Nombre surreel et pseudo-reel

Nombre surreel et pseudo-reel

Nombre surréel et pseudo-réel

En mathématiques, les nombres surréels sont un corps qui inclut tous les nombres réels, ainsi que tous les ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif.

Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son livre Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Les nombres surréels : comment deux ex-étudiants se mirent aux mathématiques pures et trouvèrent le bonheur total)[1].

Les nombres pseudo-réels, également introduits par Knuth, sont un sur-ensemble des nombres surréels, construit avec des conditions plus faibles que ces derniers.

Sommaire

Nombres surréels

Présentation

La construction des nombres surréels est similaire à la construction des nombres réels via les coupures de Dedekind, mais utilise le concept de récurrence transfinie. Elle repose sur la construction de nouveaux nombres représentés grâce à deux ensembles de nombres déjà construits, L et R (pour left et right, gauche et droite), éventuellement vides. Le nouveau nombre ainsi construit, noté \left \{ L | R \right \}, sera plus grand que tout nombre de L et plus petit que tout nombre de R, selon un ordre qui sera défini plus loin. Pour que cela soit possible, on impose une restriction sur L et R : il faut que chaque nombre de L soit plus petit que chaque nombre de R.

Définition

Soient L et R deux ensembles de nombres surréels tels que :

Alors, \left \{ L | R \right \} est un nombre surréel.

Étant donné un nombre surréel X = \left \{ X_L | X_R \right \}, on appelle XL et XR l'ensemble de gauche et l'ensemble de droite de X, respectivement.

Pour éviter l'inflation d'accolades, on abrégera \left\{ \left\{X_{L_1}, X_{L_2}, \cdots \right\} | \left\{ X_{R_1},X_{R_2}, \cdots \right\} \right\} en \left\{ X_{L_1},X_{L_2},\cdots | X_{R_1},X_{R_2},\cdots \right\}, \left\{ \left\{ X_L \right\} | \emptyset \right\} en \left\{ X_L | \right\} et \left\{ \emptyset | \left\{ X_R \right\} \right\} en \left\{ | X_R \right\}.

On constate qu'il s'agit d'une définition récurrente ; ce point sera explicité plus tard.

Ordre

Pour que la définition ci-dessus ait un sens, il est nécessaire de définir une relation binaire (notée ≤) sur les nombres surréels.

Soient deux nombres surréels X = \left \{ X_L | X_R \right \} et Y = \left \{ Y_L | Y_R \right \}. X\le Y si et seulement si pour tout x\in X_L, on ne rencontre jamais Y\le x et si pour tout y\in Y_R, on n'a jamais y\le X.

Là encore, cette définition est récurrente.

Cette relation ne définit qu'un pré-ordre car elle n'est pas antisymétrique (on peut avoir X\le Y et Y\le X sans que X = Y, c'est le cas par exemple avec \left\{ | \right\} et \left\{ -1|1 \right\}). Pour contourner ce problème, on définit une nouvelle relation sur les nombres surréels :

X == Y \Leftrightarrow X \le Y \wedge Y \le X.

Il s'agit d'une relation d'équivalence et l'ordre induit par \le sur les classes d'équivalences est un ordre total, une classe d'équivalence pouvant alors être considérée comme un nombre unique.

Opérations

  • On définit l'addition de deux nombres surréels par :
X+Y = \left\{ X_L+Y \cup X+Y_L | X_R+Y \cup X+Y_R \right\}
avec A+Y = \left\{ a+Y / a\in A \right\} et X+B = \left\{ X+b / b\in B \right\}.
  • La négation :
-X = \left\{ -X_R | -X_L \right\}
avec -A = \left\{ -a / a\in A \right\}.
  • Quant à la multiplication de deux nombres surréels :
\begin{matrix} XY = & \left\{ (X_LY+XY_L-X_LY_L) \cup (X_RY+XY_R-X_RY_R) \right. \\ \ & | \left. (X_LY+XY_R-X_LY_R) \cup (X_RY+XY_L-X_RY_L) \right\} \end{matrix}
avec AB = \left\{ ab / a\in A \wedge b\in B \right\}.

Il est possible de montrer que ces opérations sont bien définies sur les nombres surréels. On peut les généraliser sans ambiguïté aux classes d'équivalence définie plus haut par :

  • Si [X] = [X'] et [Y] = [Y'], alors [X + Y] = [X' + Y'],
  • [ − X] = [ − X'] et
  • [XY] = [X'Y'].

Finalement, on peut montrer que ces opérations sur les classes d'équivalence définissent un corps ordonné, avec la mention qu'elles ne forment pas un ensemble, mais une classe propre. Il est possible de montrer qu'il s'agit du plus grand corps ordonné, c'est-à-dire que tout corps ordonné peut y être plongé.

À partir de maintenant, on ne fera plus la distinction entre un nombre surréel et sa classe d'équivalence et on appellera directement cette dernière nombre surréel.

Construction

On l'a vu, les deux définitions précédentes utilisent le principe de récurrence. Il est possible d'utiliser la récurrence ordinaire, mais il est plus intéressant de prendre en compte la récurrence transfinie.

Il est également nécessaire de créer un nombre surréel afin d'initier la récurrence ; \left\{ | \right\} peut être défini grâce à l'ensemble vide et répond à cette fonction.

Désignons par Nn, pour un ordinal n, l'ensemble des nombres surréels créés à l'étape n de la récurrence, en prenant N_0=\left\{ | \right\}. On appelle date de naissance d'un nombre surréel X le plus petit ordinal n tel que X \in N_n.

Les nombres surréels créés en un nombre fini d'étapes (par un raisonnement de récurrence ordinaire, donc) sont assimilés aux rationnels dyadiques (c'est-à-dire les nombres p / 2n où p et n sont entiers).

Exemples

On définit de proche en proche :

  • Les entiers :
0 = \left\{ | \right\}
1 = \left\{ 0 | \right\} et -1 = \left\{ | 0 \right\}
2 = 1+1 = \left\{ \left\{0,1\right\} | \right\}=\left\{ 1 | \right\} et -2 = \left\{ | -1 \right\}
\cdots
n+1 = \left\{ \left\{0,1,\cdots,n\right\} | \right\} = \left\{ n | \right\}.
  • Les nombres dyadiques :
{1 \over 2} = \left\{ 0 | 1 \right\}
{3 \over 2} = \left\{ 1 | 2 \right\}
{1 \over 4} = \left\{ 0 | {1 \over 2 } \right\}
\cdots
  • Les autres nombres rationnels, comme coupures entre deux ensembles de nombres dyadiques, de la même façon que les nombres irrationnels sont définis comme coupures entre rationnels.
  • Les infiniments grands :
\omega = \left\{ \left\{0,1,2,3,\cdots\right\} | \right\} = \left\{ \mathbb N | \right\} qui est plus grand que n'importe quel nombre entier
\omega + 1 = \left\{ \omega | \right\}
\omega^2 = \left\{ \left\{\omega, 2\omega, 3\omega, \cdots \right\} | \right\}
\omega^\omega = \left\{ \left\{\omega, \omega^2, \omega^3, \cdots \right\} | \right\}

Mais aussi de nouveaux objets qui ne sont pas des ordinaux, comme

\omega - 1 = \left\{\left\{0,1,2,3,\cdots\right\} | \omega \right\}
\omega - 2 = \left\{\left\{0,1,2,3,\cdots\right\} | \omega-1 \right\}
\omega/2 = \left\{\left\{0,1,2,3,\cdots\right\} | \left\{\omega,\omega-1,\omega-2,\cdots \right\}\right\}
  • Les infiniments petits :
\epsilon = \left\{ 0 | \left\{1, {1 \over 2}, {1 \over 3}, \cdots \right\} \right\} qui est strictement positif mais inférieur à tout 1 \over n, pour n entier positif.

On peut montrer que \epsilon \times \omega = 1.

Nombres pseudo-réels

On obtient les nombres pseudo-réels (pseudo-real numbers selon la terminologie de Knuth) au lieu des nombres surréels si on enlève la condition qu'aucun élément de l'ensemble de droite ne peut être inférieur où égal à un élément quelconque de l'ensemble de gauche. Les nombres surréels forment un sous-ensemble des nombres pseudo-réels.

Ces nombres pseudo-réels peuvent s'interpréter comme les valeurs de certains jeux. Ils sont à la base de la théorie combinatoire des jeux initiée par John Conway.

Voir aussi

Liens externes

Bibliographie

  • Donald Ervin Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness : A Mathematical Novelette, Addison-Wesley Professional (1974) - ISBN 0201038129
  • John Horton Conway, On Numbers And Games, deuxième édition, AK Peters (2001) - ISBN 1-56881-127-6.

Référence

  1. ↑ Donald Ervin Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness : A Mathematical Novelette, Addison-Wesley Professional (1974) - ISBN 0201038129
Notion de nombre
Ensembles usuels \mathbb{N} Entier naturel • \mathbb{Z} Entier relatif • \mathbb{D} Nombre décimal • \mathbb{Q} Nombre rationnel • \mathbb{R} Nombre réel • \mathbb{C} Nombre complexe Mathématiques
Extensions \mathbb{H} Quaternion • \mathbb{O} Octonion • \mathbb{S} Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • Nombre bicomplexe • Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • \mathbb{Q}_p Nombre p-adique • Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal • Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique • Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal • Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • i Unité imaginaire • e Constante de Neper • ℵ0 Aleph-zéro • Table de constantes mathématiques
Notions connexes Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Nombre surr%C3%A9el et pseudo-r%C3%A9el ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre surreel et pseudo-reel de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Nombre Surréel Et Pseudo-Réel — En mathématiques, les nombres surréels sont un corps qui inclut tous les nombres réels, ainsi que tous les ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n importe quel nombre réel positif. Les nombres… …   Wikipédia en Français

  • Nombre surréel et pseudo-réel — En mathématiques, les nombres surréels sont un corps qui inclut tous les nombres réels, ainsi que tous les ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n importe quel nombre réel positif. Les nombres… …   Wikipédia en Français

  • Nombre surréel —  Ne doit pas être confondu avec surréalisme. En mathématiques, les nombres surréels sont les éléments d un corps[1] qui inclut tous les nombres réels, ainsi que tous les ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et… …   Wikipédia en Français

  • Nombre pseudo-réel — En mathématiques, un nombre pseudo réel (terminologie introduite par Donald Knuth) est une généralisation des nombres surréels, correspondant à la suppression de la condition d ordre dans la définition de ces derniers. Les nombres pseudo réels… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Ordinal — En linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s appellent des adjectifs numéraux ordinaux qui servent à préciser le rang d un objet dans une collection ou l ordre d un événement dans une succession. Cette notion se… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Premier — 7 est un nombre premier car il admet exactement deux diviseurs positifs …   Wikipédia en Français

  • Nombre Réel — Les nombres réels (dont l ensemble est noté ℝ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu ils soient positifs, négatifs ou nuls,… …   Wikipédia en Français

  • Nombre reel — Nombre réel Les nombres réels (dont l ensemble est noté ℝ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu ils soient positifs, négatifs… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Complexe — Pour les articles homonymes, voir complexe. Les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Les nombres… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Imaginaire Pur — Cet article est un complément de nombre complexe. Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s écrit sous la forme ia avec a réel. Par exemple, i, i et 0 sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”