Fonction exponentielle (mathématiques élémentaires)

Exponentielle

Pour les articles homonymes, voir Exp.

Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu)

Les fonctions exponentielles font partie des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes des fonctions exponentielles réelles:

une application continue de $\R$ vers $\R^*_+\$ qui transforme une somme en produit
La réciproque d'une fonction logarithme
La solution d'une certaine équation différentielle linéaire d'ordre un,
La somme d'une série entière.

Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition des fonctions exponentielles à des fonctions de C vers C^* ou même des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach.

Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier, .... mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc.

De la puissance à l'exponentielle

On considère un réel a strictement positif, il est facile de définir $a n$ comme le produit de a par lui-même n fois pour tout entier n supérieur ou égal à 1,

: $\exp_a(n) = a^n = \underset{n \text{ fois}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$

puis de définir $a 0$ comme valant 1 puis $a - n$ comme l'inverse de $a n$ . On démontre aisément la propriété $a^{n+m}=a^n \times a^m$ . Cette construction, assez naturelle, permet l'observation de phénomènes dits à croissance ou décroissance exponentielle.

Article détaillé : suite géométrique.

Exemple 1 : Imaginons une population dont la taille augmente de 30% tous les 10 ans. Si on note $\scriptstyle N$ la population en 1900, il est facile de calculer la population en 1910, 1920, ... qui sera de $\scriptstyle N \times 1,3$ , puis $\scriptstyle N\times 1,3^2$ ... pour aboutir au bout de n décennies à $\scriptstyle N \times 1,3^n$ (si le modèle est encore valide au bout de n décennies). Il est même possible de déterminer la population en 1890, 1880 qui sera de $\scriptstyle N \times 1,3^{-1}$ , $\scriptstyle N \times 1,3^{-2}$ ....
Exemple 2 : Le carbone 14 a une décroissance radioactive de période $\scriptstyle T = 5 730$ ans ce qui veut dire que tous les $\scriptstyle T$ ans, le nombre de particules radioactives a été divisé par 2. Si on mesure, à un instant donné, le nombre $\scriptstyle N$ de particules radioactives, au bout de n périodes, le nombre de particules radioactives n'est plus que de $\scriptstyle N\times (1/2)^n$ .

La question qui se pose est de déterminer la taille de la population ou le nombre de particules radioactives entre deux mesures (la décennie pour la population ou la période pour la particule). Il s'agit donc de combler les trous entre les entiers. Une tentative peut être fait grâce à la racine nième : si la population a été multipliée en 10 ans par 1,3 , on cherche à déterminer par combien elle est multipliée chaque année. Elle est multipliée par un réel q tel que $\scriptstyle q^{10} = 1,3$ , c'est-à-dire $\scriptstyle q=\sqrt[10]{1,3}$ que l'on note $\scriptstyle 1,3^{1/10}$ .

On est donc capable de définir $\scriptstyle a^r$ pour des exposants non entiers :

$\exp_a(1/q)=a^{1/q} = \sqrt[q] a$

$\exp_a(p/q)=a^{p/q} = (\sqrt[q] a)^p$ .

On a ainsi comblé les trous et défini $\scriptstyle a^r$ pour tout r rationnel. Pour définir $\scriptstyle a^x$ pour tout réel x, il faut ajouter un argument de continuité, tout réel $\scriptstyle x$ est aussi proche que l'on veut d'un rationnel $\scriptstyle p/q$ , la valeur de $\scriptstyle a^x$ sera alors proche de $\scriptstyle a^{p/q}$ .

Cette idée intuitive de ce que pourrait être $\scriptstyle a^x$ est présente très tôt dès que la notation exponentielle apparaît c'est-à-dire dès le XVII^e siècle ^[1]. Mais il faudra attendre les siècles suivants pour voir en $\scriptstyle x \mapsto a^x$

une fonction;
vérifiant $\scriptstyle a^{x+y}=a^xa^y$ , c'est-à-dire transformant une somme en produit;
continue;
réciproque de la fonction logarithme (qui transforme un produit en somme),
dérivable et dont la dérivée est proportionnelle à la fonction.

Ensuite se développe l'étude plus particulière de l'exponentielle de base e, réciproque de la fonction logarithme népérien. Dans cette base, la dérivée de la fonction exponentielle est égale à elle-même soit $exp' = exp$ . C'est cette base qui est la plus utilisée, et c'est à elle que l'on se réfère généralement si on n'en précise pas une autre.

Les propriétés de la dérivée de la fonction exponentielle en font un outil privilégié pour la résolution des équations différentielles.

Fonctions exponentielles réelles

Définitions

Il existe plusieurs points d'entrée possible pour la définition de la fonction exponentielle: par ses propriétés algébriques (transforme une somme en produit) , par la propriété de sa dérivée (dérivée proportionnelle à la fonction) ou par son développement en série

Par la propriété algébrique

Définition — On appelle fonction exponentielle réelle, toute fonction continue de R dans R^* transformant une somme en produit, c'est-à-dire toute fonction continue vérifiant l'équation fonctionnelle

$\forall(u,v)\in \mathbb R : f(u+v)=f(u)\cdot f(v)$ .

Si on note a la valeur de f(1). La fonction f est appelée exponentielle de base a et se note $exp a$

Une telle fonction est appelée un morphisme continu du groupe additif (R,+) dans le groupe multiplicatif (R^*, ×).

On remarque que la relation

$f(u)=f\left(2\frac u2\right) =\left[ f\left(\frac u2\right)\right]^2$

assure que la fonction est toujours à valeurs dans l'ensemble des réels strictement positifs

Puis la relation

$f(u)=f(u+0)=f(u)\times f(0)$

donne pour seule valeur possible pour $f (0)$ la valeur 1 car $f (u)$ ne peut être nul.

Si on note $f (1) = a$ , des considérations analogues à celles développées dans la section précédente permettent d'écrire successivement

f (n) = a n = exp a (n)

, pour tout n entier naturel puis relatif,

$f\left(\frac 1q\right) = \sqrt[q]a = \exp_a\left(\frac 1q\right)$ , pour tout q entier naturel non nul

$f\left(\frac pq\right) = \sqrt[q]a^p=\exp_a\left(\frac pq\right)$

La valeur de f(x) pour x irrationnel s'obtient par prolongement par continuité.

L'existence d'une telle fonction provient de la possibilité de prolonger par continuité une fonction définie sur Q à une fonction définie sur R en conservant ses propriétés algébriques. La construction prouve l'unicité de la fonction vérifiant l'équation fonctionnelle

$\forall(u,v)\in \mathbb R : f(u+v)=f(u)\cdot f(v)\qquad f(1)=a$ .

On prouve qu'alors f est dérivable et vérifie l'équation différentielle :

$f'(x)=f'(0)\cdot f(x)\qquad f(0)=1$ .

Démonstration

Pour démontrer qu'une fonction continue transformant une somme en produit est nécessairement dérivable, on peut s'appuyer sur le fait qu'une fonction continue possède des primitives. Si on note F une primitive de f, on peut écrire

$\int_0^1f(x)\cdot f(t)dt = f(x)\int_0^1f(t)dt =f(x)\cdot (F(1)-F(0))$

mais aussi

$\int_0^1f(x)\cdot f(t)dt = \int_0^1f(x+t)dt = F(x+1) - F(x)$

la fonction f étant une fonction strictement positive, F est strictement croissante et F(1) - F(0) est alors non nul. En confrontant les deux égalités, on peut écrire

$f(x) = \frac{F(x+1)-F(x)}{F(1)-F(0)}$

Ce qui prouve que, f s'exprimant comme combinaison linéaire de fonctions dérivables, f est dérivable.

En dérivant l'égalité

$f(x+u) = f(x)\cdot f(u)$

par rapport à x, on obtient

$f'(x+u)=f'(x)\cdot f(u)$

puis en prenant x égal à 0

$f'(u)=f'(0)\cdot f(u)$

On prouve aussi que la continuité de la fonction en un seul point associée à la propriété algébrique assure sa continuité sur tout R.

Par une équation différentielle

Définition — On appelle fonction exponentielle toute fonction dérivable vérifiant l'équation différentielle

$f'=kf \qquad f(0) = 1$

où k est un réel quelconque.

Une telle équation définie f de manière unique, k correspond alors à la dérivée de f en 0. On montre qu'une telle fonction transforme toujours une somme en produit; Donc que les deux définitions coïncident.

Démonstration

En supposant admise l'existence d'une fonction g vérifiant

$\forall x \in \mathbb R : g'(x)=g(x) \qquad g(0)=1$

que l'on peut construire grâce à la méthode d'Euler, on montre que g ne peut pas s'annuler, que $f:x\mapsto g(kx)$ est solution de l'équation différentielle et que c'est la seule.

la fonction g ne peut pas s'annuler

On pose $u(x)=g(x)\cdot g(-x)$ et l'on dérive

$u'(x)=g'(x)\cdot g(-x)-g(x)g'(-x) = g(x)\cdot g(-x)-g(x)\cdot g(-x)=0$

la fonction u est donc constante. l'égalité

$u(0)=g(0)\cdot g(0)=1$

assure que cette constante est non nulle, donc aucun des termes du produit n'est nul. g(x) ne s'annule pas.

La fonction f est solution de l'équation différentielle

f (x) = g (k x)

donc

$f'(x)=k\cdot g'(kx) = k\cdot g(kx)=k\cdot f(x)$

$f(0)=g(k\cdot 0)=g(0)=1$

la fonction est l'unique solution au problème

On suppose qu'il existe une autre fonction

f 1

solution de l'équation et on étudie $h_1=\frac {f_1}{f}$

$h_1'=\dfrac{f_1f-f_1f'}{f^2}=\dfrac{kf_1f-f_1kf}{f^2}=0$

La fonction

h 1

est donc constante

$h_1(0)=\frac{f_1(0)}{f(0)}=1$

La fonction est donc constante égale à 1, ce qui assure que

f 1 = f

La propriété algébrique est conservée

On pose

f 2 (x) = f (x + u)

et l'on dérive

$f_2'(x)=f'(x+u)=k\cdot f(x+u)=k\cdot f_2(u)$

On pose alors $h_2=\frac {f_2}{f}$ et par un raisonnement analogue, on montre que

h 2

est constante

$h_2(0)=\frac{f_2(0)}{f(0)}=f(u)$

donc $\frac{f(x+u)}{f(x)}=f(u)$ soit encore $f(x+u)=f(x)\cdot f(u)$ .

En particulier, on appelle fonction exponentielle (de base e) la fonction solution de

$g'=g \qquad g(0) = 1$

et on note

$g(x) = \exp(x)\,$

Elle sert à exprimer toutes les autres. En efffet si $\scriptstyle f$ est solution de l'équation différentielle initiale alors

$f(x)=\exp(kx)\,$

On peut se contenter d'étudier principalement celle-ci.

Par une série

la fonction exponentielle et son approximation par les premiers termes de la série

Enfin, en appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle $exp$ ou encore $x\mapsto e^x$ comme la somme d'une série entière de rayon de convergence infini :

$\exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!}$ ,

où $n!$ est la factorielle de $n$ .

Comment trouver cette série ?

Supposons qu'il existe une solution analytique f somme d'une série entière de rayon de convergence R>0, disons, pour fixer les notations :

$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ , avec a₀=1.

La dérivée est donnée par :

$f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}n\cdot a_nx^{n-1}$ .

De fait, l'équation f'(x)=f(x) s'écrit, par unicité des coefficients dans le développement en séries entières :

$a_n=(n+1)\cdot a_{n+1}$ .

Par une récurrence immédiate, on établit :

$a_n=\frac{1}{n!}$ .

Il existe de nombreux développements en fraction continue de la fonction exponentielle. On peut citer l'exemple suivant :

$\exp(x) = 1 + \frac{x\mid}{\mid 1} - \frac{\frac 12 x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 16x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 16x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{14}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{14}x \mid}{\mid 1}+\cdots$

Une analyse détaillée des expressions de cette nature est proposée dans l'article Approximant de Padé de la fonction exponentielle.

Cas de la fonction exponentielle de base e

Représentation graphique de la fonction exponentielle dans $\R$

La fonction $exp$ étant définie comme l'unique fonction égale à sa dérivée et prenant la valeur 1 en 0. On peut en étudier les caractéristiques.

La fonction $exp$ prend en 1 une valeur irrationnelle qui est noté e et vaut environ 2,718. Elle est donc aussi appelé fonction exponentielle de base e.

Du fait de la continuité, supposée dans les trois définitions données, si x est réel, alors exp(x) est un réel strictement positif. D'autre part la fonction exp de $\R$ dans $\R_+^*$ est strictement croissante, continue, continûment dérivable, infiniment dérivable, et encore mieux analytique (ie développable en séries entières au voisinage de tout point).

De plus,

$\lim_{x\to -\infty}\exp(x)=0$

$\lim_{x\to +\infty}\exp(x)=+\infty$ ,

elle admet donc une application réciproque, qui est la fonction logarithme népérien ln, définie sur $\R_+^*$ .

La fonction $exp$ tend donc vers + ∞ quand sa variable tend vers + ∞ et ce plus rapidement que toute fonction polynôme, c'est-à-dire que

$\lim_{x\to +\infty}\frac{\exp(x)}{x^n}=+\infty$

quel que soit l'entier naturel n. De même on a

$\lim_{x\to -\infty}x^n\exp(x)=0$

Comme les dérivées successives de exp sont exp, la dérivée seconde est positive. Donc exp est convexe.

La tangente à la courbe au point d'abscisse $x 0$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $x 0 - 1$ . La fonction $exp$ est la seule fonction prenant la valeur 1 en 0 dont la sous-tangente est toujours le segment $[x 0 - 1; x 0]$ .

Propriétés

En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout $a > 0$ la fonction exponentielle de base a notée $exp a$ ou $x\mapsto a^x$ , par :

$\forall x,\ a^x = \exp(\ln(a) x) = e^{x\ln(a)}$ .

Les fonctions exponentielles «transforment une somme en un produit», on en déduit les propriétés :

a 0 = 1

a 1 = a

$a^{x + y} = a^x\cdot a^y$

$a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

$\frac1{a^x} = \left(\frac1a \right)^x = a^{-x}$

$a^x\cdot b^x = (a b)^x$

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et pour tous réels x et y.

Pour a=1, la fonction exponentielle est constante et égale à 1, et n'est ainsi plus bijective.

Quand a ≠ 1, la fonction exponentielle est une bijection de $\R$ sur $\R_+^*$ ; strictement croissante si a>1 et strictement décroissant si a<1 dont la réciproque est la fonction logarithme de base a

Généralisation des fonctions exponentielles à d'autres ensembles