
Sommaire
Conditions aux limites
L'équation de Poisson étant insensible à l’ajout sur
d’une fonction satisfaisant l’équation de Laplace (ou une simple fonction linéaire par exemple), une condition aux limites est nécessaire pour espérer l'unicité de la solution : par exemple les conditions de Dirichlet, celles de Neumann, ou des conditions mixtes sur des portions de frontière.
Équation de Poisson à deux dimensions
En coordonnées cartésiennes dans
, considérons un ouvert
, une fonction
continue sur
et une fonction
continue sur la frontière
. Le problème consiste à trouver une fonction de deux variables réelles φ(x,y) définie sur
qui vérifie les deux relations :
sur
et φ = g sur
Cette formulation est un modèle mathématique du problème statique d’une membrane élastique tendue et chargée (une peau de tambour) :est la densité de charge (exprimée par exemple en Pa, ceci à un multiple près caractérisant les propriétés d’élasticité de la membrane),
est la cote (élévation verticale) le long de la frontière de fixation de la membrane,
- la solution φ(x,y) indique la cote de la membrane dans
.
Éléments de justificationA une dimension, il s’agit d’une corde élastique chargée qui est fixée en ses deux extrémités.
Sur un petit élément
, considérons l’équilibre statique entre les deux forces de traction
et
de la corde (respectivement à gauche et à droite), puis la force de la charge
induite par une densité de charge linéaire notée
:
Sans restreindre la généralité, les facteurs
et
ont été divisés par
afin de leur conserver une grandeur non différentielle.
La somme vectorielle de ces forces conduit aux égalités :
qu’on peut appeler
, un coefficient indépendant de
puisque toutes les composantes horizontales se compensent pour se répercuter uniquement sur les points d’attache,
- 2k[φ(x + δx) − 2φ(x) + φ(x − δx)]δx = 2ρ(x)δx qui, lorsque δx tend vers 0, s’écrit
Cette dernière relation est bien l’équation de Poisson à une dimension.
Formulation faible et solution
Soit
un domaine ouvert et borné de
dont la frontière
est suffisamment régulière pour satisfaire le théorème de la divergence. Soit
le vecteur normal à
et dirigé vers l’extérieur.
Soient
une fonction de
, puis
et α > 0 des fonctions continues définies sur
.
On cherche une solutionpour chacun des problèmes suivants :
sur
- satisfaisant l’une des conditions sur
:
et
(pour fixer la constante additive d’indétermination)
Pour toute fonctionrégulière, la relation
et le théorème de la divergence impliquent
Si
est solution du problème précédent muni de la condition aux limites retenue, alors
En notantle membre de gauche et
celui de droite, la formulation faible consiste à :
- définir un espace vectoriel
approprié dans lequel
et
sont définies,
- rechercher
tel que
pour tout
.
Si elle existe, la solution naturelle de ces formulations se trouve dans l’espace de Sobolevmuni de sa norme
En effet, pour chaque problème,
est une forme bilinéaire symétrique définie sur
b(ψ) est une forme linéaire sur
.
Proposition — Soit
un domaine ouvert et borné de
et de frontière
régulière (ou régulière par morceaux),
dans
, puis
et α > 0 des fonctions continues définies sur
.
Alors les trois problèmes précédents possèdent une unique solution
dans
qui est caractérisée par la formulation faible correspondante mise en oeuvre dans les espaces suivants :
qui est l’adhérence dans
des fonctions indéfiniment dérivables et à support compact dans
JustificationSi les conditions de continuité et de coercivité des hypothèses du théorème de Lax-Milgram sont satisfaites, ce dernier permet de conclure.
- Continuité
Pour la continuité des deux formes, il s’agit de montrer l’existence de constantes positives notées génériquement
telles que
Ces constantes existent par définition de la norme de
et par la continuité des opérateurs de trace qui, à une fonction
associe un fonction de
définie par la restriction de
sur
.
On peut remarquer que la continuité des formes assure simultanément leur définition rigoureuse. Pour le second problème en particulier,
borné implique la continuité de l’injection de
dans
pour la norme
, ce qui justifie la définition de l’espace
correspondant.
- Coercivité
Pour la coercivité des
, il s’agit de montrer l’existence d’une constante
0" border="0"> indépendante de
telle que
Cette propriété découle de l’inégalité de Poincaré classique pour la forme
et de l’inégalité de Poincaré-Wirtinger pour la forme
.
La coercivité de la formepeut se montrer par l’absurde. En notant
supposons qu’il existe une suite
satisfaisant
et
tend vers 0.
Par compacité de l’injection canonique de
dans
(lorsque
est borné), il existe une sous-suite convergeant vers une fonction
pour la norme
. Cette suite est donc une suite de Cauchy dans
et, puisque son gradient tends vers 0 dans
, elle est également une suite de Cauchy dans
qui converge vers
et qui ne peut être qu’une fonction constante avec
. Ainsi, sa trace sur
(par continuité) ne peut être que constante non nulle, ce qui contredit d(ψ) = 0.
Résolution
Il y a diverses méthodes pour la résolution numérique. La méthode de relaxation, un algorithme itératif, est un exemple. Les méthodes basées sur les transformées de Fourier sont presque toujours utilisées en gravitation universelle.
Considérations historiques et essais de résolution
L'équation de Poisson est une correction célèbre de l’équation différentielle de Laplace au second degré pour le potentiel :
On appelle aussi cette équation : l'équation de la théorie du potentiel publiée en 1813. Si une fonction d’un point donné ρ = 0, nous obtenons l’équation de Laplace :
En 1812, Poisson découvrit que cette équation n’est valide qu'hors d’un solide. Une preuve rigoureuse pour les masses avec une densité variable fut d’abord donnée par Carl Friedrich Gauss en 1839. Les deux équations ont leurs équivalents en analyse vectorielle. L’étude des champs scalaires φ d’une divergence donne :
Par exemple, une équation de Poisson pour un potentiel électrique en surface Ψ, qui montre sa dépendance de la densité d’une charge électrique ρe dans une place particulière :
La distribution d’une charge dans un fluide est inconnue et nous devons utiliser l’équation de Poisson-Boltzmann :
ce qui, dans la plupart des cas, ne peut être résolu analytiquement, mais seulement pour des situations particulières. Dans les coordonnées polaires, l’équation de Poisson-Boltzmann est :
laquelle ne peut pas non plus être résolue analytiquement. Même si le champ φ n’est pas scalaire, l’équation de Poisson est valide, comme elle peut l’être par exemple dans un espace de Minkowski à quatre dimensions :
Si ρ(x, y, z) est une fonction continue et si pour r→∞ (ou si un point 'se déplace' à l’infini) une fonction φ va à 0 suffisamment rapidement, une solution à l’équation de Poisson est le potentiel newtonien d’une fonction ρ(x, y, z) :
où r est une distance entre l’élement avec le volume dv et le point M. L’intégration parcourt la totalité de l’espace. L’intégrale de Poisson en résolvant la fonction de Green pour le Problème de Dirichlet de l’équation de Laplace, si le cercle est le domaine étudié :
où :
φ(χ) est une fonction prescrite sur une ligne circulaire, qui définit les conditions aux limites de la fonction requise φ de l’équation de Laplace. De la même manière nous définissons la fonction de Green pour le problème de Dirichlet pour l’équation de Laplace
2 φ = 0 dans l’espace, pour un domaine constitué d’une sphère de rayon R. Cette fois la fonction de Green est:
où :
est une distance d’un point (ξ, η, ζ) depuis le centre d’une sphère, r une distance entre des points (x, y, z), (ξ, η, ζ), r1 est une distance entre le point (x, y, z) et le point (Rξ/ρ, Rη/ρ, Rζ/ρ), symmetrique au point (ξ, η, ζ). L’intégrale de Poisson est maintenant de la forme:
Articles connexes
Références
- Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
Liens externes
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