Théorème de Green

Théorème de Green: En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann donne la relation entre une intégrale curviligne autour d'une courbe simple fermée $C$ et l'intégrale double sur la région du plan $D$ délimitée par $C$ .

Ce théorème est nommé d'après le scientifique George Green et se base sur le théorème de Stokes. À ne pas confondre avec le théorème de Green-Ostrogradski, ou théorème de flux-divergence.

Sommaire

1 Énoncé

2 Notation alternative

3 Utilisations

3.1 Calculs d'aires

Énoncé

Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux.

Théorème de Green — Soit $C$ , une courbe plane simple, positivement orientée et C¹ par morceaux, $D$ le domaine compact lisse du plan délimité par $C$ et $P d x + Q d y$ une 1-forme différentielle sur $\R^2$ . Si $P$ et $Q$ ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte incluant $D$ , alors :
$\int_\mathcal{C} P\,\mathrm dx + Q\,\mathrm dy = \iint_ \mathcal{D} ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\ ) \mathrm dx\mathrm dy$

Notation alternative

Il existe une autre façon de noter ce théorème, qui se rapproche de celle utilisée pour le théorème de Stokes. On se place sur un domaine compact lisse du plan $Ω$ , de bord $\partialΩ$ , en notant la forme différentielle $ω$ . Alors la dérivée extérieure de $ω$ s'écrit :
$\mathrm d\omega = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm dx \wedge \mathrm dy$
On peut alors résumer le théorème de Green par la formule :
$\oint_{\partial \Omega} \omega = \iint_{\Omega} \mathrm d\omega$
Le cercle sur l'intégrale précise que le bord décrit une courbe fermée. En dessinant une flèche dessus, on définit l'orientation — positive ou négative.

Utilisations

Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

Calculs d'aires

L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. Cette méthode est concrètement appliquée dans les planimètres.

Soit $D$ un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit $C = \partial D$ sa frontière, orientée positivement par rapport à $D$ . On a :
$\mathcal{A(D)} = \iint_\mathcal{D} \mathrm dx \mathrm dy = \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx = \int_\mathcal{C} x \mathrm dy = 1/2 \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx + x \mathrm dy$
en prenant respectivement $P \left( x, y \right) = -y$ et $Q \left( x, y \right) = 0$ , ou bien $P \left( x, y \right) = 0$ et $Q \left( x, y \right) = x$ , ou enfin $P \left( x, y \right) = -y/2$ et $Q \left( x, y \right) = x/2$ .

On traite ici l'exemple du disque unité $D$ , dont le bord est le cercle unité $C$ paramétré par :
$t \to \left( \cos{t}, \sin{t} \right)$
et de longueur $2π$ . En prenant par exemple $P \left( x, y \right) = 0$ et $Q \left( x, y \right) = x$ , on obtient :
$\mathcal{A} = \int_\mathcal{C} x\,\mathrm dy = \int_{0}^{2\pi} \cos^2 (t)\,\mathrm dt = \pi$ .
On a ainsi montré que l'aire du disque unité est π.

v · Analyse vectorielle

Objets d'étude Champ de vecteurs • Champ scalaire • Équation aux dérivées partielles (de Laplace et de Poisson)

Opérateurs Nabla • Gradient • Rotationnel • Divergence • Laplacien scalaire • Bilaplacien • Laplacien vectoriel • D'alembertien

Théorèmes de Green • de Stokes • de Helmholtz • de flux-divergence • du gradient • du rotationnel

Portail de l'analyse

Portail de la physique

Catégories :
Méthode mathématique de la physique
Théorème d'analyse
Théorème de physique
Analyse vectorielle

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Green de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

Théorème de green — Articles d analyse vectorielle Objets … Wikipédia en Français
Théorème de Green-Riemann — Théorème de Green Articles d analyse vectorielle Objets … Wikipédia en Français
Théorème de Green Riemann — Théorème de Green Articles d analyse vectorielle Objets … Wikipédia en Français
Théorème de Green-Ostrogradski — Théorème de flux divergence Articles d analyse vectorielle … Wikipédia en Français
Théorème de Green-Ostrogradsky — Théorème de flux divergence Articles d analyse vectorielle … Wikipédia en Français
Théorème de Green-Tao — En mathématiques, plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Green Tao, dû aux mathématiciens Ben Green et Terence Tao en 2004[1], s énonce de la façon suivante : « La suite des nombres premiers contient des suites… … Wikipédia en Français
Green Riemann — Théorème de Green Articles d analyse vectorielle Objets … Wikipédia en Français
Theoreme de Stokes — Théorème de Stokes Pour les articles homonymes, voir Stokes. Articles d analyse vectorielle … Wikipédia en Français
Théorème de stokes — Pour les articles homonymes, voir Stokes. Articles d analyse vectorielle … Wikipédia en Français
Theoreme de flux-divergence — Théorème de flux divergence Articles d analyse vectorielle … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Théorème de Green

Sommaire

Énoncé

Notation alternative

Utilisations

Calculs d'aires

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

v · Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs • Champ scalaire • Équation aux dérivées partielles (de Laplace et de Poisson)
Opérateurs	Nabla • Gradient • Rotationnel • Divergence • Laplacien scalaire • Bilaplacien • Laplacien vectoriel • D'alembertien
Théorèmes	de Green • de Stokes • de Helmholtz • de flux-divergence • du gradient • du rotationnel

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Théorème de Green

Sommaire

Énoncé

Notation alternative

Utilisations

Calculs d'aires

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link