Coupure De Dedekind

Coupure de Dedekind

En mathématiques, une coupure de Dedekind d'un ensemble totalement ordonné $E$ est un couple $(A, B)$ de sous-ensembles de $E$ , lesquels forment à eux deux une partition de $E$ , et où tout élément de $A$ est inférieur à tout élément de $B$ .

D'une certaine façon, une telle coupure conceptualise quelque chose qui se trouverait « entre » $A$ et $B$ , mais qui ne serait pas forcément un élément de $E$ .

Les coupures de Dedekind furent introduites par Richard Dedekind comme moyen de construction de l'ensemble des nombres réels (en présentant de manière formelle ce qui se trouve « entre » les nombres rationnels).

Sommaire

1 Définition
2 Exemples
- 2.1 Construction des nombres réels
3 Ordre sur les coupures de Dedekind
4 Voir aussi

Définition

Une coupure de Dedekind d’un ensemble totalement ordonné $E$ se définit par un couple $(A, B)$ , où $A \subset E$ et $B \subset E$ , et tels que :

$A \ne \empty, B \ne \empty$
$A \cap B = \empty$
$A \cup B = E$
$\forall x \in A, \forall y \in B, x<y$
$A$ ne possède pas un plus grand élément.

Les points 1, 2 et 3 posent que $A$ et $B$ réalisent une partition de $E$ . Par conséquent, la définition de l'un détermine entièrement l'autre.

Le point 4 pose le partage des éléments de $E$ dans ces deux parties. Il est possible de montrer que ce point équivaut à :

$\forall x \in E, (a\in A \land x\le a \Rightarrow x\in A)$ et
$\forall y \in E, (b\in B \land y\ge b \Rightarrow y\in B)$ .

Le point 5 permet d'associer à chaque élément de E, une coupure de Dedekind unique. Ainsi, si $x \in E$ , on lui associe la coupure $( \{ a\in E | a < x \} , \{ b\in E | x \le b \} )$ , car il résulte de la définition que $( \{ a\in E | a \le x \} , \{ b\in E | x < b\} )$ n'est pas une coupure de Dedekind.

Exemples

Construction des nombres réels

Si $E=\mathbb Q$ , l'ensemble des nombres rationnels, on peut considérer la coupure suivante :

$A=\{a\in\mathbb Q | a^2<2\lor a\le 0 \}$

$B = \{ b\in\mathbb Q | b^2\ge 2\land b>0 \}$

Cette coupure permet de représenter le nombre irrationnel $\sqrt{2}$ qui est ici défini à la fois par l'ensemble des nombres rationnels qui lui sont inférieurs et par celui des nombres rationnels qui lui sont supérieurs.

La prise en compte de toutes les coupures de Dedekind sur $\mathbb Q$ permet une construction de l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ (voir l'article Construction des nombres réels).

Ordre sur les coupures de Dedekind

Soient $(A, B)$ et $(C, D)$ deux coupures de Dedekind de $E$ . On définit un ordre sur l'ensemble des coupures de Dedekind de $E$ en posant :

$(A,B)<(C,D) \Leftrightarrow A\subset C$ .

Il est possible de montrer que l'ensemble des coupures de Dedekind de $E$ muni de cet ordre possède la propriété de la borne supérieure, même si $E$ ne la possède pas. En plongeant $E$ dans cet ensemble, on le prolonge en un ensemble dont tout sous-ensemble possède une borne supérieure.

Voir aussi

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Coupure de Dedekind ».

Catégorie : Théorie des ordres

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Coupure De Dedekind de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

Coupure de dedekind — En mathématiques, une coupure de Dedekind d un ensemble totalement ordonné E est un couple (A,B) de sous ensembles de E, lesquels forment à eux deux une partition de E, et où tout élément de A est inférieur à tout élément de B. D une certaine… … Wikipédia en Français
Coupure de Dedekind — Dedekind introduit les coupures pour représenter les nombres irrationnels En mathématiques, une coupure de Dedekind d un ensemble totalement ordonné E est un couple (A,B) de sous ensembles de E, lesquels forment à eux deux un … Wikipédia en Français
Coupure — Cet article possède des paronymes, voir : coupe et coupage. Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres pro … Wikipédia en Français
DEDEKIND (R.) — Le mathématicien allemand Richard Dedekind est un des fondateurs de l’algèbre moderne. Sa théorie des idéaux, systématisation et rationalisation des « nombres idéaux» de Kummer, est en effet devenue l’outil essentiel pour étudier la divisibilité… … Encyclopédie Universelle
Coupures de Dedekind — Coupure de Dedekind En mathématiques, une coupure de Dedekind d un ensemble totalement ordonné E est un couple (A,B) de sous ensembles de E, lesquels forment à eux deux une partition de E, et où tout élément de A est inférieur à tout élément de B … Wikipédia en Français
Richard Dedekind — Naissance 6 octobre 1831 Brunswick … Wikipédia en Français
Schnitt — Coupure de Dedekind En mathématiques, une coupure de Dedekind d un ensemble totalement ordonné E est un couple (A,B) de sous ensembles de E, lesquels forment à eux deux une partition de E, et où tout élément de A est inférieur à tout élément de B … Wikipédia en Français
Développement décimal de l'unité — En mathématiques, le développement décimal périodique qui s écrit , que l on dénote encore par , ou , représente un nombre réel dont on peut montrer que c e … Wikipédia en Français
Construction des nombres réels — En mathématiques, il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont les coupures de Dedekind, les suites de Cauchy. Sommaire 1 Construction intuitive à partir des nombres décimaux 2 Construction par les… … Wikipédia en Français
Construction Des Nombres Réels — Il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus rigoureuses sont les coupures de Dedekind, les suites de Cauchy. Sommaire 1 Construction intuitive à partir des nombres décimaux 2 Construction par les coupures de Dedekind … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Coupure De Dedekind