Sudoku

Le sudoku (prononcé "soudokou" en français, /sɯːdokɯ/^écouter en japonais), est un jeu en forme de grille défini en 1979 par l’Américain Howard Garns, mais inspiré du carré latin, ainsi que du problème des 36 officiers du mathématicien suisse Leonhard Euler.

Le but du jeu est de remplir la grille avec une série de chiffres (ou de lettres ou de symboles) tous différents, qui ne se trouvent jamais plus d’une fois sur une même ligne, dans une même colonne ou dans une même sous-grille. La plupart du temps, les symboles sont des chiffres allant de 1 à 9, les sous-grilles étant alors des carrés de 3 × 3. Quelques symboles sont déjà disposés dans la grille, ce qui autorise une résolution progressive du problème complet.

Sommaire 1 Présentation 1.1 Étymologie 1.2 Règles de base 1.3 Variantes 1.4 Variantes alphabétiques 2 Précurseurs du Sudoku 2.1 Un ancêtre du sudoku : le carré latin magique 2.2 Emplois historiques des carrés magiques 2.3 Le problème des officiers 2.4 Version moderne du sudoku 2.5 Popularité dans les médias 3 Mathématiques 3.1 Structure logique 3.2 Nombre de grilles possibles 3.2.1 Symétries des grilles 3.2.2 Nombre de grilles complètes 3.2.3 Nombre de grilles incomplètes 3.3 16 Révélés ? 4 Méthodes de résolution utilisées par les joueurs 4.1 Remarques préliminaires 4.2 Gestion des nombres candidats 4.3 Règles élémentaires 4.3.1 Singleton 4.3.2 Élimination directe - Singleton caché 4.3.3 Recherche des valeurs uniques - Singleton nu 4.3.4 Élimination indirecte - interactions ligne-bloc et colonne-bloc 4.4 Méthodes basées sur des figures (patterns) simples prédéfinies 4.4.1 Groupes nus 4.4.2 Groupes cachés 4.4.3 Recherche des groupes nus et cachés 4.4.4 Fish ou Poissons (X-Wing, Swordfish, Jellysfish) 4.4.5 Symétries généralisées et tableau de résolution étendu 4.5 Figures plus complexes : chaînes 4.5.1 chaînes xy 4.5.2 Généralisations des chaînes xy : chaînes d'ALS et chaînes nrczt 4.6 Règles résultant de l'hypothèse d'unicité 4.6.1 Le principe du rectangle interdit 4.6.2 Exemples de règle reposant sur l'exploitation du rectangle interdit 5 Classification des puzzles 5.1 Préambule sur les puzzles minimaux et les statistiques de classification des puzzles 5.2 SER (Sudoku Explainer Rating) 5.3 Classification NRCZT 5.3.1 Statistiques de la classification nrczt 5.4 Classifications des puzzles « grand public » 5.4.1 Type 1 5.4.2 Type 2 5.4.3 Type 3 5.4.4 Type 4 5.4.5 Type 5 6 Informatique et Sudoku 6.1 Solutions logicielles 6.2 Construction de grilles 7 Notations 8 Voir aussi 8.1 Bibliographie 8.2 Notes et références 8.3 Articles connexes 8.4 Liens externes

Présentation

Étymologie

Le nom sudoku (数独) est né de l’abréviation de la règle du jeu japonaise « Sūji wa dokushin ni kagiru » (数字は独身に限る, « Sūji wa dokushin ni kagiru »^?), signifiant « il ne peut y avoir qu’un seul et unique chiffre » (par case et par ligne). Cette abréviation associe les caractères Sū (数) chiffre et Doku (独) unique. Ce nom est une marque déposée au Japon de l’éditeur Nikoli Corporation Ltd.. En japonais, ce mot est prononcé [sɯːdokɯ]^écouter ; en français, il est couramment employé avec une prononciation francisée, c’est-à-dire en ignorant la voyelle longue présente sur le premier « u » et en modifiant légèrement le timbre des voyelles « u » : [sudoku]. Au Japon, Nikoli est toujours propriétaire du nom sudoku ; ses concurrents utilisent donc un autre nom : ils peuvent renvoyer au jeu par le nom américain original « Number Place » (anglais : Place numérale), ou encore par le mot « Nampure », plus court. Quelques éditeurs non japonais orthographient le titre « Su Doku ».

Règles de base

La grille de jeu présentée à droite, à titre d’exemple, est un carré de neuf cases de côté, subdivisé en autant de sous-grilles carrées identiques, appelées « régions ».

La règle du jeu générique, donnée en début d’article, se traduit ici simplement : chaque ligne, colonne et région ne doit contenir qu’une seule fois tous les chiffres de un à neuf. Formulé autrement, chacun de ces ensembles doit contenir tous les chiffres de un à neuf.

Une règle non écrite mais communément admise veut également qu’une bonne grille de sudoku, une grille valide, ne doit présenter qu’une et une seule solution. Ce n’est pas toujours le cas…

Les chiffres ne sont utilisés que par convention, les relations arithmétiques entre eux ne servant pas (sauf dans la variante Killer Su Doku, voir ci-après). N’importe quel ensemble de signes distincts — lettres, formes, couleurs, symboles — peut être utilisé sans changer les règles du jeu. Dell Magazines, le premier à publier des grilles, a utilisé des chiffres dans ses publications. Par contre, Scramblets, de Penny Press, et Sudoku Word, de Knight Features Syndicate, utilisent tous les deux des lettres.

L’intérêt du jeu réside dans la simplicité de ses règles, et dans la complexité de ses solutions. Les grilles publiées ont souvent un niveau de difficulté indicatif. L’éditeur peut aussi indiquer un temps de résolution probable. Quoiqu’en général les grilles contenant le plus de chiffres pré-remplis soient les plus simples, l’inverse n’est pas systématiquement vrai. La véritable difficulté du jeu réside plutôt dans la difficulté de trouver la suite exacte des chiffres à ajouter.

Ce jeu a déjà inspiré plusieurs versions électroniques qui apportent un intérêt différent à la résolution des grilles de sudoku. Sa forme en grille et son utilisation ludique le rapprochent d’autres casse-tête publiés dans les journaux, tels les mots croisés et les problèmes d’échecs. Le niveau de difficulté peut être adapté, et des grilles sont publiées dans des journaux, mais peuvent aussi être générées à la demande sur Internet.

Variantes

Bien que les grilles classiques soient les plus communes, plusieurs variantes existent :

• 2×2 ou « Sudoku binaire », contenant des régions 1×1 (version pleine d’ironie) ;
• 4×4 contenant des régions 2×2 (généralement pour les enfants) ;
• 5×5 contenant des régions en forme de pentamino ont été publiés sous le nom Logi-5;
• 6×6 contenant des régions 2×3 (proposée lors du World Puzzle Championship) ;
• 7×7 avec six régions en forme d’hexamino et une région disjointe (proposée lors du World Puzzle Championship) ;
• 9×9 avec des régions en forme de ennéamino ;
• 16×16 avec des régions 4×4 (appelées Number Place Challenger et publiées par Dell, ou appelées parfois Super Sudoku), (ou encore Sudoku Hexadécimal utilisant une notation en base 16 (Chiffre de 0 à 9 + lettres de A à F) ;
• 25×25 avec des régions 5×5 (appelées Sudoku the Giant et publiées par Nikoli) ;
• une variante impose de plus que les chiffres dans les diagonales principales soient uniques. Le Number Place Challenger, mentionné précédemment, et le Sudoku X du Daily Mail, une grille 6×6, appartiennent à cette catégorie ;
• 8×8 contenant des régions 2×4 et 4×2, et où les rangées, les colonnes, régions et les diagonales principales contiennent un chiffre unique
• une méta-grille composée de cinq grilles 9×9 en quinconce qui se chevauchent aux coins est publiée au Japon sous le nom de Gattai 5 (qui signifie « cinq fusionnés ») ou Samuraï. Dans le journal The Times, cette forme est appelée le Samurai Su Doku^[1].
• des grilles à régions rectangulaires : si une région est de dimensions L×C cases, la grille globale se décompose en C×L régions ; les valeurs à remplir vont alors de 1 à C×L ;
• Dion Church a créé une grille 3D, que le Daily Telegraph a publiée en mai 2005. Le logiciel ksudoku appelle de telle grilles roxdoku et les crée automatiquement.
• En 2006, Aurélie Delbèque et Olivier Delbeke ont publié la première grille 3D en 8×8×8, ils l’ont appelé Kuboku^[2].
• le kamaji est une dérivation récente de sudoku basé sur le principe des sommes de chiffres.
• irrégulier, avec des formats différents.

Au Japon, d’autres variantes sont publiées. En voici une liste incomplète :

• Grilles connectées séquentiellement : plusieurs grilles 9×9 sont résolues consécutivement, mais seul la première a suffisamment de dévoilés pour permettre de résoudre logiquement. Une fois résolue, certains chiffres sont copiés vers le suivant. Cette formule impose au joueur de faire des allers et des retours entre des grilles partiellement résolues.
• Grilles très grandes qui consistent en de multiples grilles qui se chevauchent (habituellement 9×9). Des grilles constituées de 20 à 50, ou plus, sont courantes. La taille des régions qui se chevauchent varie (deux grilles 9×9 peuvent partager 9, 18 ou 36 cellules). Souvent, il n’y a aucun dévoilé dans ces régions.
• Grilles habituelles où un chiffre est membre de quatre groupes, au lieu des trois habituels (rangées, colonnes et régions) : les chiffres situés aux mêmes positions relatives dans une région ne doivent pas correspondre. Ces grilles sont habituellement imprimées en couleur, chaque groupe disjoint partageant une couleur pour faciliter la lecture.

La trousse de jeux pour participer au World Puzzle Championship de 2005 contient une variante intitulée Digital Number Place : plutôt que de contenir des dévoilés, la plupart des cellules contiennent un chiffre partiellement dessiné qui emprunte à la graphie de l’affichage à sept segments.

Le 31 août 2005, The Times a entamé la publication du Killer Su Doku, aussi nommé Samunamupure (qui signifie « lieu de sommation »), lequel indique la somme de cellules regroupées et ne révèle aucune case, ce qui ajoute un supplément de difficulté dans la recherche de la solution, bien que cela puisse aider à résoudre. Les autres règles s’appliquent.

Variantes alphabétiques

Des variantes alphabétiques, qui utilisent des lettres plutôt que des chiffres, sont aussi publiées. The Guardian les appelle Godoku et les qualifie de démoniaques. Knight Features lui préfère le terme Sudoku Word^[3]. Le Wordoku^[4] de Top Notch dévoile les lettres, dans le désordre, d’un mot qui court du coin gauche supérieur au coin droit inférieur. Un joueur ayant une bonne culture peut le trouver et utiliser sa découverte pour avancer vers la solution.

En français, cette variante alphabétique porte divers noms comme Sudoku lettres, Mokitu (Télé 7 jours) ou Mysmo (Libération). Certaines grilles se limitent aux mots ne comportant que des lettres différentes. D’autres acceptent des mots comportant plusieurs fois la même lettre auquel cas elle a à chaque fois une graphie différente, par exemple : MAHaRADJa.

Le Code Doku^[5] conçu par Steve Schaefer contient une phrase complète, alors que le Super Wordoku^[6] de Top Notch contient deux mots de neuf lettres, chacun se trouvant sur l’une des diagonales principales. Ces jeux ne sont pas considérés comme de vrais sudokus par les puristes, car la logique n’est pas suffisante pour les résoudre, même s’ils ont une solution unique. Top Notch affirme que ces jeux sont conçus de façon à bloquer les solutions composées par des logiciels de résolution automatique.

Précurseurs du Sudoku

Un ancêtre du sudoku : le carré latin magique

Les expériences agronomiques en champ, généralement constituées d’un certain nombre de parcelles carrées ou rectangulaires, sont souvent organisées sous la forme de blocs aléatoires complets, c’est-à-dire de groupes de parcelles voisines au sein desquels les différents éléments à comparer (différentes fumures par exemple) sont tous présents et répartis au hasard.

Quand le nombre total de parcelles disponibles est égal à un carré (16, 25, 36, etc.), une autre possibilité correspond à la notion de carré latin, qui est tel que les différents éléments à comparer sont présents dans chacune des lignes et dans chacune des colonnes de parcelles.

La superposition de ces deux dispositifs peut donner naissance à ce qui a été appelé carré latin magique, notamment par W.T. Federer^[7] en 1955. Dans l’exemple présenté ci-contre, chacun des six éléments étudiés (par exemple six fumures différentes) est présent dans chacun des six blocs de 2 × 3 parcelles, dans chacune des six lignes et dans chacune des six colonnes. Il s’agit strictement d’un sudoku 6 × 6.

Le sudoku classique n’est donc rien d’autre qu’un carré latin magique 9 × 9^[8].

Emplois historiques des carrés magiques

Un des ancêtres du sudoku dans l'antiquité était un carré de neuf cases à remplir par trois lettres (A, B et C) sans qu’une même lettre apparaisse deux fois dans la même colonne, ligne ou diagonale.

Les plus anciens « carrés magiques » numériques connus se trouvent en Chine (nommé Luoshu 洛书, le livre de la rivière Luo) où les chiffres étaient représentés par différentes formes géométriques contenant n ronds^[9] (vers -300), et en Inde où furent inventés ce que nous appelons les chiffres arabes. Ils ont à l’origine des significations divinatoires.

Au Moyen Âge, ce sont les arabes qui au X^e siècle auraient donné les premiers une application purement mathématique et non plus sacrée aux carrés magiques.

Pendant la Renaissance, Cornelius Agrippa (1486-1535), utilise des carrés magiques toujours dans un but ésotérique.

Le mathématicien français Pierre de Fermat (1601(ou 1607)-1665) travailla sur les carrés magiques et les étendit aux cubes magiques.

En 1691 Simon de La Loubère explique le fonctionnement du carré magique utilisé au Siam, dans son ouvrage Du Royaume de Siam, où celui-ci possède une fonction sacrée.

Le problème des officiers

En 1782, le mathématicien suisse Leonhard Euler imagine un problème dans une grille. Certains attribuent donc la paternité du sudoku au Suisse, bien que les travaux d’Euler concernent les carrés latins et la théorie des graphes.

On considère six régiments différents, chaque régiment possède six officiers de grades distincts. On se demande maintenant comment placer les 36 officiers dans une grille de 6×6, à raison d’un officier par case, de telle manière que chaque ligne et chaque colonne contienne tous les grades et tous les régiments.

Il s’agit en d’autres termes d’un carré gréco-latin d’ordre 6 (la combinaison de deux carrés latins, un carré latin pour les régiments, un carré latin pour les grades), problème dont la résolution est impossible. Euler l’avait déjà pressenti à l’époque, sans toutefois donner une démonstration formelle à sa conjecture. Il dira :

« Or, après toutes les peines qu’on s’est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnaître qu’un tel arrangement est absolument impossible, quoiqu’on ne puisse pas en donner de démonstration rigoureuse. »

En 1901, le Français Gaston Tarry démontre l’impossibilité du résultat grâce à une recherche exhaustive des cas et par croisement des résultats.

Le lien entre le sudoku et le problème des 36 officiers est la contrainte qui empêche la répétition du même élément dans la grille, tout en arrivant au final à un jeu qui emploie le principe du carré latin (combinaison de deux carrés latins dans le cas du carré gréco-latin, carré latin subdivisé en plusieurs régions dans le cas du sudoku).

Version moderne du sudoku

Le sudoku a des ancêtres français qui remontent à 1895. Le jeu n’est apparemment pas une invention récente comme beaucoup le pensaient. À la fin du XIX^e siècle, les Français jouaient en effet à remplir des grilles 9×9 divisées en 9 régions, très proches de ce jeu (mais les grilles initiales comprenaient des contraintes supplémentaires sur la solution), qui étaient publiées dans les grands quotidiens de l’époque, révèle Pour la Science dans son édition de juin 2006.

Selon le magazine, la grille la plus proche d’un sudoku, qui a été retrouvée par le Français Christian Boyer, est celle de B. Meyniel, publiée dans le quotidien La France du 6 juillet 1895. Une variante proche avait été publiée peu avant, en novembre 1892, dans Le Siècle, variante qui utilisait des nombres à deux chiffres^[10].

En 1979, un pigiste spécialisé dans les casse-tête, Howard Garns, crée le premier jeu tel que nous le connaissons aujourd’hui. Dell Magazines l’introduit cette même année dans une publication destinée au marché new-yorkais, le Dell Pencil Puzzles and Word Games, sous le nom de Number Place. Nikoli l’introduit au Japon en avril 1984 dans le magazine Monthly Nikolist.

En 1986, Nikoli introduit deux nouveautés, qui rendront le jeu populaire : les cases dévoilées sont symétriquement distribuées autour du centre de la grille et leur nombre est au plus de 30. Cependant, on ignore toujours à cette époque les autres symétries possibles sur la grille dont l’axe de symétrie est l’une des deux diagonales ou des deux médianes (la colonne et la ligne centrales). Aujourd’hui, la plupart des journaux importants au Japon, tel Asahi Shimbun, publient le jeu sous cette forme de symétrie centrale. Mais en dépit de cet aspect esthétique, les grilles sont généralement de mauvaise qualité, car les trois propriétés concernant la symétrie, l’unicité de la solution et l’irréductibilité ne peuvent être réalisées en même temps !

En 1989, Loadstar et Softdisk publient DigitHunt pour le Commodore 64, probablement le premier logiciel pour ordinateur personnel à générer des Sudoku. Une entreprise continue d’utiliser ce nom.

En 1995, Yoshimitsu Kanai publie un générateur logiciel sous le nom de Single Number (traduction anglaise de Sudoku), pour le Macintosh, en japonais et en anglais^[11] et, en 1996, il récidive pour Palm OS^[12].

En 2005, Dell Magazines publie également deux magazines dédiés aux Sudoku : Original Sudoku et Extreme Sudoku. De plus, Kappa Publishing Group reprend les grilles de Nikoli dans GAMES Magazine sous le nom de Squared Away. Les journaux New York Post, USA Today et San Francisco Chronicle publient aussi ce jeu. Des grilles apparaissent dans certaines anthologies de jeux, telles que The Giant 1001 Puzzle Book (sous le nom de Nine Numbers).

C’est en juillet 2005 que le sudoku, publié par Sport cérébral, éditeur spécialisé dans les jeux de réflexion, arrive en France. Le premier numéro se vendra à 20 000 exemplaires, soit deux fois plus qu’à l’accoutumée lors de la sortie d’un nouveau jeu — un record, selon Xavier de Bure, directeur général de l’éditeur. La Provence publie les premières grilles quotidiennes le 27 juin 2005, suivi au cours de l’été 2005 par Le Figaro, Libération, Nice Matin, 20 minutes, Métro et Le Monde. Le magazine 1, 2, 3… Sudoku sortit son premier numéro en novembre 2005.

Le phénomène a également gagné la Suisse, Wayne Gould fournit des grilles au quotidien francophone Le Matin qui a vendu cette année-là 150 000 livres de sudoku. Le Temps, autre quotidien helvétique publie quant à lui des grilles de sudoku depuis septembre 2005.

Popularité dans les médias

Dès 1997, Wayne Gould, un Néo-Zélandais et juge à la retraite de Hong Kong, est intrigué par une grille partiellement remplie dans une librairie japonaise. Pendant six ans, il développe un programme qui crée automatiquement ces grilles. Sachant que les journaux britanniques publient des mots croisés et autres jeux semblables depuis longtemps, il promeut le sudoku auprès du journal The Times, lequel publie pour la première fois une grille le 12 novembre 2004.

Trois jours plus tard, The Daily Mail publie aussi une grille sous le nom Codenumber. The Daily Telegraph introduit sa première grille le 19 janvier 2005, suivi par les autres publications du Telegraph Group. Le 20 mai 2005, le Daily Telegraph de Sydney publie pour la première fois une grille.

C’est lorsque le Daily Telegraph publie des grilles sur une base quotidienne, à partir du 23 février 2005, tout en promouvant celui-ci sur sa page une, que les autres journaux britanniques commencent à y prêter attention. Le Daily Telegraph a continué sa campagne de promotion lorsqu’il a réalisé que ses ventes augmentaient simplement par la présence d’une grille de sudoku. The Times était plutôt discret sur l’immense popularité qui entourait son concours de sudoku. Il avait déjà prévu de tirer avantage de son avance en publiant un premier livre sur le sudoku.

En avril et mai 2005, le jeu était suffisamment populaire pour que plusieurs journaux nationaux le publient sur une base régulière. Au nombre de ceux-ci, on retrouve The Independent, The Guardian, The Sun (intitulé Sun Doku) et The Daily Mirror. Lorsque le mot Sudoku devient populaire au Royaume-Uni, le Daily Mail l’adopte à la place de Codenumber. Dès lors, les journaux ont rivalisé d’imagination pour pousser leurs grilles. The Times et Daily Mail affirment qu’ils sont les premiers à avoir publié une grille de sudoku, alors que The Guardian affirme, ironiquement, que ses grilles construites à la main, obtenues de Nikoli, apportent une meilleure expérience que les grilles générées à l’aide d’un logiciel.

La subite popularité du sudoku au Royaume-Uni a attiré son lot de commentaires dans les médias (voir Liens externes ci-dessous) et des parodies ont suivi, par exemple la section G2 du journal The Guardian s’annonce comme le premier supplément avec une grille par page^[13]. Le sudoku est devenu particulièrement visible tout de suite après les élections de 2005 au Royaume-Uni, incitant quelques commentateurs à affirmer qu’il remplissait un besoin chez le lectorat politique. Une autre explication suggère qu’il attire et retient l’attention des lecteurs, plusieurs se sentant de plus en plus satisfaits lorsque la solution se dessine. The Times estime que les lecteurs apprécient à la fois les grilles faciles et difficiles. En conséquence, il les publie côte à côte depuis le 20 juin 2005.

La télévision britannique s’est empressée de surfer sur la vague de popularité et Sky One diffuse la première émission sur le sudoku, Sudoku Live, le 1^er juillet 2005, que le mathématicien Carol Vorderman présente. Neuf équipes de neuf joueurs, dont une vedette, chacune représentant une région géographique, tentent de compléter une grille de sudoku. Chaque joueur a en main un appareil qui lui permet de saisir un chiffre dans l’une des quatre cellules dont il est responsable. Échanger avec les autres membres de l’équipe est permis mais, la familiarité manquant, les compétiteurs ne le font pas. Également, l’auditoire à la maison participe à une autre compétition interactive en même temps. Sky One a tenté de créer un engouement^[14] pour son émission par le biais d’une énorme grille de 84 m de côté. Cependant, il avait 1 905 solutions.

Cette brusque augmentation de popularité dans les journaux britanniques et internationaux fait que le sudoku est considéré comme le « cube de Rubik du XXI^e siècle » (traduction libre de « the Rubik's cube of the 21st century »). À titre d’exemple, Wayne Gould fournit fin 2005 des grilles pour environ 70 quotidiens dans 27 pays. Le développement de cette société a été financé en partie par le gouvernement britannique qui y voit un moyen de prévention des maladies séniles (Alzheimer en particulier).

Le 28 novembre 2005, la Télévision suisse romande lance une émission télévisée quotidienne, Su/do/ku, où deux candidats s’affrontent sur 5 jours, à raison de 3 manches de 8 minutes chaque jour. Toutefois, la difficulté pour faire passer ce genre de jeu à la télévision entraînera l’arrêt de l’émission après quelques semaines.

Des championnats nationaux sont également organisés comme le 1^er championnat de France de sudoku (Paris, 18 décembre 2005) remporté par Juliette Théry, 19 ans. Cette compétition organisée par Sport cérébral récompense le meilleur joueur de l’année. C’est l’agence de communication Décollage vertical qui a mis en place cet événement unique en France. Depuis, de nombreux autres tournois ont été organisés en France.

Mathématiques

Structure logique

Le problème de placer des chiffres sur une grille de n²×n² comprenant n×n régions est prouvé NP-complet^[15].

Le problème de la résolution de tout sudoku peut être formalisé de façon équivalente par un problème de coloration de graphe : le but, dans la version classique du jeu, est d’appliquer 9 couleurs sur un graphe donné, à partir d’un coloriage partiel (la configuration initiale de la grille). Ce graphe possède 81 sommets, un par cellule. Chacune des cases du sudoku peut être étiquetée avec un couple ordonné (x, y), où x et y sont des entiers compris entre 1 et 9. Deux sommets distincts étiquetés par (x, y) et (x’, y’) sont reliés par une arête si et seulement si :

• x = x’ (les deux cellules appartiennent à la même ligne) ou,
• y = y’ (les deux cellules appartiennent à la même colonne) ou,
• et (les deux cellules appartiennent à la même région). La grille se complète en affectant un entier entre 1 et 9 pour chaque sommet, de façon que tous les sommets liés par une arête ne partagent pas le même entier.

Une grille solution est aussi un carré latin. La relation entre les deux théories est désormais complètement connue, depuis que D. Berthier a démontré, dans The Hidden Logic of Sudoku^[16], qu’une formule logique du premier ordre qui ne mentionne pas les blocs (ou régions) est valide pour le sudoku si et seulement si elle est valide pour les carrés latins.

Il y a notablement moins de grilles solutions que de carrés latins, car le sudoku impose des contraintes supplémentaires (Voir ci-dessus nombre de grilles complètes possibles).

Le nombre maximum de dévoilés sans qu’une solution unique apparaisse immédiatement, peu importe la variante, est la taille de la grille moins 4 : si deux paires de candidats ne sont pas inscrits et que les cellules vides occupent les coins d’un rectangle, et que exactement deux cellules sont dans une région, alors il existe deux façons d’inscrire les candidats. L’opposé de ce problème, à savoir le nombre minimum de dévoilés pour garantir une solution unique, est un problème non résolu, bien que des enthousiastes japonais aient découvert une grille 9×9 sans symétrie qui contient seulement 17 dévoilés^[17],[18], alors que 18 est le nombre minimum de dévoilés pour les grilles 9×9 symétriques.

Nombre de grilles possibles

Symétries des grilles

Gordon Royle considère, à juste titre, que deux grilles complètes doivent être considérées comme équivalentes si elles peuvent être transformées l’une en l’autre (ou l’inverse) grâce à une combinaison quelconque des opérations suivantes :

1. échange des lignes avec les colonnes (transposition - deux solutions)
2. permutations des 9 nombres (9! solutions)
3. permutation des trois lignes au sein d'un même bloc (3!³ solutions) ou des trois colonnes (3!³ solutions)
4. permutation des trois blocs sur une ligne de blocs (3! solutions) ou sur une colonne de blocs (3! solutions)

Une grille complète permet ainsi de générer un total de 2x9!x(3!)^8 = 1 218 998 108 160 grilles essentiellement équivalentes. On remarque l’analogie avec les opérations matricielles en algèbre linéaire.

Nombre de grilles complètes

Il est évident que le nombre de grilles complètes est inférieur au nombre de façons de placer neuf chiffres 1, neuf chiffres 2…, neuf chiffres 9 dans une grille de 81 cases. Le nombre de grilles est donc très inférieur à

En effet, dans ce décompte, on ne tient compte d’aucune des contraintes d’unicité.

Le nombre de grilles complètes possibles est également inférieur au nombre de carrés latins de côté 9.

Enfin, le nombre de grilles complètes possibles est inférieur à 9!⁹ qui correspond au nombre de façons de construire les régions sans tenir compte des contraintes sur les lignes et les colonnes.

En 2005, Bertram Felgenhauer et Frazer Jarvis ont prouvé^[19] que ce nombre de grilles était de ^[20]:

Ce nombre est égal à :

9!×72²×2⁷×27 704 267 971

Le dernier facteur est un nombre premier. Ce résultat a été prouvé grâce à une recherche exhaustive. Frazer Jarvis a ensuite considérablement simplifié la preuve grâce à une analyse détaillée. La démonstration a été validée de manière indépendante par Ed Russell. Jarvis et Russell ont par la suite montré qu’en tenant compte des symétries, il y avait 5 472 730 538 solutions^[21].

Nombre de grilles incomplètes

Quant au problème suivant, il semble non résolu : si on s’intéresse au nombre de problèmes proposables, ce nombre est inconnu ; en revanche, on sait qu’il est nettement plus important que le nombre indiqué ci-dessus car il existe de très nombreuses façons de présenter des grilles initiales dont la solution (unique) conduit à la même grille terminée (complète). En effet, partant d'une grille complète, on peut construire un problème proposable par la méthode suivante :

1. Au départ, aucune case de la grille complète n'est « nécessaire ».
2. Choisir une case non « nécessaire » quelconque. Si la suppression de la case choisie conduit à une grille à plusieurs solutions, la marquer comme « nécessaire », sinon la supprimer.
3. Si toutes les cases remplies sont « nécessaires », la grille incomplète est un problème proposable ; sinon réitérer l'étape précédente.

On voit facilement que dans les premières étapes, aucune case n'est réellement nécessaire, ce qui permet d'imposer un problème différent d'un problème « proposable » donné, simplement en vidant une des cases qui était fournie dans ce problème.

Il est facile de montrer, sur certains exemples de grilles complètes, à quel point on peut, pour une même grille complète, présenter des grilles initiales de difficultés tout à fait contrastées, depuis les grilles pour débutants jusqu’aux grilles dites diaboliques ; il est en tout cas très facile, connaissant une grille initiale diabolique, de fabriquer une grille pour débutant dont la solution unique complète soit identique à celle de la grille diabolique choisie !

Cependant, il existe désormais une estimation (basée sur une approche statistique) du nombre total de puzzles minimaux (voir la section "classification des puzzles")

Le nombre maximal de « révélés » dans une grille qui ne fournisse pas une solution unique est une grille complète moins quatre : si dans une grille complète deux occurrences de deux nombres sont supprimées, et que ces occurrences sont aux angles d'un rectangle, et que deux de ces cellules sont dans un même groupe, alors il y a deux solutions pour compléter la grille. Ceci étant une caractéristique générale des carrés latins, la plupart des grilles de sudoku ont le même maximum.

Le problème de savoir combien de cases initiales remplies sont nécessaires pour conduire à une solution unique est, à ce jour, sans réponse sûre. Le meilleur résultat, obtenu par des Japonais, est de 17 cases sans contrainte de symétrie^[22],[23]. Rien ne dit que ce ne soit pas possible avec moins de nombres.

Autre problème non résolu : à cette date, aucun résultat n’existe sur le nombre de grilles complètes dans un super sudoku (grille 16 × 16).

16 Révélés ?

Un révélé étant une case dont le contenu est visible sur une grille de sudoku, se pose le problème de leur nombre minimal. Aujourd’hui on sait qu’il existe un très grand nombre de problèmes comportant 17 révélés (voir un exemple ci-contre avec sa solution) mais on ne sait pas s’il est possible d’en définir un ne comportant que 16 révélés.

Méthodes de résolution utilisées par les joueurs

Remarques préliminaires

1) Il existe de nombreuses approches de la résolution des Sudokus, dont certaines ne sont praticables que par ordinateur. Il ne sera question ici que des méthodes utilisées par les joueurs.

2) Il ne s’agit pas de donner une liste exhaustive de ces méthodes (ce qui nécessiterait un livre volumineux), mais un simple aperçu. De nombreuses variantes et extensions existent, comme les poissons à nageoires (finned fish), trop spécialisées pour être détaillées ici.

3) Quelles méthodes de résolution sont-elles admissibles par un joueur ? Toute réponse à cette question ayant une composante subjective, ne pas reconnaître d’emblée ce fait ne pourrait que conduire à des querelles stériles. La plupart des joueurs refusent les essais et erreurs, ou hypothèses.

4) Il existe un site de référence, Sudopedia, présentant de manière consensuelle le vocabulaire standard du Sudoku et les règles de résolution les plus connues. En anglais uniquement, il fonctionne selon les mêmes principes que Wikipedia.

5) La méthode la plus rapide pour un ordinateur consiste à essayer systématiquement, l’un après l’autre, tous les candidats restant. Appliquée récursivement, elle peut résoudre tous les puzzles. Mais cette méthode, fort peu élégante, est rejetée par quasiment tous les joueurs. Tout au plus est-elle acceptée comme ultime recours, quand plus rien d’autre ne marche.

Pour de nombreuses méthodes, la discussion se fait sur l'appartenance à une « région » qui peut être (par définition) indifféremment une ligne, une colonne, ou un groupe.

Gestion des nombres candidats

La notion de candidat n’est pas inhérente au problème du Sudoku, mais doit être introduite par le joueur pour mettre en œuvre la plupart des méthodes de résolution.

Lorsqu’un chiffre n’est pas a priori impossible dans une cellule, on dit qu’il est « candidat ». Alors que les dévoilés sont les données initiales fixes d’un puzzle, l’ensemble des candidats évolue au cours du processus de résolution. Il ne peut que diminuer ; et cela se produit lorsqu’on a démontré (par les diverses méthodes décrites plus bas) qu’un candidat (qu’on ne savait jusque là pas encore impossible) est en fait impossible. Les fondements logiques formels de cette notion (qui n’est pas aussi évidente qu’il paraît) ont été définis et étudiés en détail dans « La logique cachée du Sudoku », un livre en anglais (The Hidden Logic of Sudoku^[16])) ; ils font appel à la logique épistémique. L’article From Constraints to Resolution Rules, Part I: Conceptual Framework^[24], librement disponible sur les pages web de son auteur, expose aussi cette logique dans le cadre général des problèmes de satisfaction de contraintes.

Il y a deux notations utilisées pour les candidats : indicée et pointée.

• Pour la notation indicée, les candidats sont inscrits dans une cellule, chaque chiffre occupant ou non une place précise. Quand un candidat est impossible, il est rayé de la liste. L’inconvénient de cette méthode est que les journaux publient des grilles de petite taille, ce qui rend difficile l’inscription de plusieurs chiffres dans une même cellule. Plusieurs joueurs reproduisent à plus grande échelle de telles grilles ou ont recours à un crayon à pointe fine.
• Pour la notation pointée, les joueurs inscrivent des points dans les cellules vides. Il y a deux logiques possibles, opposées et mutuellement exclusives :
  • Quand un candidat s'avère impossible, le point correspondant est noirci. Par exemple, pour indiquer que « 1 » ne peut pas être candidat, un point est marqué en haut à gauche dans la cellule. Cette notation permet de jouer directement avec une grille imprimée dans un journal, et présente l'avantage de ne pas avoir à effacer ses marques. Cependant, elle demande du soin : il est possible de mal placer un point dans un moment d’inattention et une petite marque faite par erreur peut mener à de la confusion. Certains joueurs préfèrent utiliser un stylo pour limiter les fautes.
  • Quand un candidat s'avère possible, le point correspondant est noirci. S'il s'avère plus tard dans le raisonnement que cette hypothèse peut être éliminée, il suffira alors de barrer ce point d'une petite croix.

Lorsqu'on peut déduire qu'un nombre est nécessairement la valeur d’une cellule :

• on peut supprimer tous les autres candidats de cette cellule,
• et on peut supprimer ce nombre comme candidat de toutes les autres cellules de la même ligne, de la même colonne et du même bloc.

Règles élémentaires

Quand un puzzle peut être résolu en n’utilisant que les règles élémentaires de cette section, des joueurs expérimentés peuvent se dispenser de l’écriture explicite des candidats. Ces puzzles correspondent à des niveaux « facile » ou « élémentaire ».

Singleton

Le « singleton » correspond au cas où il n'y a plus qu'une seule cellule vide dans une « région » (ligne, colonne ou bloc). Dans ce cas, le nombre occupant la cellule est bien évidemment le nombre manquant de la série : c'est le seul endroit où le nombre manquant puisse être mis (singleton caché), et c'est la seule valeur que peut recevoir la cellule vide (singleton nu).

Cette configuration se rencontre surtout en fin de problème, quand presque toutes les cellules ont été remplies.

Plus généralement, le « singleton » correspond au cas où il n'y a (localement) qu'une seule solution : une case ne peut recevoir qu'une seule valeur (singleton nu), ou bien une valeur ne peut être affectée qu'à une seule case (singleton caché), tout autre choix conduisant à une incohérence immédiate. Il s'oppose aux « paires », « triplets » et « quadruplets », où la discussion porte sur plusieurs valeurs simultanément.

Élimination directe - Singleton caché

La recherche d'un « singleton caché » revient à se poser systématiquement la question « Où peut-il y avoir un "1" (resp. 2,..., 9) dans cette région (ligne, colonne, ou bloc) »: si le candidat recherché n'a qu'une seule position possible dans la région considérée, alors c’est la valeur de la cellule où il apparaît.

La recherche d'un singleton caché est plus fructueuse quand la valeur correspondante est souvent présente sur la grille, ce qui augmente les contraintes de positionnement et diminue le nombre d'emplacements possibles pour la solution.

Le marquage des cellules n'apporte qu'une faible plus-value pour la recherche des singletons cachés : il faut de toute manière balayer toute la région pour vérifier que la valeur recherchée n'y figure qu'une seule fois comme candidat possible. C'est pour cette raison que ces singletons sont qualifiés de « cachés ».

Recherche des valeurs uniques - Singleton nu

La recherche d'un « singleton nu » revient à se poser systématiquement la question « quelle peut être la valeur de cette cellule? », c'est-à-dire la recherche des nombres candidats. Si une cellule contient un unique candidat, alors c’est la valeur de cette cellule.

La recherche des singletons nus est d'autant plus fructueuse que la cellule examinée se trouve à l'intersection de régions assez remplies, ce qui augmente les contraintes et restreint le nombre de valeurs possibles sur la cellule examinée.

Cette recherche est un peu plus technique que la précédente, et pour la conduire systématiquement, il est plus facile de marquer les cellules. Le marquage des cellules reflète en effet directement la problématique des singletons nus, et permet facilement de les repérer visuellement : ils correspondent aux cellules qui n'ont qu'un seul candidat possible.

En général, ce marquage des cellules (qui permet de trouver tous les singletons nus présents) est un préalable aux étapes de recherche plus élaborées.

Cette appellation de « singleton nu » vient de ce que dans les logiciels d'aide à la résolution des sudoku, quand la liste des candidats est affichée sur chaque cellule, ces cases sont immédiatement visibles (nues) parce que ce sont les seules qui n'ont qu'un seul candidat (singleton)^[25]. Pour l'anecdote, cette désignation de « singleton nu » (naked single, en anglais, soit littéralement « célibataire dénudé ») peut conduire certains filtres de contrôle parental à limiter l'accès aux pages de discussion du sudoku^[26]...

Élimination indirecte - interactions ligne-bloc et colonne-bloc

L'élimination indirecte est un prolongement de l'élimination directe. Elle peut également se faire sans marquage, mais demande plus de réflexion. Elle consiste à repérer que dans une région, un nombre ne peut être placé qu'à l'intersection d'une région connexe, sans savoir où exactement ; mais aller plus loin et se servir de cette contrainte pour déceler un singleton dans la région voisine.

L'élimination indirecte peut se faire formellement sur des cellules marquées, mais sa détection n'est pas tellement facilitée par le marquage. Elle se décline en deux cas, suivant que l'exclusion indirecte se fait par un bloc ou par une ligne (resp. colonne) :

• Si, sur une ligne L coupant un bloc B, un nombre n’apparaît pas comme candidat à l’extérieur de B, supprimer ce nombre comme candidat partout dans B sauf sur L.
• Si, dans un bloc B coupé par une ligne L, un nombre n’apparaît pas comme candidat ailleurs que sur L, supprimer ce nombre comme candidat partout sur L à l’extérieur de B.

... et symétriquement pour les colonnes.

Méthodes basées sur des figures (patterns) simples prédéfinies

Groupes nus

Le raisonnement est le même que le groupe soit de deux, de trois, ou de quatre cases (et sera donné ici pour trois cases).

Si l'on observe trois (2, 4) cases dans une même région (bloc, ligne, ou colonne) pour lesquelles les « candidats » sont limités aux trois (2, 4) mêmes valeurs ; alors nécessairement, ces valeurs devront être prises sur ces trois (2, 4) cases, et ne peuvent pas être prises sur les autres cases de cette région. Sinon, par l'absurde, si l'une des valeurs était affectée à une case autre de cette région, il ne resterait plus que deux (1, 3) valeurs possibles pour remplir ces trois (2, 4) cases, conduisant nécessairement à une impossibilité. De ce fait, quand cette configuration de groupe est identifiée, les valeurs du groupe ne peuvent pas être prises par les cases qui n'appartiennent pas au groupe : dans le reste de la région, les candidats correspondants à ces valeurs peuvent être supprimés. L'identification de tels « groupes nus » permet donc d'éliminer des candidats potentiels dans le reste de la région.

Lorsque n est supérieur à 2, il arrive fréquemment qu'au moins une des cases du groupe n'ait pas comme candidats l'ensemble des chiffres de la liste : on parle alors de groupe (trio ou quatuor) "incomplet", mais cela n'enlève rien à la validité de la manœuvre d'élimination.

Les groupes ne comprennent que deux, trois ou quatre éléments. On peut remarquer que le cas limite d'un « groupe nu » à un élément correspond au cas des singletons nus, qui a déjà été traité précédemment. Inversement, si un « groupe nu » a plus que quatre éléments, on constate qu'en pratique, il est associé symétriquement à un « groupe caché » de moins de cinq éléments, qu'il est plus facile de rechercher.

De même que dans le cas des « singletons nus », ces configurations tirent leur nom de ce qu'elles sont immédiatement apparentes (dévoilées, donc « nues ») sur les grilles où les candidats ont été marqués. En effet, ces « groupes nus » peuvent facilement être recherchés formellement sur une grille où les candidats ont été marqués, et où ces triplets (respectivement, paires ou quadruplets) ont ainsi été rendus plus visibles : dès qu'une case n'a qu'un faible nombre de candidats, on recherche la possibilité d'un tel groupe, en regardant si d'autres cases du même bloc (ou ligne, ou colonne) ont des contraintes similaires.

Le traitement formel des « groupes nus » est simple :

• Triplets (resp. paires ou quadruplets) nus sur une ligne : si, sur une ligne L, il existe 3 [resp, 2 ou 4] cellules différentes qui ont tous leurs candidats parmi les mêmes 3 [resp, 4] nombres différents, alors supprimer ces 3 [resp, 2 ou 4] nombres comme candidats de toutes les autres cellules de la ligne.
• Triplets [resp. paires ou quadruplets] nus sur une colonne : si, sur une colonne C, il existe 3 [resp, 2 ou 4] cellules différentes qui ont tous leurs candidats parmi les mêmes 3 [resp, 2 ou 4] nombres différents, alors supprimer ces 3 [resp, 2 ou 4] nombres comme candidats de toutes les autres cellules de la colonne.
• Triplets (resp. paires ou quadruplets) nus dans un bloc : si, dans un bloc B, il existe 3 [resp, 2 ou 4] cellules différentes qui ont tous leurs candidats parmi les mêmes 3 [resp, 2 ou 4] nombres différents, alors supprimer ces 3 [resp, 2 ou 4] nombres comme candidats de toutes les autres cellules du bloc.

Groupes cachés

Le raisonnement est le même que le groupe soit de deux, de trois, ou de quatre candidats (et sera donné ici pour trois candidats).

Pour rechercher les groupes cachés, il faut identifier les nombres candidats qui n'apparaissent que dans un nombre restreint de cases des « régions » associées : on cherche un groupe de valeurs dont les candidats n'apparaissent que sur un ensemble exclusif de cases.

La logique est symétrique de celle des groupes nus (et le raisonnement par l'absurde est similaire), mais on recherche cette fois-ci des listes de n candidats, tels que les cases qui ont parmi leurs candidats l'un des chiffres de la liste font toutes partie du groupe de n cases ; et les cases de la « région » qui ne font pas partie du groupe n'ont aucun de leurs candidats qui appartienne à la liste de n chiffres.

Le marquage ne permet pas de les identifier rapidement, et une recherche systématique est nécessaire, ce qui est à l'origine de la désignation de « groupe caché » : leur identification est beaucoup plus laborieuse que celle des « groupes nus », et conduit à des sudoku de difficulté plus importante. Il faut noter de plus que la difficulté croît très fortement avec le nombre de cases du groupe.

Quand les « candidats » sont marqués sur la grille, le traitement formel des « groupes cachés » est simple :

• Triplets (resp. paires ou quadruplets) cachés sur une ligne : si, sur une ligne L, il existe 3 [resp, 2 ou 4] cellules différentes qui ont 3 [resp, 2 ou 4] candidats communs n’apparaissant pas ailleurs sur la ligne (chacune des 3 [resp, 2 ou 4] cellules pouvant avoir d’autres candidats), alors supprimer tous les autres candidats de ces deux cellules.
• Triplets [resp. paires ou quadruplets] cachés sur une colonne : si, sur une colonne C, il existe 3 [resp, 2 ou 4] cellules différentes qui ont 3 [resp, 2 ou 4] candidats communs n’apparaissant pas ailleurs sur la colonne (chacune des 3 [resp, 2 ou 4] cellules pouvant avoir d’autres candidats), alors supprimer tous les autres candidats de ces deux cellules.
• Triplets (resp. paires ou quadruplets) cachés dans un bloc : si, dans un bloc B, il existe 3 [resp, 2 ou 4] cellules différentes qui ont 3 [resp, 2 ou 4] candidats communs n’apparaissant pas ailleurs dans le bloc (chacune des 3 [resp, 2 ou 4] cellules pouvant avoir d’autres candidats), alors supprimer tous les autres candidats de ces deux cellules.

Recherche des groupes nus et cachés

Les groupes nus et cachés correspondent à des situations assez symétriques: dans une même région (ligne, colonne ou bloc), on recherche un groupe de trois (ou 2 ou 4) nombres et un groupe d'autant de cases présentant une configuration remarquable où les nombres du groupe n'apparaissent pas ailleurs, ou il n'y a que les nombres du groupe dans les cases :

• Si les nombres du groupe n'apparaissent pas ailleurs, mais qu'il y a éventuellement d'autres nombres dans ces cases : il s'agit alors d'un groupe caché ;
• S'il n'y a que les nombres du groupe dans les cases, mais que les nombres du groupe apparaissent éventuellement ailleurs : il s'agit alors d'un groupe nu.

Dans les deux cas, on peut éliminer les candidats pour réduire la situation à une exclusion mutuelle : les nombres du groupe n'apparaissent pas ailleurs, et il n'y a que les nombres du groupe dans les cases : si le groupe est nu, on peut le cacher, et s'il est caché, on peut le dénuder.

On voit que ces définitions sont symétriques : si un groupe de cases vides dans une région forment un groupe nu, le reste des cases vides formera un groupe caché (mais éventuellement de plus de quatre membres), et inversement. D'autre part, on voit que les groupes nus et cachés ne peuvent se trouver que dans les régions ayant de nombreuses cases libres: au minimum, si dans une même région il y a à la fois un groupe nu (de deux cases ou plus) et un groupe caché (de deux cases ou plus), la région a nécessairement quatre cases libres ou plus. Une région de quatre cases libres contient au plus un groupe nu de deux nombres (mais ne peut pas contenir de groupe de trois), une région de cinq cases libres contient peut contenir un groupe nu d'au plus trois nombres, et ainsi de suite.

La recherche des groupes nus et cachés peut se faire systématiquement, région par région, pour examiner celles qui peuvent encore être réduites. Si une région a moins de quatre cases libres, elle ne peut plus être réduite ; si un sous-groupe a moins de quatre membres, il ne peut pas lui-même être réduit ; et une fois qu'une région a été réduite, il n'est plus nécessaire de l'examiner par la suite.

Fish ou Poissons (X-Wing, Swordfish, Jellysfish)

Pour rechercher ces configurations, on regarde si un candidat (ou deux, ou trois) n'apparaît que dans un faible nombre de lignes ou de colonnes, pour lesquelles le nombre de croisements potentiels reste limité : 2x2 intersections (pour X-Wings), "3x3" (pour Swordfish) ou plus difficile à identifier, 4x4 (pour Jellyfish). Il faut examiner la situation pour toutes les lignes (ou colonnes) où un candidat n'apparaît qu'un nombre faible de fois (2, 3, éventuellement 4) ; le marquage de ces candidats ne peut se faire que par un examen systématique.

Le raisonnement qui permet l'élimination de candidats est le suivant (il est évidemment le même quand on permute lignes et colonnes) : Si l'on trouve un groupe de trois (2, 4) lignes pour lesquelles un « candidat » n'apparaît que dans trois (2, 4) colonnes (même s'il apparaît ailleurs sur ces colonnes) ; alors nécessairement, dans chacune des lignes le candidat devra être placé au point d'intersection avec une des trois (2, 4) colonnes. Comme il y a autant de colonnes que de lignes, dans chaque colonne ce candidat sera nécessairement placé à l'intersection d'une des trois lignes (même si on ne sait pas laquelle). Et donc, dans chaque colonne, on peut alors supprimer ce nombre comme candidat s'il apparaît en dehors du groupe de ces trois (2, 4) lignes de départ.

Une fois identifié, le traitement formel de ces groupes « marinés » est :

• X-Wing en ligne : étant donné un nombre n, si, sur deux lignes différentes, il n’apparaît comme candidat que sur deux colonnes, le supprimer comme candidat partout sur les deux colonnes ailleurs que sur les deux lignes.
• Swordfish en ligne : étant donné un nombre n, si, sur trois lignes différentes, il n’apparaît comme candidat que sur trois colonnes, le supprimer comme candidat partout sur les trois colonnes ailleurs que sur les trois lignes.
• Jellyfish en ligne : étant donné un nombre n, si, sur quatre lignes différentes, il n’apparaît comme candidat que sur quatre colonnes, le supprimer comme candidat partout sur les quatre colonnes ailleurs que sur les quatre lignes.

Il existe bien entendu les règles homologues X-Wing en colonne, Swordfish en colonne et Jellyfish en colonne, dont l’énoncé est obtenu à partir des précédents en permutant les mots « ligne » et « colonne ».

Nota bene : il n’existe pas de règle homologue pour les blocs.

Symétries généralisées et tableau de résolution étendu

Dans The Hidden Logic of Sudoku^[16], basé sur une formalisation logique systématique du jeu, toutes ses symétries généralisées ont été explicitées, en particulier entre les lignes et les nombres, entre les colonnes et les nombres et entre les blocs et les nombres. Une nouvelle méthode de résolution a été développée, basée sur leur exploitation systématique. Les espaces rn, cn et bn (complémentaires de l’espace usuel rc) ont ainsi été introduits (p. 35 de la première édition). Une grille de résolution étendue a été conçue, qui fait apparaître les liens de conjugaison comme des cases (de l’espace rc, rn, cn ou bn) à deux candidats et peut faciliter l’application de la méthode. De la sorte, les sous-ensembles cachés, ainsi que les X-wings, Swordfish et Jellysfish, apparaissent tous comme de simples Paires, Triplets ou Quadruplets. Dans un cadre général pour traiter des chaînes, ces symétries ont été utilisées pour introduire de nouvelles règles de résolution, comme les chaînes xy cachées et ultérieurement les chaînes nrczt. Cette méthode a été implémentée dans un solveur, SudoRules, basé sur des techniques d’Intelligence Artificielle et simulant un joueur humain.

Figures plus complexes : chaînes

Quand les techniques d’élimination de candidats basées sur des figures (ou patterns) simples ne suffisent pas, il faut recourir à des figures plus complexes, par exemple les chaînes. Une chaîne simple est une suite de candidats tels que chacun est lié au précédent. On peut définir plusieurs types de chaînes, qui peuvent tous être considérés comme des généralisations d’un unique type de base, la chaîne xy.

chaînes xy

Une « chaîne xy » de longueur n a 2n candidats groupés par 2 dans n cellules bivaluées (c’est-à-dire ayant chacune exactement 2 candidats).

Exemple de chaîne xy de longueur 4 : {a b} - {b c} - {c d} - {d a}. Un « {... } » symbolise le contenu d’une cellule (i.e. l’ensemble de ses candidats) et un « - » symbolise que les cellules de chaque côté sont liées (i.e. différentes mais sur la même ligne, la même colonne ou dans le même bloc).

Il est très facile de voir, par l’absurde, que tout nombre a dans une cellule n’appartenant pas à la chaîne mais liée à la fois à la première et à la dernière cellules de la chaîne peut être éliminé : si a était vrai dans cette cellule « cible », alors a serait faux dans la première cellule de la chaîne, dont la valeur ne pourrait donc être que b ; mais alors b serait faux dans la deuxième cellule, dont la valeur ne pourrait donc être que c ; … ; on arriverait ainsi à la conclusion que la valeur de la dernière cellule de la chaîne ne pourrait être que a ; ce qui serait contradictoire avec le fait que a soit la valeur de la cellule cible.

Quand on a compris les chaînes xy et ce raisonnement, on a compris la logique inhérente à tous les types de chaînes.

Généralisations des chaînes xy : chaînes d'ALS et chaînes nrczt

Parmi les généralisations logiques « naturelles » des chaînes xy, on a :

- les chaînes d’ALS (Almost Locked Sets), les plus anciennes et de loin les plus utilisées par les joueurs sur les forums de Sudoku ; un maillon de ces chaînes n’est plus un candidat mais un ALS (Almost Locked Sets), c’est-à-dire un ensemble de k cellules (sur une même ligne, une même colonne ou dans un même bloc) dont les candidats appartiennent à un ensemble de k+1 nombres ;

- les chaînes xyt, xyz et xyzt ainsi que leurs homologues « cachés » dans les espaces rn, cn et bn (définies dans la première édition de The Hidden Logic of Sudoku) ; les chaînes nrczt, ou chaînes supersymétriques, qui généralisent les précédentes en combinant toutes les cellules des espaces rc, rn, cn et bn (définies dans la seconde édition de The Hidden Logic of Sudoku^[16])) ;

- une combinaison des deux, dont on peut trouver de nombreux exemples sur le forum sudoku-factory.

Règles résultant de l'hypothèse d'unicité

On exige en général d’un puzzle, qu’on dit alors bien formé, qu’il ait une solution et une seule. De toute évidence, cette exigence concerne d’abord le créateur de puzzles.

L’exigence qu’il y ait une solution ne pose pas de problème pour le joueur. Si elle n’est pas satisfaite par le créateur, le joueur pourra en général montrer la contradiction. Les règles mentionnées ci-dessus doivent en réalité s’interpréter de manière un peu plus subtile que sous la forme (usuelle) où elles ont été énoncées. La véritable interprétation est : « s’il y a une solution et si le candidat C est vrai, alors on a une contradiction ». D’où l’on conclut « s’il y a une solution, alors C est faux », et on élimine C des candidats. De cette manière, si le puzzle est contradictoire, on est certain qu’on ne trouvera pas de solution.

L’exigence d’unicité est plus délicate. Elle s’impose au créateur, mais le joueur ne peut d’aucune façon la contrôler. En pratique, cela signifie que, si un puzzle qui a plusieurs solutions est proposé mais que le joueur applique des règles découlant de l’hypothèse d’unicité, il peut faire ainsi des éliminations non justifiées (et rater des solutions alternatives ou aboutir à une situation où il croit qu’il n’y a pas de solution). Ce problème tend à disparaître en pratique car les créateurs de puzzles vérifient désormais plus sérieusement l’unicité.

Le principe du rectangle interdit

Considérons quatre cellules formant un rectangle s’étalant sur deux lignes, deux colonnes et seulement deux blocs. Si le contenu de ces quatre cellules est :

ab ab

ab ab

alors pour toute solution du puzzle ayant les valeurs

a b

b a

pour les cellules de ce rectangle, il existe une autre solution ayant les valeurs

b a

a b

et le puzzle ne peut donc avoir une solution unique.

La configuration initiale s’appelle rectangle interdit. À partir de là, on peut définir plusieurs règles visant à empêcher que cette situation se produise. Ces règles ne sont valables que sous l’hypothèse d’unicité.

Exemples de règle reposant sur l'exploitation du rectangle interdit

Règle UR1 : dans la configuration (où les quatre cellules forment un rectangle s’étalant sur deux lignes, deux colonnes et seulement deux blocs) :

ab ab

ab abc

éliminer a et b de la dernière cellule.

Règle UR2-H : dans la configuration (où les quatre cellules forment un rectangle s’étalant sur deux lignes, deux colonnes et seulement deux blocs) :

ab abc

ab abc

où les deux cellules de droite sont dans le même bloc, éliminer c de toute autre cellule liée aux deux cellules de droite.

Il existe de nombreuses variantes de ces règles.

Classification des puzzles

Il n’existe pas de classification universelle des différents puzzles : toute classification repose sur le choix d’un ensemble de méthodes de résolution. On peut cependant distinguer les classifications à large couverture (SER, SXT, NRCZT, etc.) et les classifications en quatre ou cinq niveaux (de « simple » à « diabolique »), comme ceux qui sont publiés dans les journaux. Ces dernières ne couvrent en général que des puzzles relativement simples, de SER ne dépassant pas 5 ou 6.

Il faut noter que chaque classification n’a de valeur qu’indicative et que, pour un joueur, deux puzzles ayant la même valeur dans une classification peuvent présenter des difficultés très différentes.

Préambule sur les puzzles minimaux et les statistiques de classification des puzzles

Une notion générale très utile d’un point de vue théorique est celle de puzzle minimal. Un puzzle est dit minimal (ou, plus rarement, « localement minimal ») s’il a une solution unique et si, chaque fois qu’on essaie de lui ôter un dévoilé, le puzzle obtenu (qui a toujours évidemment au moins une solution) se retrouve avoir plusieurs solutions.

Quand on veut faire des statistiques sur la classification des puzzles, il faut toujours se référer à des ensembles de puzzles minimaux, faute de quoi ces statistiques n’ont pas grand sens : en effet, en ajoutant autant de dévoilés qu’on veut, choisis parmi ses valeurs solutions, à un puzzle minimal, on peut obtenir de très nombreux puzzles qui auront évidemment la même solution, la plupart étant triviaux à résoudre.

À noter qu’il est très facile et rapide de générer par ordinateur des ensembles aléatoires de milliers de puzzles minimaux (avec, par exemple, le logiciel libre suexg. (Pour plus de détails sur la création de puzzles, voir plus loin).

La minimalité est une exigence annexe parfois attendue du créateur de puzzles. Elle est sans effet pour le joueur. Cependant elle peut être difficile à concilier avec d’autres exigences annexes, comme des exigences esthétiques, par exemple de symétrie, à savoir que les dévoilés se situent dans un ensemble de cellules présentant une certaine forme de symétrie. Il est plus difficile de générer des puzzles qui à la fois soient minimaux et aient certaines symétries (en particulier, suexg ne le fait pas).

Au cours de l'année 2008, il est apparu que les générateurs classiques de puzzles minimaux, qu'ils soient "bottom-up" ou "top-down" (c-à-d qu'ils partent d'une grille vide et la remplissent petit à petit ou qu'ils partent d'une grille complète et éliminent des indices un par un) étaient tous fortement biaisés en faveur de puzzles avec peu d'indices. Une nouvelle sorte de générateurs a été introduite: les générateurs à biais contrôlé. Eux aussi sont biaisés mais leur biais est connu et peut donc être corrigé. Voir le livre Constraint Resolution Theories^[27] ou l'article disponible sur le site de son auteur Unbiased Statistics of a CSP - A Controlled-Bias Generator'^[28]

SER (Sudoku Explainer Rating)

Le SER (Sudoku Explainer Rating) est de loin la classification la plus utilisée. Sudoku Explainer est un logiciel libre (en java), développé par Nicolas Juillerat et téléchargeable sur le web. Il peut être utilisé pour résoudre des puzzles mais aussi pour produire une estimation de leur difficulté, nommée leur SER. Celui-ci prend des valeurs de 1 à 11,7 (valeur maximale connue à ce jour).

Les règles qu’il utilise (dont certaines reposent sur l’hypothèse d’unicité) sont passablement hétérogènes et les valeurs affectées passablement ad hoc. À titre d’illustration, voici les niveaux associées à quelques-unes des règles définies plus haut.

• 1.0 à 2.3 Divers singletons
• 3.0 Paires Nues
• 3.4 Paires Cachées
• 3.6 Triplets Nus
• 3.8 Swordfish
• 4.0 Triplets Cachés
• 5.0 Quadruplets Nus
• 5.2 Jellyfish
• 5.4 Quadruplets Cachés
• 11.6 Dynamic + Dynamic Forcing Chains (145-192 nodes) Cell Forcing Chains
• 11.7 Dynamic + Dynamic Forcing Chains (193-288 nodes) Double Forcing Chains

Ces Dynamic Forcing Chains sont une forme d’essais et erreurs.

Classification NRCZT

Cette classification, définie dans The Hidden Logic of Sudoku^[16], est basée sur la longueur maximale de la chaîne nrczt nécessaire pour résoudre un puzzle. Contrairement au SER, un seul type de règle (les chaînes nrczt de diverses longueurs) est ici utilisé et cette classification, purement logique, indépendante de l’hypothèse d’unicité et indépendante de toute implémentation, est compatible avec toutes les symétries du jeu.

Bien que reposant sur des règles qui sont donc fort différentes de celles à la base du SER, cette classification est étroitement corrélée à celui-ci : une étude faite sur 10 000 puzzles minimaux différents (obtenus avec le générateur pseudo-aléatoire suexg) donne un coefficient de corrélation de 0,89. Cela signifie que ces deux classifications saisissent effectivement un aspect important de ce qui fait la complexité d’un puzzle.

Statistiques de la classification nrczt

Les statistiques de la classification nrczt sont publiées - dans deux livres: The Hidden Logic of Sudoku^[16] et Constraint Resolution Theories^[27] - et dans deux articles: From Constraints to Resolution Rules, Part II: chains, braids, confluence and T&E^[29] (sur la base de 10 000 puzzles minimaux aléatoires) et Unbiased Statistics of a CSP - A Controlled-Bias Generator'^[28]. Les valeurs suivantes sont basées sur le nouveau générateur à biais contrôlé (et sur plusieurs millions de puzzles minimaux aléatoires) et sont non biaisées.

La répartition en pourcentage par niveaux nrczt se fait ainsi :

• niveau 0 : 29,17
• niveau 1 : 8,44
• niveau 2 : 12,61
• niveau 3 : 22,26
• niveau 4 : 21,39
• niveau 5 : 4,67
• niveau 6 : 1,07
• niveau 7 : 0,29
• niveau 8 : 0,072
• niveau 9 : 0,020
• niveau 10 : 0,0055
• niveau 11 : 0,0015

Sachant que la complexité effective d’un puzzle croît de manière quasi exponentielle avec son SER ou son NRCZT, ces chiffres montrent que :

1) une très grande majorité des puzzles peut se résoudre par des techniques relativement simples (ici, des chaînes courtes) ;

2) il reste malgré tout des puzzles de très grande complexité, ce qui justifie que les joueurs experts recherchent en permanence de nouvelles règles qui permettraient de simplifier les solutions obtenues avec les règles connues à ce jour ;

3) les puzzles exceptionnellement complexes (comme le fameux Easter Monster^[30]) ont très peu de chances d’être trouvés par un générateur aléatoire et certains joueurs essaient en permanence de créer de nouveaux exemples « à la main ».

Résultats collatéraux : la technique des générateurs à biais contrôlé permet aussi d'estimer le nombre de puzzles minimaux (3,10x10^37) ainsi que le nombre de puzzles minimaux non équivalents (2,55x10^25).

Classifications des puzzles « grand public »

La plupart des auteurs des manuels sur le sudoku sont d’accord sur le fait que plusieurs facteurs influent sur la difficulté de ces problèmes dont l’équation de base tient compte modulo une certaine pondération :

• du nombre de cellules à remplir ;
• du nombre de cellules remplies par élimination ;
• du nombre de groupes indépendants de multiples numériquement liés, traitables suivant une seule dimension ; région, ligne ou colonne ;
• du nombre de groupes indépendants de multiples numériquement liés, traitables suivant deux dimensions à la fois ; région × ligne, région × colonne ou colonne × ligne ;
• du nombre de groupes indépendants de multiples numériquement liés, traitables suivant les trois dimensions à la fois ; région × ligne × colonne;
• du nombre d’hypothèses à faire en cas de blocage momentané ;
• du nombre d’itérations de l’heuristique de résolution ;
• du nombre de recherches à faire pour compléter la grille.

Cependant, cette question de difficulté fait toujours l’objet de nombreux débats dans les forums sur le sudoku, car elle est liée aux concepts et représentations visuelles que chacun est prêt à adopter. Mais elle peut être complètement élucidée si l'on hiérarchise, du simple au complexe, les techniques et procédés que l'on peut utiliser pour réussir une grille, et si l'on considère notre manière de jouer (observer certaines règles d'handicap, comme par exemple la résolution intégrale par raisonnement mental uniquement, ou l'interdiction absolue de reproduire la grille-problème en plusieurs grilles en faisant des hypothèses, etc).

Mais, il ne faut pas confondre « le niveau du joueur » avec « le degré de difficulté d’une grille ». Certains joueurs sont capables de réussir une grille en raisonnant mentalement, sans écrire de multiples dans les cases qui ne reçoivent par la suite, chacune, que le bon chiffre, alors que d’autres peinent avec des cases présentant plusieurs candidats, ou avec plusieurs grilles provenant des hypothèses gratuitement émises, ou élaborées selon les catégories ( lignes, colonnes et régions) dont la grille-conjointe par exemple, qui englobe en fait un certain tableau étendu de résolution. C’est pourquoi on préfère classer les grilles-problèmes en cinq types, au sein desquels, on retrouve différents niveaux de difficulté :

Type 1

Utilisation des techniques simples dont « la recherche de la bonne case pour un chiffre et une région donnés » par réduction par croix, et « la recherche, du bon chiffre pour une cellule donnée », par décompte, bien que cette dernière soit un peu plus fastidieuse que la première. En principe, pour ce type de grilles, le raisonnement se fait mentalement, sans que l’on soit obligé d’inscrire les candidats éventuels dans une cellule donnée, et le remplissage de la grille se fait progressivement en suivant l’une des innombrables pistes ou enchaînements qui se présentent. C’est ce type de grilles que vous trouvez fréquemment dans les sites, journaux et magazines ou générées par des logiciels, classant à tort certaines d’entre elles, dans la catégorie des « difficiles » ou même « diaboliques » ! La raison en est qu’il existe une classe de grilles de type 1, vraiment difficile à réussir par calcul mental. Et donc, ne sous-estimez pas les grilles de type 1 : il y en a des « faciles », « moyennes » et même « difficiles ».

Type 2

Utilisation des techniques permettant le traitement des cellules-à-candidats-multiples selon une seule dimension ; ligne, colonne ou région, dont « l’élimination à cause des paires nues », « le dégraissage des candidats cachés » et « le dégraissage des paires camouflées ». Certaines grilles de type 2 peuvent être réussies, comme pour le type 1, mentalement. D’autres, d’un niveau supérieur, nécessitent que l’on inscrive, au fur et à mesure, les candidats dans les cellules d’une région, une ligne ou une colonne, sans toutefois le faire pour toutes les cellules vides, et voir si l’on peut simplifier les multiples par l’une des trois techniques précédentes. Les plus difficiles des grilles de ce type 2 ne se prêtent pas à la résolution qu’une fois toutes les cellules contiennent leurs candidats probables. Dans ce cas, il faut essayer d’arriver à la situation optimale de la grille : dans chaque catégorie (ligne, colonne et région), les groupes des « multiples numériquement liés » doivent être « indépendants». D’autres techniques simples de traitement selon une seule dimension peuvent être utilisées, dont « l’élimination à cause des triplets nus » et « le dégraissage des triplets camouflés ». Cette dernière est plus pénible à faire ! On pourra également éliminer certains chiffres par une technique simple de traitement, cette fois-ci, à deux dimensions ligne × région ou colonne × région : « la répartition d’un blocs en quatre domaines complémentaires ou alternés ». Donc, si vous optez pour un exercice mental, ce type de grilles vous propose de bien difficiles. Et si vous vous permettez d’inscrire les multiples dans les cellules, vous avez là de très beaux exercices d’entraînement sur la stratégie de traitement des « groupes indépendants de multiples numériquement liés ».

Type 3

Utilisation des techniques permettant la simplification des cellules-à-candidats-multiples, d’abord comme pour le type 2, selon une seule dimension ; ligne, colonne ou région, mais avec une taille plus grande dont « l’élimination à cause des quadruplets et quintuples nus » et «le dégraissage des quadruplets et quintuples cachés ». Procéder par cette dernière technique, qui est d’ailleurs plus fastidieuse à mener, c’est en fait utiliser « l’élimination à cause d’un ou de deux groupes nus » mais de taille inférieure !

Certaines grilles de type 3 nécessitent un traitement selon deux dimensions (lignes × colonnes, lignes × régions et/ou colonnes × régions) en utilisant des procédés beaucoup plus astucieux, mais justifiables dont X-Wing, Swordfish, Jellyfish, Squirmbag ou la TPU, la technique découlant du « principe de l’unicité de la solution ». Donc pour ce type de grilles, il ne faut pas espérer aboutir à la solution rien qu’en raisonnant mentalement, sans avoir dorénavant mis tous les candidats possibles dans toutes les cellules. Trois degrés de difficulté sont possibles, selon la taille des groupes nus ou camouflés, mais aussi selon leur nombre.

Type 4

La stratégie adoptée pour les grilles de ce type, présentant des cas de figures plus complexes, consiste à prendre en considération simultanément les trois dimensions (lignes × colonnes × régions). Il faut donc pouvoir « sauter » d’une région à une autre, à travers les cases, en utilisant des « passerelles » matérialisées soit par une ligne, une colonne ou une région. Bref, il faut se créer des « chemins » entre les différentes cases. Ainsi, on reconnaîtra des procédés similaires à ceux déjà utilisés par traitement à deux dimensions dont le X-Wing par exemple (les sommets ne sont plus ceux d’un rectangle, mais parmi ceux d’un polygone). Précisons que cette stratégie est basée sur la logique bivalente (pour un chiffre N fixé et une case donnée de multiples, p : « N est la valeur » ou non(p) : « N n’est pas la valeur »).

Vu d’un certain angle, il s’agit de superposer deux ou plusieurs grilles sur la même grille-problème initiale, de faire une conjugaison logique des différentes propositions (concrétisées par des chemins) et de déterminer celles des grilles qui aboutissent à une contradiction avec l’une des règles qui régissent le jeu sudoku, pour découvrir la bonne solution. C’est donc comme si l’on procède par formulation par hypothèse, mais d’une manière détournée ! Il faut avouer que cette manière de faire procure plus de plaisir à jouer et à appliquer des procédés que d’émettre des hypothèses pour obtenir des grilles « pauvres » au niveau intellectuel ! Utilisez des crayons de couleur. Ceux qui sont déjà initiés à cette technique reconnaîtront des grilles faciles, moyennes et même difficiles.

Type 5

Certains journaux, magazines, sites et logiciels nous livrent des grilles dites « diaboliques ». Le plus souvent, il n’en est rien de telles ! Ces grilles peuvent être résolues par les techniques mises au point jusqu’à ce jour. Une grande majorité peut être remplie « mentalement » même !

Bref, une définition s’impose : une grille diabolique est celle qui ne peut être résolue par aucun des procédés mis au point jusqu’à ce jour, sauf par la formulation d’une ou de plusieurs hypothèses sur les chiffres à mettre dans une ou plusieurs cases. Bien entendu, l’unicité de la solution pour la grille est requise.

Désormais, c’est le seul moyen pour aboutir à la solution, en attendant l’élaboration de nouveaux procédés « manuels ».

Signalons enfin, qu’au niveau de la construction des grilles-problèmes, il est fréquemment plus facile d’obtenir une grille de type 1, et presque rare de tomber sur une grille de type 4 ou 5. Les logiciels élaborés jusqu’à ce jour partent bien sûr des différents procédés de résolution, pour fabriquer un problème, mais le niveau souhaité baisse, hélas, généralement d’un ou même de deux degrés ! Statistiquement, on relève que la distribution de la fréquence par type tourne autour de 46 %, 32 %, 11 %, 8 % et 3 %, du premier type au cinquième.

Informatique et Sudoku

Solutions logicielles

Pour un informaticien, programmer la recherche d’une solution par le biais des contingences ou de multiples contingences (tel qu’exigé pour les problèmes les plus difficiles) est une tâche relativement simple. Un tel programme imite un joueur humain qui recherche une solution sans recourir au hasard.

Il est aussi relativement simple de concevoir un algorithme de recherche par backtracking. De façon habituelle, il suffit à l’algorithme de choisir 1 pour la première cellule, puis 2 pour la prochaine, ainsi de suite tant qu’aucune contradiction n’apparaît. Lorsqu’une contradiction apparaît, l’algorithme essaie une autre valeur pour la cellule qui amène la contradiction. Une fois toutes les possibilités épuisées pour cette cellule, l’algorithme « revient sur ses pas » et recommence avec l’avant-dernière cellule.

Bien que cet algorithme ne soit pas très élégant, il est certain de trouver une solution s’il en existe. Une grille 9×9 est habituellement résolue en moins de trois secondes avec un ordinateur personnel moderne qui a recours à un interpréteur, et en quelques millisecondes avec un langage compilé. Cependant, il existe des grilles qui sont particulièrement difficiles à résoudre par backtracking (voir (en) Algorithmics of Sudoku#Solving Sudokus by a brute-force algorithm).

Une implémentation alternative du backtracking est de recourir à la programmation logique, telle qu’implantée dans Prolog. Dans ce cas, le concepteur fournit au programme les contraintes de la grille (un chiffre par rangée, par colonne et par région ; les chiffres dévoilés) ; ce programme prendra les décisions pour résoudre le problème. Si l’on admet que la grille a une solution unique, la recherche est certaine d’aboutir.

Donald Knuth a mis au point un algorithme qui fait appel aux listes doublement chaînées (les dancing links^[31]), et qui se révèle très efficace pour résoudre ce type de sudokus en quelques millisecondes.

Une autre solution, proposée en 2007 par le chercheur en méthodes formelles Nicolas RAPIN, consiste à utiliser la structure de diagramme de décision binaire (BDD en abrégé) pour résoudre et représenter au sein d'une structure unique l'espace des solutions d'une grille. L'idée consiste à modéliser la présence du chiffre k en ligne i, colonne j, par la variable booléenne nommée x_i_j_k en prenant pour convention que la valeur vrai de cette variable représente la présence du chiffre k en ligne i, colonne j et la valeur faux son absence. Il faut donc 9x9x9 variables booléennes pour modéliser une grille de sudoku 9x9. Les contraintes inhérentes au sudoku peuvent alors être écrites directement sous la forme de formules booléennes et passées à une librairie de BDD. Cette approche présente l'avantage de pouvoir résoudre non seulement des grilles de sudoku bien formées (ayant une seule solution) mais aussi d'énumérer toutes les solutions de grilles mal formées ayant plusieurs solutions (les solutions étant données par les chemins du diagramme menant à la feuille 1) ou encore de prouver qu'une grille mal formée ne présente aucune solution. Cette méthode peut donc être utile pour la résolution, l'élaboration et la validation de grilles. En posant que → dénote l'implication logique, ! la négation et V la disjonction, voici un exemple de contrainte de région: x_1_1_1 → ! (x_1_2_1 V x_1_3_1 V x_2_1_1 V x_2_2_1 V x_2_3_1 V x_3_1_1 V x_3_2_1 V x_3_3_1). En langage naturel cette expression signifie : si le chiffre 1 est présent en ligne 1, colonne 1, alors il n'est pas présent ailleurs dans sa région. Les contraintes de colonne sont de la forme x_i_j_k → ! ( x_h_j_k), celles de ligne de la forme x_i_j_k → ! ( x_i_h_k) et celle de présence d'un chiffre pour toute case i,j de la forme x_i_j_h. Pour les cases remplies de la grille, les contraintes implicatives ci-dessus (région, ligne, colonne) se réduisent à la disjonction de droite puisque l'antécédent est vrai. Lors de la mise en œuvre de cette solution, on observe que l'efficacité générale est très sensible à l'ordre dans lequel les contraintes sont passées à la librairie de construction du BDD. Sur un pc standard (1.6 Ghz, 1 Go de Ram) la durée de résolution de grilles bien formées se situe entre 1s et 2min30s (selon les grilles).

Il existe aussi de nombreux programmes librement disponibles sur le web, basés sur l’implémentation de règles utilisées par les joueurs : Sudocue, Sudoku Explainer, Sudoku Susser, Sudoktor, Sadman, le solveur de gsf. Le programme SudoRules, non public, est basé sur des techniques d’Intelligence Artificielle.

Construction de grilles

Il semblerait que les grilles de Dell Magazines, le pionnier dans le domaine de la publication, soient générées par ordinateur. Elles sont habituellement composées de 30 chiffres dévoilés répartis au hasard. L’auteur des grilles est inconnu. Durant l’hiver 2000, Wei-Hwa Huang a affirmé qu’il était l’auteur du programme qui crée ces grilles ; selon lui, les grilles antérieures étaient construites à la main. Le générateur serait écrit en C++ et, bien qu’il offre certaines options pour satisfaire le marché japonais (symétrie et moins de chiffres), Dell préfère ne pas les utiliser. Certains spéculent que Dell continue à utiliser ce programme, mais aucune preuve ne soutient leur affirmation.

Les sudoku de Nikoli, important créateur de sudoku au Japon, sont construits à la main, le nom de l’auteur apparaissant avec chaque grille publiée ; les dévoilés sont toujours présentés de façon symétrique. Cet exploit est possible en connaissant à l’avance l’endroit où seront les dévoilés et en affectant par la suite un chiffre aux cellules ainsi choisies. Le Number Place Challenger de Dell affiche aussi le nom de l’auteur. Les grilles publiées dans la plupart des journaux britanniques seraient générées automatiquement, mais font appel à la symétrie, ce qui laisserait sous-entendre qu’un humain les crée. The Guardian affirme que ses grilles sont créées à la main par des Japonais, mais aucune mention de l’auteur n’est faite. Elles seraient construites par des gens de Nikoli. The Guardian a affirmé que puisqu’ils sont construits à la main, ils contiennent de « subtiles allusions » hautement improbables dans les grilles construites par ordinateur.

Il est possible de construire des grilles avec de multiples solutions ou sans solution, mais celles-ci ne sont pas considérées comme d’authentiques sudoku. Comme pour les autres jeux logiques, une solution unique est requise. Une grande attention est donc nécessaire lors de la construction d’une grille, puisqu’un seul chiffre mal placé risque de rendre la résolution de celle-ci impossible.

Le logiciel libre (suexg) permettant de construire des puzzles minimaux (plusieurs dizaines à la seconde) est disponible sur le Web.

La minimalité est une exigence annexe parfois attendue du créateur de puzzles, bien qu’elle soit sans effet pour le joueur. Elle peut être difficile à concilier avec d’autres exigences annexes, comme des exigences esthétiques, par exemple de symétrie, à savoir que les dévoilés se situent dans un ensemble de cellules présentant une certaine forme de symétrie. Il est plus difficile de générer des puzzles qui à la fois soient minimaux et aient certaines symétries (en particulier, suexg ne le fait pas).

Notations

Au contraire des solutions données pour les grilles de Mots Croisés ou bien des Problèmes d'Échecs, les Solutions données pour les grilles de Sudoku ne sont pas satisfaisantes car elles ne donnent pas la méthode qui a conduit à la solution. Un système de notations conventionnelles permet de faire connaître les informations nécessaires à la résolution de la grille en minimisant le nombre de signes nécessaires ce qui est justement le propre d'une écriture fonctionnelle.

Proposition:

Les colonnes sont numérotées ABCDEFGHI. Les lignes sont numérotées de 123456789. Observons que les sens dans lequel sont faites ces indexations peuvent être pris comme on le veut dès lors que la donnée de la grille et la donnée de sa résolution observent le même repérage.

Le système de convention de notations qui peut être adopté est par exemple le suivant:

w se lit « seul chiffre possible dans cette case »

x se lit « seule case où ce chiffre peut se mettre »

= se lit « vaut forcément »

>> se lit « ce qui implique que  »

& se lit « joint au fait que »

159 se lit « les chiffres 1 et 5 et 9 pris en bloc »

(D6E6F6) se lit « forcément inclus dans les cases D6 et E6 et F6  »

)D6E6F6( se lit « forcément exclus des cases D6 et E6 et F6  »

§ se lit « étape suivante »

Enfin si on observe que la découverte d'un chiffre dans une case se fait toujours en se situant au moins dans une ligne, une colonne ou un carré 3x3, on peut convenir de toujours terminer une instruction en précisant dans lequel de ces ensembles on se situe.

On peut ainsi poser que:

la lettre g se lira « en considérant la ligne où on se trouve ,

la lettre q se lira « en considérant le carré 3x3 où on se trouve »

et enfin la lettre k se lira « en considérant la colonne où on se trouve ».

Dès lors on peut même se dispenser de la notation $ qui informe qu'on passe à l'instruction suivante.

Exemple

Grille donnée : A1=1§D1=4§E2=7§G2=8§A4=4§H4=1§I4=6§B5=5§ E5=3§A6=2§I6=4§C7=8§G7=7§H7=3§D8=2§F8=6§G9=5

Il s’agit d’un Sudoku difficile où 17 chiffres seulement sont donnés.

Résolution F5=4g §H6=5q §H9=6q §41(G3G8)>>G1=6 §2(E4F4)q>>G5=2xk § 8(H5I5)q>>8(B4B6)q>>A3=8q §7(H5I5)q&7(D9F9)q>>A8=7xk § 3(D9F9)>>A2=3xk §A7=5k §A5=6xk §A9=9 §B7=6q §4(G8H8)>>24(B9C9)>>I7=2q § 13(B8C8)>>I9=1q §37(D9F9)&42(B9C9)>>E9=8g §F1=8q §E8=5q §G3=1q §E7=4g § G8=4k §E6=1k §C5=1q §78(H5I5)q>>D5=9g §F7=9g §D7=1g §F2=1q §E3=6k § D6=6k §E1=9k §E4=2 §F3=2q §F4=5k §D4=8k §F6=7q § F9=3k §D9=7q §D3=3q §D2=5q §I1=3g §C2=6g §C1=5g §I3=5k § I5=7k §H5=8g §I8=8k §I2=9k §H8=9q §B6=8g §C9=2k § B9=4g §C3=4k §H2=4g §H1=2k §H3=7q §B1=7g §B2=2g § B3=9q §B8=1k §C8=3q §B4=3k §C4=7k §C6=9k §G4=9k §G6=3q

Observations

Comme dans tous les domaines où des notations affectées ont été introduites ( Mathématiques, Chimie, Musique, Échecs...) une notation des méthodes de résolution des grilles de Sudoku est intéressante car par exemple elle permet une reconnaissance des grilles c'est-à-dire, in fine, leur classification, de même que la notation introduite aux Échecs a permis une classification des débuts de parties.

En effet une grille de Sudoku étant donnée elle peut en générer plusieurs autres par l'une quelconque des symétries ou des rotations qui échangent un carré en lui même, ou par une permutation quelconque de ses chiffres. Comme le nombre de permutations des dix chiffres de 0 à 9 s'élève à 3628800 on voit le grand nombre de grilles en fait identiques, qu'on peut engendrer à partir d'un seule.

Dans la résolution d'une grille de Sudoku on observe qu'il y a les cases d'affectation "évidente", et il y a les situations qui nécessitent un "déblocage", lesquelles sont ensuite suivies généralement d'une ou plusieurs affectations évidentes. Pour la classification des grilles de sudoku on pourrait alors se baser sur le nombre et le rang des déblocages nécessaires, lesquels, avec la notation proposée, sont repèrés par la présence de parenthèses. Ces déblocages eux mêmes sont classables selon qu'ils portent sur deux, trois ou quatre cases.

Voir aussi

Bibliographie

• Narendra Jussien, Précis de Sudoku, Hermès Lavoisier, 2006, 188 pages (ISBN 2-7462-1559-4).
• Denis Berthier, The Hidden Logic of Sudoku, Lulu Publishers ; 1^re édition, mai 2007, 384 pages (ISBN 978-1-84753-472-9) ; deuxième édition, novembre 2007, 416 pages (ISBN 978-1-84799-214-7).
• Denis Berthier, Constraint Resolution Theories, Lulu Publishers, Octobre 2011, 308 pages (ISBN 978-1-4478-6888-0).
• « Le tsunami du sudoku », Pour la Science, n^o 338, décembre 2005, p. 144.
• Denis Berthier, From Constraints to Resolution Rules, Part I: Conceptual Framework, International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering (CISSE 08), December 5-13, 2008; re-publié comme chapitre du livre Advanced Techniques in Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010 (ISBN 9789094136599).
• Denis Berthier, From Constraints to Resolution Rules, Part II: chains, braids, confluence and T&E, International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering (CISSE 08), December 5-13, 2008; re-publié comme chapitre du livre Advanced Techniques in Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010 (ISBN 9789094136599).
• Denis Berthier, Unbiased Statistics of a CSP - A Controlled-Bias Generator, International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering (CISSE 09), December 4-12, 2009; re-publié comme chapitre du livre Innovations in Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010 (ISBN 97890481911133).

Notes et références

Articles connexes

• Résolution d'un sudoku
• Mathématiques du Sudoku

Hors origine japonaise

• Nombres fléchés
• Carré latin
• Énigmes géométriques.

Créateurs et éditeurs de jeux

• Michael Mepham
• Wayne Gould
• Nikoli
• Dell Magazines

Liens externes

• Catégorie Sudoku en ligne de l’annuaire dmoz
• (en) Sudopedia, site collaboratif de référence pour le sudoku.
• (en) Puzzle Japan, site d'astuces de résolution
• (en) Site de Wayne Gould Il a promu le sudoku. Le site contient aussi un forum sur les techniques de solution et la mathématique du Sudoku.
• (en) Page de Frazer Jarvis Contient des programmes, des données et un article rédigé avec Bertram Felgenhauer qui présente différents résultats.
• (en) Sudoku Coach - online aide (Flash Player requis)
• À propos de la soudaine popularité du sudoku au Royaume-Uni :
  • (en) « The puzzling popularity of Su Doku », BBC News, 22 avril 2005.
  • (en) « So You Thought Sudoku Came From the Land of the Rising Sun… », The Observer, 15 mai 2005.
• (fr) Exemple de résolution de sudoku en backtracking. Langage c.
• (fr) SudokNova Programme d'aide didactique et progressive à la résolution de Sudokus
• (fr) Sudoku
• (fr) Sudoku gratuit en ligne
• (fr) Sudoku, Kakuro et Samurai Sudoku

v · Akari (Light Up) 美術館 • Futoshiki 不等式 • Hashiwokakero 橋をかけろ • Hitori ひとりにしてくれ • Kakuro カックロ • Masyu ましゅ • Mojidoku • Mosaïku • Nurikabe ぬりかべ • Sangaku 算額 • Slither Link スリザーリンク • Sudoku 数独

• Portail des jeux