Produit tensoriel de deux applications linéaires

Produit tensoriel de deux applications linéaires

Le produit tensoriel de deux applications linéaires est une construction qui à deux applications linéaires u d'un A-module E1 dans F1, et v d'un A-module E2 dans F2, associe une troisième application linéaire u \otimes v du produit tensoriel E_1 \otimes_A E_2 dans le produit tensoriel F_1 \otimes_A F_2.

Définition

On suppose dans cette partie que l'anneau d'opérateurs A des modules étudiés est commutatif. Avec les notations introduites en introduction, l'application suivante de E_1 \times E_2 dans F_1 \otimes_A F_2

(x,y) \mapsto u(x) \otimes v(y)

est une application A-bilinéaire. D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une application φ(u,v) de E_1 \otimes_A E_2 dans F_1 \otimes_A F_2 telle que :

\forall (x,y) \in E \times F, \varphi(u,v)(x \otimes y) = u(x) \otimes v(y)

En fait, l'application φ de l'espace \mathrm{Hom}_A\, (E_1, F_1) \times \mathrm{Hom}_A\, (E_2, F_2) dans le module \mathrm{Hom}_A \, (E_1 \otimes_A E_2, F_1 \otimes_A F_2) est bilinéaire, il existe donc une application \psi : \mathrm{Hom}_A\, (E_1, F_1) \otimes_A \mathrm{Hom}_A\, (E_2, F_2) \to \mathrm{Hom}_A \, (E_1 \otimes_A E_2, F_1 \otimes_A F_2) telle que :

\varphi(u,v) = \psi(u \otimes v) pour toutes applications A-linéaires u : E_1 \to F_1, v : E_2 \to F_2.

L'application ϕ(u,v) de E_1 \otimes_A E_2 dans F_1 \otimes_A F_2 s'appelle le produit tensoriel de u et v, et il se note dans la pratique u \otimes v. Attention, cette notation est abusive, car elle peut désigner deux objets de nature différente :

  • L'application A-linéaire φ(u,v)
  • L'élément du produit tensoriel \mathrm{Hom}_A\, (E_1, F_1) \otimes_A \mathrm{Hom}_A\, (E_2, F_2) qui n'est pas une application linéaire.

D'autant plus que ψ ne réalise pas systèmatiquement un isomorphisme de \mathrm{Hom}_A\, (E_1, F_1) \otimes_A \mathrm{Hom}_A\, (E_2, F_2) sur \mathrm{Hom}_A \, (E_1 \otimes_A E_2, F_1 \otimes_A F_2), si bien qu'il est impossible d'identifier les deux « u \otimes v ».

Néanmoins, quand tous les modules E1,E2,F1,F2 ont des bases finies (ce qui en particulier le cas lorsque l'on manipule des espaces vectoriels de dimension finie), alors ψ est un isomorphisme, et cela a bien un sens de confondre les deux notations u \otimes v.

Démonstration de ce résultat

Notons (a_{i,p_i}) une base de Ei pour i = 1 ou 2, et (b_{i,q_i}) une base de Fi pour i = 1 ou 2. Pour tout couple (p1,p2) on pose a_{p_1,p_2} = a_{1,p_1} \otimes a_{2,p_2}, la famille ainsi définie (a_{p_1,p_2})_{(p_1,p_2)} est une base du produit tensoriel E_1 \otimes_A E_2.

De manière analogue, on définit une base (b_{q_1,q_2})_{(q_1,q_2)} du produit tensoriel F_1 \otimes_A F_2.

Notons u_{p_i,q_i} l'application A-linéaire E_i \to F_i telle que u(a_{i,p_i}) = b_{i,q_i} et u(a_{i, p_i'}) = 0 pour p_i' \neq p_i.

Comme toutes les familles manipulées sont finies, la famille (u_{p_i,q_i})_{p_i,q_i} est une base du module \mathrm{Hom}_A \,(E_i,F_i) (attention, ce résultat a priori serait faux si la famille était infinie).

On définit u_{p_1,p_2,q_1,q_2} = u_{p_1,q_1} \otimes u_{p_2,q_2} l'élément de \mathrm{Hom}_A\, (E_1, F_1) \otimes_A \mathrm{Hom}_A\, (E_2, F_2). La famille (u_{p_1,p_2,q_1,q_2}) est une base finie de ce module.

Or l'image par ψ de u_{p_1,p_2,q_1,q_2} est l'application A-linéaire v_{p_1,p_2,q_1,q_2} définie de cette manière :

v_{p_1,p_2,q_1,q_2}(a_{p_1,p_2}) = b_{q_1,q_2}
v_{p_1,p_2,q_1,q_2}(a_{p_1',p_2'}) = 0 pour tout (p_1,p_2) \neq (p_1',p_2').
Il est clair que cette famille constitue une base du module \mathrm{Hom}_A \, (E_1 \otimes_A E_2, F_1 \otimes_A F_2). ψ envoie une base sur une base, c'est donc un A-isomorphisme.
 

Propriétés

  • Si E1,E2,F1,F2,G1,G2 sont six modules, et si on se donne des applications linéaires u_i : E_i \to F_i, v_i : F_i \to G_i, alors
(v_1 \circ u_1) \otimes (v_2 \circ u_2) = (v_1 \otimes v_2) \circ (u_1 \otimes u_2)
  • Si ui est un isomorphisme de Ei sur Fi et vi est l'isomorphisme réciproque, alors
u_1 \otimes u_2 est inversible et son inverse est v_1 \otimes v_2.
v · d · m
Les tenseurs en mathématiques et physique
Article général : Tenseur
Mathématiques Tenseur en mathématiques · Produit tensoriel · de deux modules · de deux applications linéaires · Algèbre tensorielle · Champ tensoriel · Espace tensoriel
Physique Convention de sommation d'Einstein · co/contravariant · Tenseur métrique · Tenseur énergie-impulsion · Tenseur de Riemann · de Ricci · d'Einstein · de Weyl · de Levi-Civita · de Killing · de Killing-Yano · de Bel-Robinson · de Cotton-York · Tenseur électromagnétique · Tenseur des contraintes · Tenseur des déformations
Articles connexes : Modules · Algèbre extérieure · connexion affine

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