Pre-ordre

Pre-ordre

Pré-ordre

Un pré-ordre (ou préordre[1]) est une relation binaire réflexive et transitive.

C'est-à-dire, si E est un ensemble, alors {\mathcal R}\subseteq E\times E est un pré-ordre si et seulement si :

  • \forall x \in E, \quad (x,x)\in{\mathcal R} (réflexivité)
  • \forall (x, y, z) \in E^3 \quad \left[(x,y)\in {\mathcal R} \and (y,z)\in {\mathcal R} \implies (x,z)\in{\mathcal R}\right] (transitivité)

Un pré-ordre antisymétrique est un ordre.

Un pré-ordre symétrique est une relation d'équivalence.

Exemples

  • Sur les sommets d'un graphe orienté, la relation « être accessible depuis » est un pré-ordre (c'est en fait la fermeture réflexive et transitive du graphe). Si le graphe est sans cycle, cette relation devient un ordre.
  • Dans un anneau commutatif, la relation «divise» est une relation de préordre.

Compléments

Si E et F sont des ensembles préordonnés par des relations de préordre qu'on notera toutes deux ≤, une application f de E dans F est dite[2] croissante si, pour toute paire d'éléments (x,y) de E tels que x ≤ y, on a aussi f(x) ≤ f(y).

Dans un ensemble E préordonné par une relation de préordre ≤, la relation « x ≤ y et y ≤ x » est une relation d'équivalence. Pour deux éléments X et Y de l'ensemble quotient, les deux conditions suivantes reviennent au même :

  • pour tout élément x de X et tout élément y de Y, x ≤ y;
  • il existe un élément x de X et un élément y de Y tels que x ≤ y.

Ces conditions équivalentes constituent une relation d'ordre dans l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence « x ≤ y et y ≤ x »[3].

Notes et références

  1. ↑ N. Bourbaki, Théorie des ensembles, ch. III, § 1, n° 2, (Paris, Masson, 1998, p. 2 et 5) écrit «préordre» et «préordonné».
  2. ↑ N. Bourbaki, Théorie des ensembles, ch. III, § 1, n° 5, (Paris, Masson, 1998, p. 7).
  3. ↑ N. Bourbaki, Théorie des ensembles, ch. III, § 1, n° 2, (Paris, Masson, 1998, p. 3).
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