- Produit tensoriel de deux applications linéaires
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Le produit tensoriel de deux applications linéaires est une construction qui à deux applications linéaires u d'un A-module E1 dans F1, et v d'un A-module E2 dans F2, associe une troisième application linéaire
du produit tensoriel
dans le produit tensoriel
.
Définition
On suppose dans cette partie que l'anneau d'opérateurs A des modules étudiés est commutatif. Avec les notations introduites en introduction, l'application suivante de
dans
est une application A-bilinéaire. D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une application φ(u,v) de
dans
telle que :
En fait, l'application φ de l'espace
dans le module
est bilinéaire, il existe donc une application
telle que :
-
pour toutes applications A-linéaires
,
.
L'application ϕ(u,v) de
dans
s'appelle le produit tensoriel de u et v, et il se note dans la pratique
. Attention, cette notation est abusive, car elle peut désigner deux objets de nature différente :
- L'application A-linéaire φ(u,v)
- L'élément du produit tensoriel
qui n'est pas une application linéaire.
D'autant plus que ψ ne réalise pas systèmatiquement un isomorphisme de
sur
, si bien qu'il est impossible d'identifier les deux «
».
Néanmoins, quand tous les modules E1,E2,F1,F2 ont des bases finies (ce qui en particulier le cas lorsque l'on manipule des espaces vectoriels de dimension finie), alors ψ est un isomorphisme, et cela a bien un sens de confondre les deux notations
.
Démonstration de ce résultatNotons
une base de Ei pour i = 1 ou 2, et
une base de Fi pour i = 1 ou 2. Pour tout couple (p1,p2) on pose
, la famille ainsi définie
est une base du produit tensoriel
.
De manière analogue, on définit une base
du produit tensoriel
.
Notons
l'application A-linéaire
telle que
et
pour
.
Comme toutes les familles manipulées sont finies, la famille
est une base du module
(attention, ce résultat a priori serait faux si la famille était infinie).
On définit
l'élément de
. La famille
est une base finie de ce module.
Or l'image par ψ de
est l'application A-linéaire
définie de cette manière :
-
pour tout
.
. ψ envoie une base sur une base, c'est donc un A-isomorphisme.
Propriétés
- Si E1,E2,F1,F2,G1,G2 sont six modules, et si on se donne des applications linéaires
,
, alors
- Si ui est un isomorphisme de Ei sur Fi et vi est l'isomorphisme réciproque, alors
-
est inversible et son inverse est
.
-
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