Produit tensoriel d'algèbres

Produit tensoriel d'algèbres

En mathématique, le produit tensoriel de deux algèbres est une nouvelle algèbre.

Définition

Soit R un anneau commutatif. Soient A,B deux R-algèbres (non nécessairement commutatives). On peut les considérer comme des R-modules et construire le produit tensoriel A\otimes_R B. On montre qu'il existe une loi de composition interne sur ce produit tensoriel uniquement déterminée par la règle

(a_1\otimes b_1).(a_2\otimes b_2)=(a_1a_2)\otimes (b_1b_2).

pour tous a_1, a_2\in A et b_1, b_2\in B. La structure de R-module plus cette loi de composition interne fait de A\otimes_R B une R-algèbre.

Il existe des homomorphismes de R-algèbres canoniques A\to A\otimes_R B, B\to A\otimes_R B définis respectivement par a\mapsto a\otimes 1 et b\mapsto 1\otimes b.

Ce produit tensoriel possède de plus une structure de A-algèbre à gauche lorsque A est commutatif, et une structure de B-algèbre à droite lorsque B est commutatif.


Exemples:

  • Produit tensoriel d'algèbres de matrices
  • Produit tensoriel d'algèbres centrales simples
  • R[T_1,\ldots, T_n]\otimes_R B=B[T_1,\ldots, T_n].

Propriété universelle

Lorsque A et B sont commutatifs, le produit tensoriel A\otimes_R B est leur somme catégorielle dans la catégorie des R-algèbres commutatives:

Si \phi: A\to C et \psi : B\to C sont des homomorphismes de R-algèbres commutatives, alors il existe un unique homomorphisme de R-algèbres \rho : A\otimes_R B\to C tel que \rho(a\otimes 1)=\phi(a) et \rho(1\otimes b)=\psi(b) pour tous a\in A, b\in B.

En géométrie algébrique, cette propriété universelle permet de définir le produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un même schéma affine.

Références

(en) S. Lang: Algebra, Springer, third edition 2002, XVI, §6.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Produit tensoriel d'algèbres de Wikipédia en français (auteurs)

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