- Fonction nulle
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En mathématiques, une fonction nulle est une fonction constante dont l'image est zéro. Elle possède de nombreuses propriétés et intervient dans de nombreux domaines des mathématiques. Elle est souvent utilisée comme exemple ou contre-exemple trivial.
Sommaire
Énoncé
On appelle généralement fonction nulle la fonction constante définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes par : f(x)=0. De manière plus rigoureuse, on dit qu'une fonction définie sur A sous-ensemble de C, par exemple, est une fonction nulle (ou est la fonction nulle de A) si c'est la restriction à A de la fonction nulle précédente (autrement dit, si
, et si f n'est pas définie en dehors de A).Plus généralement, soient (E,+) un ensemble muni d'une opération * ayant un élément neutre noté 0 (par exemple un groupe commutatif, un anneau, un espace vectoriel) et X un ensemble quelconque. L'application nulle est l'application f de X dans E définie par f(x)=0 pour tout élément x de X.
Définition en tant que polynôme
La fonction nulle de C peut se définir comme une fonction constante, donc comme un polynôme à coefficients tous nuls). On attribue (par convention) à ce polynôme, appelé le polynôme nul, le degré
. Cette convention permet par exemple que l'on ait deg(PQ)=deg(P)+deg(Q) pour tous polynômes P et Q, y compris si P ou Q est nul.Propriétés
Signe
C'est la seule fonction, qui, pour tout réel x, est à la fois négative et positive puisqu'elle est nulle.
Parité
Une des conséquences de son signe est qu'elle est la seule fonction définie sur R ou sur C à la fois paire et impaire, puisque pour tout réel x, on a f(x)=f(-x)=-f(x)=0. On remarquera que ce résultat ne s'étend pas au cas général : pour que la fonction nulle de A soit paire (et impaire), il faut que A soit "symétrique" par rapport à 0, c'est-à-dire que
.Opérations algébriques
Si X est un ensemble et (E,*) un ensemble ayant un élément neutre 0, alors la fonction nulle est l'élément neutre de l'espace F(X,E) des fonctions de X dans E, muni de l'opération induite par l'opération * de E.
En particulier, si (E,+,.) est un espace vectoriel (R ou C munis de leurs lois usuelles par exemple), alors la somme d'une fonction f et de la fonction nulle est la fonction f et le produit de la fonction nulle par un scalaire est la fonction nulle.
Dérivée
La fonction nulle sur R est l'unique solution de l'équation différentielle y'=y s'annulant en au moins un point.
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; l'ensemble des primitives de la fonction nulle (sur R) est donc l'ensemble des fonctions constantes.
Représentation graphique
La représentation graphique de la fonction nulle sur R est la droite d'équation y=0 : elle est confondue avec l'axe des abscisses.
Catégories :- Zéro
- Fonction remarquable
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