Fonction polynôme (mathématiques élémentaires)

Fonction polynôme (mathématiques élémentaires)

En mathématiques élémentaires, une fonction polynôme est une somme de fonctions de la forme

\begin{matrix} f_k: & \mathbb R & \rightarrow & \mathbb R \\ & x & \mapsto & a_kx^k \end{matrix}

La fonction fk est appelée fonction monôme de degré k. On dit donc qu'une fonction polynôme est une somme de fonctions monômes.

En général, les fonctions polynômes étudiées en mathématiques élémentaires sont définies sur \R à coefficients dans \R. Mais on peut parfois trouver des fonctions polynômes définies sur \mathbb C à coefficients dans \mathbb C. Ces fonctions polynômes sont des cas particuliers de fonctions polynômes plus générales dans lesquelles la variable et les coefficients peuvent appartenir à d'autres ensembles que \R ou \mathbb C.

Par abus de langage, on appelle parfois une fonction polynôme un polynôme, confondant ainsi une fonction avec un polynôme formel. Cette confusion est sans gravité dans le cadre des mathématiques élémentaires mais peut conduire à des contresens en algèbre générale.

Sommaire

Exemples

Un exemple de polynôme de degré 5

Pour éviter une surcharge de notation, on ne précisera que l'expression de la fonction polynôme, étant entendu que son ensemble de départ est toujours \R ou \mathbb C.

Si f: x \mapsto x^5 + 6x^2 + 3x^2 - \sqrt{2}x + 3, f est une fonction polynôme de degré 5.

Le degré d'une fonction polynôme non nulle est le degré de sa fonction monôme de plus haut degré. Une fonction constante non nulle est une fonction monôme de degré 0. La fonction constante nulle est appelée fonction polynôme de degré égal à -\infty

Une fonction affine, définie par f(x) = ax + b et telle que a soit non nul, est une fonction binôme du premier degré. Une fonction définie par f(x) = ax2 + bx + c et telle que a soit non nul, est une fonction trinôme du second degré.

Racine

Si f(r) = 0, on dit que r est une racine du polynôme f et on démontre que l'on peut factoriser le polynôme par (x - r).

Binôme de degré un
f(x) = ax + b avec a non nul
racine r = -b/a
factorisation : f(x) = a(x - r)
Trinôme du second degré

Selon le signe du discriminant, une fonction polynôme du second degré possède 0 ou deux racines (éventuellement confondues) dans \R mais elle possède toujours deux racines dans \mathbb C. Quand elle possède deux racines, elle se factorise en

f(x) = a(x - r1)(x - r2)
Cas général

En mathématiques élémentaires, la recherche de racine d'un polynôme de degré supérieur à 2 ne se fait qu'expérimentalement en cherchant des racines « évidentes ».

Si f(x) = x3 + 3x2 - 16x + 12, on remarque que 2 est racine de f en calculant f(2), entre autres images de valeurs simples. La factorisation se fait alors en utilisant des méthodes diverses comme la méthode de Horner, la division de polynômes ou l'identification (voir plus bas).

Identification

On démontre qu'une fonction polynôme définie sur \R ou \mathbb C de degré n ne peut pas s'annuler plus de n fois. On peut donc dire que deux fonctions polynômes de degrés inférieurs ou égaux à n et coïncidant sur plus de n points sont nécessairement identiques (même degré et mêmes coefficients). C'est ce qu'on appelle l'identification.

C'est une propriété efficace qui permet de trouver des formes plus appropriées pour certaines expressions.

Exemple 1 : trouver a et b tels que x3 + 3x2 - 16x + 12 = (x - 2)(x2 + ax + b) pour tout x réel.

On pose f(x) = x3 + 3x2 - 16x + 12
On pose g(x) = (x - 2)(x2 + ax + b)
On développe g(x) : g(x) = x3 + (a - 2)x2 + (b - 2a)x - 2b
Puisque les deux polynômes coïncident sur plus de 3 points, ils sont identiques, de même degré (degré trois) et de même coefficient. Autrement dit f(x) = g(x) pour tout x si et seulement si
\begin{cases} 1 = 1 \\ 3 = a - 2\\ -16 = b - 2a\\ 12 = -2b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 5\\ b = -6 \end{cases}
On obtient alors f(x) = (x - 2)(x2 + 5x - 6)

Exemple 2 : L'étude de la fonction polynôme f définie par f(x) = x4 - 4x3 + 9x2 - 10x -1 révèle l'existence d'un axe de symétrie d'équation x = 1 pour la courbe représentative et pousse à chercher deux réels a et b tels que, pour tout réels x, f(x) = (x-1)4 + a(x - 1)2 + b.

On pose g(x) = (x-1)4 + a(x - 1)2 + b
On développe g(x) grâce aux identités remarquables :
g(x) = x4 - 4x3 + (6 + a)x2 - (4 + 2a)x + 1 + a + b
On identifie
\begin{cases} 1 = 1 \\ -4 = -4\\ 9 = 6 + a\\ 10 = 4 + 2a\\ -1 = 1 + a + b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 3\\ b = -5 \end{cases}
On obtient alors f(x) = (x-1)4 + 3(x-1)2 - 5

Exemple 3: On cherche à mettre la fonction rationnelle définie pour tout x différent de 2 par f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 5}{x - 2} sous forme réduite. Bref, on cherche à trouver trois réels a, b et c tels que, pour tout x différent de 2, f(x) = ax + b + \frac{c}{x - 2}

On pose g(x) = ax + b + \frac{c}{x - 2}
On réduit au même dénominateur g(x) = \frac{ax^2 + (b - 2a)x + c - 2b}{x - 2}
Les deux fonctions ayant même dénominateur, elle coïncident pour tout x différent de 2 si et seulement si les numérateurs coïncident sur ce même ensemble. Les numérateurs sont des polynômes du second degré qui coïncident sur plus de 2 points, on peut donc identifier leurs coefficients
\begin{cases} 2 = a \\ 3 = b - 2a\\ -5 = c - 2b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2\\ b = 7\\ c = 9 \end{cases}
On obtient alors f(x) = 2x + 7 + \frac{9}{x - 2}

Éléments de symétrie

La courbe représentative d'une fonction polynôme f a pour axe de symétrie l'axe (Oy) si et seulement si tous les monômes constituant f sont de degré pair. C'est probablement cette propriété qui est à l'origine de la dénomination de fonction paire pour toute fonction dont la courbe représentative a pour axe de symétrie l'axe (Oy).

De même, la courbe d'une fonction polynôme f a pour centre de symétrie le point O si et seulement si tous les monômes constituant f sont de degré impair.

Étude

L'étude de la fonction affine et de la fonction du second degré est faite de manière exhaustive. Quelques résultats sont à connaître sur une fonction polynôme degré supérieur.

Une fonction polynôme est dérivable sur \R. Pour k non nul, la dérivée de la fonction monôme fk définie par f_k(x) = a_kx^k \, est f'_k(x) = k\times a_kx^{k - 1}. La dérivée d'une fonction monôme constante est la fonction nulle.

Une fonction polynôme est donc continue sur \R.

La limite à l'infini d'une fonction polynôme est égale à la limite de son monôme de plus haut degré.

  • La limite en + \infty de anxn est + \infty si an est positif et -\infty sinon.
  • La limite en - \infty de anxn est
    • + \infty si an est positif et n pair
    • - \infty si an est positif et n impair
    • - \infty si an est négatif et n pair
    • + \infty si an est négatif et n impair.

Quelques ouvertures intéressantes

Ne font pas partie des mathématiques élémentaires des résultats intéressants comme la recherche des racines de polynômes de degré trois par la méthode de Cardan, ni les racines de polynôme de degré quatre. L'existence de telles méthodes pourrait laisser croire qu'il existe des méthodes générales pour des degrés supérieurs ou égaux à cinq, mais il n'en est rien.

Article détaillé : histoire des polynômes.

L'existence de racines pour un polynôme de degré deux est la première prise de contact avec le théorème fondamental de l'algèbre qui stipule que tout polynôme de degré n à coefficients dans \mathbb R possède n racines, éventuellement confondues, dans \mathbb C.

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Mathématiques élémentaires
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