Fonction porte

Fonction porte
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Graphe de la fonction porte

La fonction porte, généralement représentée Π, est une fonction mathématique par laquelle un nombre a une image nulle, sauf s'il est compris entre -0,5 et 0,5, auquel cas son image vaut 1. Son graphe a une forme similaire à celle d'une porte, d'où son nom.

Définition

La fonction porte est une fonction Π définie sur l'espace des réels à valeur dans {0,1} comme suit :

\forall t \in \R,\ \Pi(t) = \left \{ \begin{array}{cc} 1 & \mbox{ si } -1/2 \leq t \leq 1/2 \\ 0 & \mbox{sinon}\end{array}\right.

Par généralisation, on appelle également fonction porte toute fonction déduite par translation et/ou dilatation de la fonction définie ci-dessus. Les notations varient.

La fonction porte peut s'exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside de cette manière :

\forall t \in \R,\ \Pi(t) = H \left(t+\frac{1}{2} \right) - H \left(t-\frac{1}{2} \right)

On peut translater la fonction porte en additionnant ou en soustrayant à t un facteur de translation (attention: la soustraction induit un retard et l'addition induit un avancement par rapport à 0). On peut élargir la porte de -1 à 1 à -a à a en divisant t par a dans l'expression de la porte originale.

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction porte définie ci-dessus est un sinus cardinal :

\mathcal{F}(\Pi)(f) = \mathrm{sinc}(\pi f)


Une fonction porte d'amplitude A compris entre -T/2 et T/2 s'écrit:

x(t)=0 \ si |t| > T/2
x(t)=A \ si |t| < T/2

D'après la définition de la transformée de Fourier:
X(f)=\int^{+\infty } _{-\infty} {x(t) e^{-i 2 \pi f t} \,\mathrm{d}t}
Avec i2 = − 1
Et : eix = cos(x) + isin(x)
X(f) = A\int _{-\frac{T}{2}} ^{\frac{T}{2}} \left( \cos(-2 \pi f t) + i\sin(-2 \pi f t) \right) \,\mathrm{d}t
X(f) = \frac{A}{-2 \pi f} \times \left [\sin(-2 \pi f t) \right ] ^{\frac{T}{2}} _{\frac{-T}{2}} + i\frac{A}{2 \pi f} \times \left [\cos(-2 \pi f t) \right ] ^{\frac{T}{2}} _{\frac{-T}{2}}
X(f) = \frac{-A}{2 \pi f} \times \left [ \sin \left (-2 \pi f \frac{T}{2} \right ) - \sin \left (-2 \pi f \frac{-T}{2} \right ) \right] + i \frac{A}{2 \pi f} \times \left [ \cos \left (-2 \pi f \frac{T}{2} \right ) - \cos \left (-2 \pi f \frac{-T}{2} \right ) \right]
X(f) = \frac{-2A}{2 \pi f} \times \sin \left (-2 \pi f \frac{T}{2} \right )
X(f) = {T\cdot A} \left[ \frac {\sin(-2 \pi f \frac{T}{2})}{-2 \pi f \frac{T}{2}} \right ]

X(f) = {T \cdot A} \mathrm{sinc}\left( 2 \pi f \frac{T}{2} \right )

Avec sinc, la fonction sinus cardinal.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction porte de Wikipédia en français (auteurs)

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