Relation binaire

En mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles E et F (ou simplement relation entre E et F) est caractérisée par un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Cette collection est désignée par le graphe de la relation. Les composantes d'un couple appartenant au graphe d'une relation R sont dits en relation par R. Une telle relation binaire est parfois appelée correspondance entre les deux ensembles.

Par exemple, en géométrie plane, la relation d'incidence entre un point et une droite du plan « le point A est sur la droite d » est une relation binaire entre l'ensemble des points et l'ensemble des droites du plan. Les fonctions ou applications d'un ensemble E dans un ensemble F peuvent être vues comme des cas particuliers de relations binaires entre E et F.

Lorsque F = E, l'ordre des deux composantes d'un couple a son importance. Par exemple, la relation « ... est strictement inférieur à ... », notée « < », sur l'ensemble N des nombres entiers est une relation sur N ; on note n < p pour indiquer que n et p sont en relation. Le couple (1, 2) est un élément du graphe, contrairement au couple (2, 1).

La notion de relation peut être généralisée à plus de deux arguments, voir relation (mathématiques).

Introduction

De manière informelle, une relation entre deux ensembles est une proposition qui lie certains éléments du premier ensemble avec d’autres éléments du second ensemble.

Sur un ensemble F constitué de filles et un ensemble G constitué de garçons, par exemple, on pourrait définir une relation « Alice aime Bernard », ou une autre relation « Béatrice connaît Paul »... On peut donc voir la relation comme étant des fils reliant des éléments de deux ensembles.

Exemple de représentation sagittale.

Dans le cas d’un ensemble fini, on peut alors tenter de représenter la relation par un diagramme. Si F = {Lucie, Béatrice, Delphine, Alice} et si G = {Bernard, Antoine, Paul, Charles}, la relation aime peut être schématisée par le diagramme joint (un tel diagramme est dit diagramme sagittal).

On peut également représenter cette relation, par un tableau à deux entrées, avec en première colonne la liste des éléments de l’ensemble de départ F, et en première ligne celle des éléments de l’ensemble d’arrivée G. Les couples sont représentés par des croix dans les cases à l’intersection de la ligne de la première composante et de la colonne de la seconde composante.

*Exemple de représentation matricielle*.
.	Bernard	Antoine	Paul	Charles
Lucie	X	X	X	.
Béatrice	.	X	.	.
Delphine	.	.	.	.
Alice	X	.	X	.

On pourra déplorer le fait que Delphine n’aime personne, que Lucie ait un cœur généreux et que Charles puisse se sentir seul.

On peut aussi tenter de faire la liste des couples ainsi en relation (pour plus de commodité, on ne conservera que les deux premières lettres du prénom):

Gr = {(Lu,Be) , (Lu, An) , (Lu, Pa) , (Bé, An) , (Al, Pa) , (Al, Be)}

En mathématique, un « couple » est formé de deux éléments mis entre parenthèses dans un ordre particulier. La relation est définie en première approche comme un ensemble de couples, c’est-à-dire que si deux éléments sont reliés entre eux, alors le couple est un élément de l’ensemble relation. Si l’on appelle F l’ensemble des filles, et G l’ensemble des garçons, alors l’ensemble de tous les couples possibles est appelé « produit cartésien de F par G » et est noté F×G et la relation aime est alors définie par l’ensemble F, l’ensemble G et un sous-ensemble de F×G.

Définition formelle

Une relation binaire R d’un ensemble E vers un ensemble F est définie par une partie G de E×F.

Si (x,y) ∈ G on dit que x est en relation avec y et on note « x R y » (notation infixe), « R(x,y) », « R x y » ... (notations préfixes).

Dans le cas particulier où E = F on dit que R est une relation binaire définie sur E ou dans E.

On remarquera qu’il est nécessaire, pour une relation binaire, de préciser l’ensemble E (appelé ensemble de départ), l’ensemble F (appelé ensemble d’arrivée) et la partie G de E×F appelée le graphe de la relation.

Composition et réciproque

Composition

Si $\mathcal{R}$ est une relation de E dans F et $\mathcal{S}$ de F dans G, on peut définir une relation $\mathcal{S}\circ \mathcal{R}$ de E dans G par :

$\mathcal{G}_{\mathcal{S} \circ \mathcal{R}} = \left\{ ( x , y ) \in E \times G \, | \, \exists z \in F /\, ( x , z ) \in \mathcal{G}_{R} \and ( z , y ) \in \mathcal{G}_{S} \right\} \,$

Plus simplement, on peut dire que $S\circ R\subseteq X\times Z$ est défini par la règle qui dit que $(x,z)\in S\circ R$ si et seulement s'il existe un élément $y\in Y$ tel que $x\,R\,y\,S\,z$ (i.e. $(x,y)\in R$ et $(y,z)\in S$ ).

Notation: si $\mathcal{R}$ est une relation sur un ensemble E et n un entier naturel, on note $\mathcal{R}^n$ la composition de $\mathcal{R}$ avec elle-même n fois, avec la convention que $\mathcal{R}^0$ dénote la relation d’égalité sur E.

Réciproque

Si $\mathcal{R}$ est une relation de E sur F, on peut définir une relation de F sur E dite relation inverse, ou réciproque, par :

$\mathcal{G}_{\mathcal{R}^{-1}} = \left\{ ( x , y ) \in F \times E \, | \, ( y , x ) \in \mathcal{G}_{\mathcal{R}} \right\} \,$ .

Exemples :

« plus petit que » et « plus grand que » sont des relations réciproques l’une de l’autre ;

« aime » et « est aimé par » sont aussi réciporques l’une de l’autre.

La représentation d'une relation réciproque se déduit simplement de celle de la correspondance de départ :

pour la représentation sagittale, en changeant le sens des liens (vu de la gauche vers la droite sur le schéma) ;
pour une représentation matricielle, en échangeant lignes et colonnes et en prenant la matrice symétrique par rapport à la diagonale principale.

Relation fonctionnelle

Lorsque, pour tout élément x de E, x n’est en relation qu’avec 0 ou 1 élément y de F, on dit que la relation est fonctionnelle. C’est une façon élémentaire de définir la notion de fonction. En langage formel, la propriété précédente s’écrit :

$\forall x \in E, \forall y \in F, \forall z \in F , [ ( x , y ) \in \mathcal{G}_{\mathcal{R}} \and ( x , z ) \in \mathcal{G}_{\mathcal{R}} ] \Rightarrow ( y = z ) \,$

Pour plus de précisions, voir l'article « fonction (mathématiques) ».

Exemple important :

La diagonale de E est définie par :

$\Delta_E = \left\{ ( x , x ) \, | \, x \in E \right\} \,$ .

C’est le graphe de la relation d’égalité sur E, notée « =_E », ou « = » en l’absence d’ambiguïté sur l’ensemble concerné.

Cette relation est aussi une fonction, l’identité de E, notée « id_E ».

Relation sur (ou dans) un ensemble

Si E = F, on parlera de relation sur (ou dans) E.

Propriétés liées à la réflexivité

Article détaillé : relation réflexive.

Relation réflexive

La relation $\mathcal{R}$ sur E est réflexive si tout élément de E est en relation avec lui-même, c’est-à-dire si :

$\forall x \in E , x \mathcal{R} x \,$

Une relation est donc réflexive si et seulement si son graphe contient la diagonale de E, c’est-à-dire si et seulement si :

$\Delta_E \subseteq \mathcal{G}_{\mathcal{R}} \,$

En d’autres termes, l’intersection du graphe de la relation avec la diagonale de E est égale à cette diagonale.

Exemples :

la relation d’inclusion entre ensembles est réflexive : tout ensemble est inclus dans lui-même ;
dans un ensemble de nombres, la relation « est un diviseur de » est réflexive : tout nombre est son propre diviseur ;
dans un ensemble de personnes, la relation « est de la même famille que » est réflexive...

La clôture réflexive, notée « $\mathcal{R}^{refl} \,$ », d’une relation $\mathcal{R}$ sur un ensemble E est la relation sur E dont le graphe est l’union de celui de $\mathcal{R}$ et de la diagonale de E :

$\mathcal{G}_{\mathcal{R}^{refl}} = \mathcal{G}_{\mathcal{R}} \cup \Delta_E \,$

Relation irréflexive

La relation $\mathcal{R}$ sur E est irréflexive ou antiréflexive si aucun élément de E n'est en relation avec lui-même, c’est-à-dire si :

$\forall x \in E , x \not \!\,\mathcal{R} x \,$

Une relation est donc irréflexive ou antiréflexive si et seulement si son graphe est disjoint de la diagonale de E, c’est-à-dire si :

$\Delta_E \cap \mathcal{G}_{\mathcal{R}} = \empty \,$

L’intersection du graphe de la relation avec la diagonale de E se réduit donc à l’ensemble vide.

Exemples :

l’inégalité stricte sur les entiers est un exemple de relation irréflexive : aucun entier n’est strictement inférieur à lui-même;
dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est irréflexive : personne n’est son propre enfant;
dans un polyèdre, la relation « a un et un seul côté commun avec » est une relation irréflexive entre ses faces : aucune face n’a qu’un seul côté commun avec elle-même (une face a au moins 3 côtés en commun avec elle-même)...

Une relation sur un ensemble d'au moins deux éléments peut bien entendu n'être ni réflexive, ni irréflexive, il suffit qu'un élément soit en relation avec lui-même et l'autre non.

Propriétés liées à la symétrie

Relation symétrique

La relation $\mathcal{R}$ sur E est symétrique si et seulement si lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un second élément de E, le second élément est lui aussi en relation avec le premier, c’est-à-dire si :

$\forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal{R} y ) \Rightarrow ( y \mathcal{R} x ) \,$

Une relation est donc symétrique si et seulement si son graphe se confond avec celui de sa relation inverse, c’est-à-dire si :

$\mathcal{G}_{\mathcal{R}} = \mathcal{G}_{\mathcal{R}^{-1}} \,$

En d'autres termes, une relation symétrique est une relation qui se confond avec sa réciproque :

$\mathcal{R}^{-1} = \mathcal{R} \,$

L'égalité entre graphes ci-dessus peut encore s'écrire :

$\mathcal{G}_{\mathcal{R}} \cap \mathcal{G}_{\mathcal{R}^{-1}} = \mathcal{G}_{\mathcal{R}} \,$ .

Exemples :

dans un ensemble de personnes, la relation « est de la même famille que » est symétrique;
dans un polyèdre, la relation « a un et un seul côté commun avec » est une relation symétrique entre ses faces : si une face a un côté commun avec une autre face, cette dernière a le même côté commun avec la première face;
parmi les entiers naturels, la relation « forme un produit pair avec » est symétrique, car la multiplication des entiers est commutative.

La clôture symétrique, notée « $\mathcal{R}^{sym} \,$ », d’une relation $\mathcal{R}$ sur un ensemble E est la relation sur E dont le graphe est l’union de celui de $\mathcal{R}$ et de sa réciproque (ou inverse) :

$\mathcal{G}_{\mathcal{R}^{sym}} = \mathcal{G}_{\mathcal{R}} \cup \mathcal{G}_{\mathcal{R}^{-1}} \,$

Cette clôture symétrique est d’ailleurs universelle parmi les relations symétriques contenant $\mathcal{R}$ (ce qui ici, sans entrer dans des considérations catégoriques, signifie que c’est la plus petite !).

Relation antisymétrique

La relation $\mathcal{R}$ sur E est antisymétrique ou faiblement antisymétrique si et seulement si lorsque deux éléments de E sont en relation mutuelle, ils sont en fait confondus, c’est-à-dire si :

$\forall ( x , y ) \in E^2 , [ ( x \mathcal{R} y ) \wedge ( y \mathcal{R} x ) ] \Rightarrow ( x = y ) \,$

Une relation est donc faiblement antisymétrique si et seulement si l'intersection de son graphe avec celui de sa réciproque est incluse dans la diagonale de E, c'est-à-dire si :

$\mathcal{G}_{\mathcal{R}} \cap \mathcal{G}_{\mathcal{R}^{-1}} \subseteq \Delta_E \,$ .

Exemples :

la relation « plus grand que (ou égal à) » ainsi que la relation « plus petit que (ou égal à) » sur les entiers naturels ou sur les réels ;
la relation « divise » dans l’ensemble des entiers naturels.

Quand une relation est à la fois antisymétrique et irréflexive, on dit parfois qu'elle est fortement antisymétrique (on lit asymétrique dans certains ouvrages). On peut alors simplifier la définition : la relation $\mathcal{R}$ sur E est fortement antisymétrique si et seulement si lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un second élément de E, le second élément n’est pas en relation avec le premier, autrement dit :

$\forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal{R} y ) \Rightarrow ( y \not \!\,\mathcal{R} x ) \,$

Une relation est donc fortement antisymétrique si et seulement si l’intersection de son graphe avec celui de sa réciproque est vide, c’est-à-dire si :

$\mathcal{G}_{\mathcal{R}} \cap \mathcal{G}_{\mathcal{R}^{-1}} = \empty \,$ .

Exemples :

les relations d'ordre strict, comme la relation « est strictement plus grand que » sur les entiers ou les réels, ou la relation d'inclusion stricte sont fortement antisymétriques.
dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est asymétrique : personne n’est son propre enfant, ni a fortiori l’enfant de ses enfants...

Pour une relation dont on sait par ailleurs qu'elle est irréflexive, l'antisymétrie forte et l'antisymétrie sont équivalentes, et donc la plupart du temps on parle simplement d'antisymétrie.

Les seules relations symétriques et fortement antisymétriques sont les relations vides. Par contre l'égalité sur n'importe quel ensemble est une relation à la fois symétrique et antisymétrique.

Une relation peut n'être ni symétrique ni antisymétrique, comme par exemple la relation de divisibilité sur les entiers relatifs.

Transitivité

La relation $\mathcal{R}$ sur E est transitive si lorsqu’un premier élément de E est en relation avec un deuxième élément lui-même en relation avec un troisième, le premier élément est aussi en relation avec le troisième, c’est-à-dire si :

$\forall ( x , y , z ) \in E^3 , [ ( x \mathcal{R} y ) \wedge ( y \mathcal{R} z ) ] \Rightarrow ( x \mathcal{R} z ) \,$

Une relation $\mathcal{R}$ est donc transitive si et seulement si son graphe contient celui de sa composée avec elle-même, c'est-à-dire si :

$\mathcal{G}_{\mathcal{R} \circ \mathcal{R}} \subseteq \mathcal{G}_{\mathcal{R}} \,$

Exemple :

la relation $\leq$ sur les entiers naturels est transitive.

On appelle clôture transitive, ou fermeture transitive^[1] de $\mathcal{R}$ la relation

$\bigcup_{n\geq 1}\mathcal{R}^n$

elle est universelle parmi les relations transitives contenant $\mathcal{R}$ . Elle est notée « $\mathcal{R}^{trans}$ ».

Relation totale

La relation $\mathcal{R}$ sur E est totale si pour toute paire d'éléments de E, elle institue au moins un lien entre les deux éléments considérés, c'est-à-dire si :

$\forall ( x , y ) \in E^2 , ( x \mathcal{R} y ) \vee ( y \mathcal{R} x ) \,$

La relation est donc totale si et seulement si l'union de son graphe avec celui de sa réciproque est égale au carré cartésien de E, c'est-à-dire si :

$\mathcal{G}_{\mathcal{R}} \cup \mathcal{G}_{\mathcal{R}^{-1}} = E^2 \,$

Exemple : la relation $\leq$ sur l'ensemble des réels est une relation totale.

Contre-exemple : la relation « divise » sur l'ensemble des entiers naturels n'est pas totale.

Relation d'équivalence

Une relation d'équivalence est une relation réflexive, transitive et symétrique. L'exemple le plus simple de relation d'équivalence est l'égalité. En arithmétique la relation de congruence modulo un entier donné est une relation d'équivalence.

Pour plus d’information voir l’article « Relation d'équivalence ».

Relation d’ordre

Une relation d’ordre est une relation réflexive, transitive et antisymétrique.

Si la relation est totale alors on dit que l’ordre est total. C’est le cas de la relation « plus grand que » sur les entiers naturels. Tous les éléments ne sont pas forcément comparables par une relation d’ordre ; par exemple deux entiers naturels ne sont pas forcément comparables par divisibilité. On dit alors que la divisibilité est un ordre partiel sur N.

Plus de détails dans l’article « Relation d'ordre ».

Relation bien fondée

Article détaillé : relation bien fondée.

Exemples

La relation d’appartenance sur $E \times \mathcal{P}(E)$ ;
la relation d’inclusion sur $\mathcal{P}(E)$ (relation d'ordre) ;
la relation inférieur ou supérieur sur $\mathbb{R}$ (relation d'ordre) ;
la relation « est un diviseur de » sur $\mathbb{N}$ (relation d'ordre) ;
la relation d’égalité (congruencielle ou non) sur E (relation d'équivalence).

Nombre de relations binaires sur des ensembles finis

Considérons un ensemble E fini de cardinal n et un ensemble F fini de cardinal p. Il y a autant de relations binaires de E sur F que d’applications de E×F dans { 0 , 1 } , ce qui donne 2 ^np relations.

En particulier, si E = F , on trouve $2^{n^2} \,$ relations binaires sur E, dont

$2^{n(n - 1)} \,$ relations réflexives
$2^{n(n + 1)/2} \,$ relations symétriques
Pour le nombre de relations transitives, il n’y a toujours pas actuellement de formule « fermée »

Le nombre de relations d’équivalence est égal au nombre de partitions d’un ensemble, c’est-à-dire le nombre de Bell.

Note et références

↑ Jiří Matoušek (de) et Jaroslav Nešetřil (en), Introduction aux Mathématiques Discrètes, Springer, 2004 (ISBN 978-2-28720010-6), p. 43

Nicolas Bourbaki, Eléments de mathématique. Théorie des ensembles, [détail des éditions]
Paul Halmos, Introduction à la théorie des ensembles [détail des éditions]
Yiannis Moschovakis, Notes on Set Theory [détail des éditions]

Voir aussi

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