Approximant de Padé de la fonction exponentielle

Les travaux présentés dans cet article sont l'œuvre d'Henri Padé, un mathématicien français.

En mathématiques, un approximant de Padé de la fonction exponentielle est une fraction rationnelle h(x) / k(x), où h(x) désigne un polynôme de degré p et k(x)de degré q, telle que le développement limité de la fraction à l'ordre p + q soit identique à celui de l'exponentielle. L'étude de cette question est l'exemple introductif choisi par Henri Padé (1863 - 1953) pour la théorie des approximants portant son nom.

L'existence de suites de fractions rationnelles ayant pour limite l'exponentielle est une question déjà abordée avant les travaux de Padé. Leonhard Euler ouvre le bal^[1] avec une première expression montrant l'irrationalité du nombre e, Joseph-Louis Lagrange trouve trois formes différentes^[2] et Carl Friedrich Gauss encore une^[3].

Le travail de Padé consiste à généraliser ces travaux précédents en vue d'illustrer par un exemple une théorie générale s'appliquant à toute fonction analytique. Il traite cette question sous quatre aspects, il montre l'existence d'un approximant de Padé d'indice (p, q), il établit les relations de récurrence permettant de déterminer un approximant d'ordre supérieur, il en déduit les différentes expressions sous forme de fractions continues généralisées de l'exponentielle et montre la convergence uniforme de certaines suites d'approximants.

La présentation ici correspond à une reformulation^[4] de 1899 et un enrichissement d'une partie de son travail de thèse^[5].

Réduite de la fonction exponentielle

Dans la suite de l'article, p et q désignent deux entiers positifs. Le premier résultat établit l'existence et l'unicité, à un facteur multiplicatif près, de deux polynômes h_p,q et k_p,q de degré respectif p et q tel que :

Les développements en séries entières au point 0 de la fraction rationnelle h_p,q / k_p,q et de la fonction exponentielle coïncident sur les p + q + 1 premiers termes.

Une telle fraction rationnelle est appelée Approximant de Padé. Pour établir ce résultat, le mathématicien se fonde sur l'expression suivante d'une primitive de e^tx.π(x) où t est un paramètre, x la variable et π un polynôme dont le degré est noté n :

$\int \exp (tx)\pi(x) dx= \exp (tx)\cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i\frac {\pi^{(i)}(x)}{t^{i+1}}$

Il en déduit les expressions suivantes :

$h_{p,q}(x) = \sum_{i=0}^p \frac {p!\cdot (p+q -i)!}{(p-i)!\cdot (p+q)!\cdot i!} \cdot x^i\quad\text{et}\quad k_{p,q}(x) = \sum_{j=0}^q (-1)^j\frac {q!\cdot (p+q -j)!}{(q-j)!\cdot (p+q)!\cdot j!} \cdot x^j$

La configuration présente de nombreuses analogies avec les fractions continues, ce qui justifie la définition suivante :

La fraction rationnelle h_p,q / k_p,q est appelée réduite d'ordre ou d'indice (p, q) de la fonction exponentielle.

On dispose par exemple de propriétés comme :

Les deux polynômes h_p,q et k_p,q sont uniques et premiers entre eux.

Démonstrations

Un lemme est au cœur de la démonstration de Padé, ici π(x) désigne un polynôme de degré n.

L'expression suivante est vérifiée :

$\int \exp (tx)\pi(x) dx= \exp (tx)\cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i\frac {\pi^{(i)}(x)}{t^{i+1}}$

Montrons ce résultat par récurrence sur n, le degré du polynôme π(x). Si n est égal à 0, c'est une conséquence directe du calcul de la dérivée de la fonction exponentielle. Supposons le résultat établi à l'ordre n - 1. La formule d'intégration par parties et l'hypothèse de réccurence montrent que :

$\int \exp (tx)\pi(x) dx= \frac 1t \left(\exp (tx)\pi (x) - \int \exp (tx)\pi'(x) dx\right)= \exp (tx)\frac {\pi^{(0)}(x)}{t} + \sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j+1}\frac {\pi^{(j+1)}(x)}{t^{j+2}}$

En remplaçant j + 1 par l'indice i, on trouve la formule recherchée.

Soit a et b deux nombres et f(x), α(x) et β(x) les polynôme définis de la manière suivante :

$f(x) = (x- a)^q(x-b)^p,\quad \alpha(x) = \sum_{i=0}^p (-1)^i f^{(p+q -i)}(a)\cdot x^i,\quad \beta(x) = \sum_{j=0}^q (-1)^j f^{(p+q -j)}(b)\cdot x^j$

L'égalité suivante est vérifiée :

$\beta (t)\exp (bt) - \alpha(t)\exp(at) = (-1)^{p+q+1}\cdot t^{p+q+1}\cdot \int_a^b \exp(tx)f(x) dx$

L'expression précédente, appliquée entre a et b, montre l'égalité :

$t^{n+1}\int_a^b \exp (tx)\pi(x) dx = \exp (tb)\cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i\pi^{(i)}(b)t^{n-i}- \exp (ta)\cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i\pi^{(i)}(a)t^{n-i}$

L'objectif est de trouver un polynôme π(x) de degré p + q tel que π(x)⁽ⁱ⁾(a) soit nul si i est plus petit ou égal à q et π(x)⁽ⁱ⁾(b) soit nul si i est plus petit ou égal à p. Le polynôme f(x) satisfait à ces conditions. On obtient :

$t^{p+q+1}\int_a^b \exp (tx)f(x) dx = \exp (tb)\cdot \sum_{i=p}^{p+q} (-1)^if^{(i)}(b)t^{p+q-i}-\exp (ta)\cdot \sum_{i=q}^{p+q} (-1)^if^{(i)}(a)t^{p+q-i} = (-1)^{p+q+1}\Big(\alpha(t)\exp(at) - \beta (t)\exp (bt)\Big)$

La méthode consiste alors à choisir a égal à 0 et b à 1. On obtient une égalité entre deux fonctions analytiques qui permettent de déterminer les expressions de la réduite d'indice (p, q).

Si h_p,q et k_p,q sont deux fonctions définies par les égalités suivantes alors h_p,q.e^x - k_p,q est une série entière dont le premier terme est une puissance (p + q + 1)^ième de x :

L'égalité précédente au point a égal à 0 et b à 1 donne :

$\beta (t)\exp (t) - \alpha(t) = (-1)^{p+q+1}\cdot t^{p+q+1}\cdot \int_0^1 \exp(tx)f(x) dx$

La fonction qui à t, associe l'intégrale entre 0 et 1 de la fonction e^tx.f(x) est développable en série entière. Si (f_n) est la suite de ses coefficients, on obtient :

$\beta (t)\exp (t) - \alpha(t) = \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{p+q+1}f_i \cdot x^{p+q+1+i}$

Il suffit alors de montrer les égalités entre α(x) et h_p,q puis entre β(x) et k_p,q. Calculons les dérivées j^ième de la fonction f aux points 0 et 1 :

$f^{(j)}(x) = \frac {d^j}{dx^j} f(x) (x) = \sum_{i= 0 \atop i\le q,j\le p+i}^j \binom{j}{i} \frac {d^i x^q}{dx^i}\cdot \frac {d^{j-i}(x-1)^p}{dx^{j-i}}=\sum_{{i= 0 \atop i\le q,j\le p+i}}^j \binom{j}{i} \frac {q!}{(q-i)!}x^{q-i}\cdot \frac {p!}{(p+i-j)!}(x-1)^{p+i-j}$

On en déduit :

$0\le j\le p \quad f^{(q + j)}(0)= (-1)^{p-j}\cdot \frac {p!\cdot q!\cdot (q+j)!}{(p-j)!\cdot q!\cdot j!}\quad\text{et si }\quad 0\le j\le q \quad f^{(p+j)}(1)= \frac {p!\cdot q!\cdot (p+j)!}{(q-j)!\cdot p!\cdot j!}$

Ce qui montre que :

$\alpha(x) = \sum_{i=0}^p (-1)^i \cdot f^{p+q-i}(0)x^i= \sum_{i=0}^p (-1)^i (-1)^{i}\cdot \frac {p!\cdot (p+q-i)!}{i!\cdot (p-i)!}\cdot x^i = \sum_{i=0}^p \frac {p!\cdot (p+q-i)!}{(p-i)!\cdot i!}\cdot x^i$

et :

$\beta(x) = \sum_{j=0}^q (-1)^j \cdot f^{p+q-j}(1)x^j= \sum_{j=0}^q (-1)^j \cdot \frac {q!\cdot (p+q-j)!}{(q-j)!\cdot j!}\cdot x^j$

En divisant par (p + q)! on obtient :

$h_{p,q}(x) - \exp (x)k_{p,q}(x) = \sum_{i=1}^{\infty} g_i x^{p+q+1+i}\quad\text{si}\quad g_i = (-1)^{p+q+1}\cdot \frac{f_i}{(p+q)!}$

Ce qui démontre le résultat.

Une fois l'existence et l'expression de la fraction réduite déterminée, il convient de démontrer son unicité. Une fois encore, un lemme est nécessaire. Sa démonstration est de même nature que celle montrant que le numérateur et dénominateur d'une fraction réduite sont premiers entre eux.

Les polynômes h_p,q et k_p,q sont premiers entre eux :

Considérons l'expression suivante :

$k_{p,q}\cdot h_{p+1,q+1} - h_{p,q}\cdot k_{p+1,q+1} = h_{p,q}\cdot \Big( h_{p+1,q+1}\exp(x) - k_{p+1,q+1}\Big) - h_{p+1,q+1}\cdot \Big( h_{p,q}\exp(x) - k_{p,q}\Big)$

Le terme de gauche montre que l'expression correspond à un polynôme de degré p + q + 1. Le terme de droite montre que son développement en série entière possède pour premier terme, un monôme de degré p + q + 1. Il est donc égal à un mônome de degré p + q + 1. Un terme divisant à la fois h_p,q et k_p,q divise aussi ce monôme, on en déduit que le seul facteur communs aux deux polynômes qui ne soit pas inversible est un diviseur de x^p+q+1. Comme le polynôme x ne divise aucun des deux polynômes (qui ont leur terme constant égal à 1), les deux polynômes sont bien premiers entre eux.

Les polynômes h_p,q et k_p,q sont uniques :

Soit h(x) et k(x) deux polynômes de degré respectifs p et q tel que la fraction h(x) / k(x) ait un développement en série entière commun avec la fonction exponentielle sur les p + q + 1 premiers termes et tel que leurs constantes soient toutes deux égales à 1. Le développment en série entière de l'expression suivante possède comme premier terme un monôme de degré supérieur ou égal à p + q + 1.

$\Big(\exp (x) - \frac {h_{p,q}(x)}{k_{p,q}(x)}\Big) - \Big( \exp (x) - \frac {h(x)}{k(x)}\Big) = \frac {h(x)k_{p,q}(x) - h_{p,q}(x)k(x)}{k_{p,q}(x)k(x)}$

Le terme de droite est une fraction rationnelle dont le dénominateur possède pour constante 1 et le numérateur est un polynôme de degré p + q. Une telle fraction rationnelle, ne peut avoir un développement un série entière avec comme premier terme un monôme de degré supérieur ou égal à p + q + 1, que si le numérateur est nulle. Comme les polynômes h_p,q et k_p,q sont premiers entre eux, le couple (h_p,q, k_p,q) est proportionnel au couple (h, k). Comme les constantes de tous les éléments de ces couples sont égaux à 1, les couples sont égaux.

Table de Padé

Ainsi, la fonction exponentielle s'approxime par des fractions rationnelles, de manière un peu analogue à l'approximation par des polynômes avec les séries entières. Si les polynômes forment une suite, les approximants de Padé définissent un tableau à double entrée appelé table de Padé. Les premiers termes sont les suivants^[6] :

Table de Padé	0	1	2	3	…
0	$1\;$	$1 + x\;$	$1 + x + \frac {x^2}2\;$	$1 + x + \frac {x^2}2 + \frac {x^3}6\;$	…
1	$\frac 1{1 - x}$	$\frac {1 + \frac 12x}{1 - \frac 12x}$	$\frac {1 + \frac 23 x + \frac 16 x^2}{1 - \frac 13x}$	$\frac {1 + \frac 34x + \frac 14x^2 + \frac 1{24}x^3}{1 - \frac 14x}$	…
2	$\frac 1{1 - x + \frac {x^2}2}$	$\frac {1 + \frac 13x}{1 - \frac 23x+ \frac 16x^2}$	$\frac {1 + \frac 12x + \frac 1{12}x^2}{1 - \frac 12x + \frac 1{12}x^2}$	$\frac {1 + \frac 35 x + \frac 3{20}x^2 + \frac 1{60}x^3}{1 - \frac 25x + \frac 1{20}x^2}$	…
3	$\frac 1{1 - x + \frac 12x^2 - \frac 16 x^3}$	$\frac {1 + \frac 14x}{1 - \frac 34x+ \frac 14x^2 - \frac 1{24}x^3}$	$\frac {1 + \frac 25x + \frac 1{20}x^2}{1 - \frac 35x + \frac 3{20}x^2 - \frac 1{60}x^3}$	$\frac {1 + \frac 12 x + \frac 1{10}x^2 + \frac 1{120}x^3}{1 - \frac 12x + \frac 1{10}x^2 - \frac 1{120}x^3}$	…
…	…	…	…	…	…

La première ligne horizontale correspond au développement en série entière. Les lignes diagonales définies par l'égalité p + q = C, où C est une constante positive donnée, correspondent à un ensemble de fractions rationnelles dite droite d'égale approximation. On y trouve par exemple, si C est égal à 2, les couples (2,0), (1,1) et (0,2). Une fraction rationnelle de la table est dite plus avancée qu'une autre lorsque son coefficient C est plus élevé.

Le graphique suivant illustre la convergence de différentes suites extraites de la table de Padé. Ici la notation Exp[p,q] désigne la réduite d'ordre (p, q). La fonction exponentielle, notée Exp, est illustrée en rouge. La premier ligne du tableau correspond à la suite des polynômes de la série entière. Elle est illustrée en bleu et correspond à la suite Exp[1,0], Exp[2,0], Exp[3,0], etc. En vert et pointillé est illustrée la suite correspondant à la deuxième ligne de la table, elle est formée des approximants Exp[0,1], Exp[1,1], Exp[2,1], Exp[3,1], etc. En violet, on trouve les fractions de la diagonale : Exp[1,1], Exp[2,2], Exp[3,3], etc.

Différentes suites extraites de la table de Padé convergent uniformément vers la fonction exponentielle sur tout intervalle borné.

Formule de récurrence

Illustration d'une suite de réduites choisie par Lagrange pour construire une fraction continue approchant la fonction exponentielle

Padé cherche ensuite à obtenir des suites à partir de la table portant son nom. Si (p_n) et (q_n) sont deux suites croissantes de couples d'indices, l'objectif est expression sous forme de récurrence de la suite des réduites d'indice (p_n, q_n). Cette récurrence permet d'obtenir une expression des différentes réduites de la suite, ce qui n'a pas beaucoup d'intérêt dans le cas présent car les réduites sont déjà calculées, la démarche est néanmoins instructive pour comprendre le cas général. Cette récurrence est aussi une étape pour exprimer la fonction exponentielle sous forme de fractions continues. L'exemple illustrée par la figure de droite est utilisé par Lagrange pour obtenir un résultat de cette nature. Dans cet exemple, si f_n(x) désigne le n^ième terme de la suite, on a :

$f_1(x) = \exp_{[1,0]} = 1 + x,\quad f_2(x) = \exp_{[1,1]} = \frac {1 + \frac 12x}{1 - \frac 12x}= 1 + \frac x{1 - \frac 12x}$

Puis :

$f_3(x) = \exp_{[2,1]} = \frac {1 + \frac 23 x + \frac 16 x^2}{1 - \frac 13x} = 1 + \frac x{1 - \cfrac{\frac 12x}{1 + \frac 16x}}\quad\text{etc...}$

L'incrémentation des indices (p_n+1 - p_n, q_n+1 - q_n) est étudiée dans les trois cas (1,0), (0,1) et (1,1). Le premier cas correspond à un déplacement horizontal de une case, le deuxième à un déplacement vertical d'une case et le troisième à la conjonction des deux. On dispose des relations de récurrence suivantes :

Soit (f_n) une suite de réduites dont le couple de la différence des indices entre f_n+1 et f_n correspond toujours à l'un des trois cas (1,0), (0,1) ou (1,1), alors il existe une relation de récurrence de type :

$h_{(p_{n+2},q_{n+2})} =\alpha_{n+2}\cdot h_{(p_n,q_n)} + \beta_{n+2}\cdot h_{(p_{n+1},q_{n+1})}\quad\text{et}\quad k_{(p_{n+2},q_{n+2})} =\alpha_{n+2}\cdot k_{(p_n,q_n)} + \beta_{n+2}\cdot k_{(p_{n+1},q_{n+1})}$

Où α_n+2 désigne un monôme à coefficient différent de 0 et d'exposant égal à 1 ou 2, et β_n+2 un polynôme de degré 0 ou 1 et à terme constant différent de 0.

Le tableau suivant résume les trois configurations possibles :

Les flèches rouges indiquent les incréments utilisés pour passer de f_n(x) à f_n+1(x). Pour les deux premières configurations, il correspondent à (1,0) ou (0,1), c'est-à-dire que soit le degré du numérateur, soit celui du dénominateur est incrémenté de 1, pour la dernière ils sont chacun incrémentés de 1. Les flèches vertes indiquent les incréments utilisés pour passer de f_n+1 à f_n+2. L'illustration précédente indique le degré des deux polynômes α_n+2(x) et β_n+2(x) utilisés pour exprimer la formule de récurrence. Pour la configuration 3, le seul cas où β_n(x) est une constante correspond à celui ou f_n(x), f_n+1(x) et f_n+2(x) se trouvent sur la diagonale principale, d'indice un couple (p, p).

Démonstration

Dans les démonstrations de cette boite déroulante, (p_n, q_n) désigne une suite tel que l'incrément entre deux termes est toujours l'un des trois couples (1,0), (0,1) ou encore (1,1). C'est-à-dire que les différences p_n+1 - p_n et q_n+1 - q_n prennent toujours leur valeurs dans l'ensemble {0,1}. Un premier lemme permet de simplifier les démonstrations :

L'expression suivante est un monôme de degré p_n + q_n + 1 :

$(1)\quad k_{(p_n,q_n)}\cdot h_{(p_{n+1},q_{n+1})} - h_{(p_n,q_n)}\cdot k_{(p_{n+1},q_{n+1})}\;$

Par définition de la suite (p_n, q_n), l'expression (1) est un polynôme de degré le maximum entre les valeurs q_n + p_n+1 et p_n + q_n+1, le choix des incréments montre que ce degré est égal à p_n + q_n + 1.

L'expression (1) peut encore s'écrire :

$k_{(p_{n+1},q_{n+1})}\Big(k_{(p_n,q_n)}\cdot \exp(x) - h_{(p_n,q_n)}\Big)- k_{(p_n,q_n)}\Big(k_{(p_{n+1},q_{n+1})}\cdot \exp(x) - h_{(p_{n+1},q_{n+1})}\Big)$

Cette expression se développe comme la somme de deux séries entières dont la première possède pour premier terme un mônome de degré p_n + q_n + 1 et le deuxième p_n+1 + q_n+1 + 1. L'expression est donc une série entière de première terme de degré au moins égal à p_n + q_n + 1.

Ces deux considérations montrent que l'expression (1) correspond soit au polynôme nul soit à un monôme de degré p_n + q_n + 1. Le premier paragraphe sur les réduites de l'exponentielle montre que cette expression ne peut être nulle, ce qui termine la démonstration.

Il existe deux polynômes α_n+2(x) et β_n+2(x) tel que les égalités suivantes soient vérifiées. Les degrés de ces polynômes sont donnés par la figure du paragraphe :

$(2)\quad h_{(p_{n+2},q_{n+2})} = \alpha_{n+2}\cdot h_{(p_n,q_n)} + \beta_{n+2}\cdot h_{(p_{n+1},q_{n+1})}\quad\text{et}\quad k_{(p_{n+2},q_{n+2})} = \alpha_{n+2}\cdot k_{(p_n,q_n)} + \beta_{n+2}\cdot k_{(p_{n+1},q_{n+1})}$

La résolution du système (2) montre les égalités :

$\alpha_{n+2} = \frac {k_{(p_{n+2},q_{n+2})}h_{(p_{n+1},q_{n+1})} - h_{(p_{n+2},q_{n+2})}k_{(p_{n+1},q_{n+1})}}{k_{(p_{n},q_{n})}h_{(p_{n+1},q_{n+1})} - h_{(p_{n},q_{n})}k_{(p_{n+1},q_{n+1})}},\quad \beta_{n+2} = \frac {k_{(p_{n},q_{n})}h_{(p_{n+2},q_{n+2})} - h_{(p_{n},q_{n})}k_{(p_{n+2},q_{n+2})}}{k_{(p_{n},q_{n})}h_{(p_{n+1},q_{n+1})} - h_{(p_{n},q_{n})}k_{(p_{n+1},q_{n+1})}}$

Le lemme précédent montre que le dénominateur des deux fractions est un monome de degré p_n + q_n + 1. De même, le numérateur de α_n+2(x) est un monôme de degré p_n + q_n + 2 pour les configurations 1 et 2 et p_n + q_n + 3 pour la configuration 3. On en déduit que α_n+2(x) est un monôme de degré 1 pour les configurations 1 et 2 et de degré 2 pour la configuration 3.

Dans le cas de la configuration 1, le lemme montre que le numérateur de β_n+2(x) est un monôme de même degré que son numérateur. Le rapport des deux est une constante non nulle. Tous les cas, un raisonnement analogue à celui de lemme montre que le numérateur de β_n+2(x) est un polynôme dont le terme de plus petit degré est supérieur ou égal à p_n + q_n + 1, ce qui montre que β_n+2(x) est un polynôme. Dans la configuration 2, soit h_{(p_n+2,q_n+2)}, soit k_{(p_n+2,q_n+2)} est d'un degré supérieur à 2 de son homologue pour la fraction réduite f_n(x), l'autre polynôme étant de degré supérieur de 1 à celui de son homologue. Le numérateur, égal à la différence des produits est un polynôme de degré p_n + q_n + 2, ce qui montre que le polynôme β_n+2(x) est nécessairement de degré 1. Ce raisonnement s'applique encore pour la configuration 3, si les fractions f_n(x), f_n+1(x) et f_n+2(x) ne sont pas toutes sur une diagonale. S'ils le sont, β_n+2(x) possède pour numérateur la différence de deux polynômes de degré p_n + q_n + 2. Le terme de plus haut degré s'annule si et seulement si, ils sont placés sur la diagonale centrale.

La constante du polynôme β_n+2(x) n'est pas nulle :

Le polynôme β_n+2(x) s'écrit sous forme de différence de deux séries entières :

$\beta_{n+2} = \frac{k_{(p_{n+2},q_{n+2})}\Big(k_{(p_n,q_n)}\cdot \exp(x) - h_{(p_n,q_n)}\Big)}{k_{(p_{n},q_{n})}h_{(p_{n+1},q_{n+1})} - h_{(p_{n},q_{n})}k_{(p_{n+1},q_{n+1})}}- \frac{k_{(p_n,q_n)}\Big(k_{(p_{n+2},q_{n+2})}\cdot \exp(x) - h_{(p_{n+2},q_{n+2})}\Big)}{k_{(p_{n},q_{n})}h_{(p_{n+1},q_{n+1})} - h_{(p_{n},q_{n})}k_{(p_{n+1},q_{n+1})}}$

Le premier terme possède pour numérateur une série entière dont le terme de plus petit degré non nul est exactement celui du numérateur, il possède donc une constante non nulle. Le deuxième terme possède pour numérateur une série entière dont le terme de plus petit degré non nul est strictement supérieur à celui du numérateur, son coefficient constant est donc nul et la différence des deux n'est jamais nulle.

Fraction continue

La relation de récurrence permet d'écrire un approximant de Padé sous forme de fraction continue, c'est-à-dire :

$(1)\quad f_n = \alpha_0 + \frac{\alpha_1\mid}{\mid \beta_1} + \frac{\alpha_2\mid}{\mid \beta_2} + \cdots + \frac{\alpha_n\mid}{\mid \beta_n}$

Si la première fraction réduite n'est pas un polynôme, par convention on pose h_p₀ = 0, k_p₀ = 1 et f₀ = 0, ce qui ramène à une expression de la forme précédente. On définit :

$\alpha_0 = h_{(p_0,0)},\; \beta_0 = k_{(p_0,0)} = 1\quad\text{et}\quad \alpha_1 = h_{(p_1,q_1)} - k_{(p_1,q_1)}h_{(p_0,0)},\;\beta_1=k_{(p_1,q_1)}$

Si les fonctions α_n et β_n, pour n supérieur ou égal à 2, sont définis par les relations du paragraphe précédent, alors la fonction f_n vérifie bien la relation (1).

La fraction continue est dite régulière si les polynômes α_j pour j > 1 sont tous de même degré, ainsi que les polynômes β_j. Les tableaux du paragraphe précédent montrent qu'il en existe de trois types différents.

Démonstration

Montrons par récurrence la relation (1). Si n est égal à 0, la relation est vérifiée par définition. Si n est égal à 1 :

$\alpha_0 + \frac {\alpha_1}{\beta_1} = h_{(p_0,0)} + \frac {h_{(p_1,q_1)} - k_{(p_1,q_1)}h_{(p_0,0)}}{k_{(p_1,q_1)}} = \frac {h_{(p_1,q_1)}}{k_{(p_1,q_1)}}$

Supposons la relation vraie à l'ordre n - 1 et montrons là à l'ordre n.

$\alpha_0 + \frac{\alpha_1\mid}{\mid \beta_1} + \frac{\alpha_2\mid}{\mid \beta_2} + \cdots + \frac{\alpha_{n-1}\mid}{\mid \beta_{n-1} + \frac {\alpha_n}{\beta_n}} = \frac {\alpha_{n-1}h_{(p_{n-3},q_{n-3})} + \Big(\beta_{n-1} + \frac {\alpha_n}{\beta_n}\Big)h_{(p_{n-2},q_{n-2})}}{\alpha_{n-1}k_{(p_{n-3},q_{n-3})} + \Big(\beta_{n-1} + \frac {\alpha_n}{\beta_n}\Big)k_{(p_{n-2},q_{n-2})}}$

On en déduit :

$\alpha_0 + \frac{\alpha_1\mid}{\mid \beta_1} + \frac{\alpha_2\mid}{\mid \beta_2} + \cdots + \frac{\alpha_n\mid}{\mid \beta_n} = \frac {h_{(p_{n-1},q_{n-1})} + \frac {\alpha_n}{\beta_n}h_{(p_{n-2},q_{n-2})}}{k_{(p_{n-1},q_{n-1})} + \frac {\alpha_n}{\beta_n}k_{(p_{n-2},q_{n-2})}} = \frac {\beta_n h_{(p_{n-1},q_{n-1})} + \alpha_n h_{(p_{n-1},q_{n-1})}} {\beta_n k_{(p_{n-1},q_{n-1})} + \alpha_n k_{(p_{n-1},q_{n-1})}} = \frac {h_{(p_n,q_n)}}{k_{(p_n,q_n)}} = f_n$

Ce qui montre la proposition à l'ordre n.

Fraction continue du premier type

Les fractions continue du premier type s'obtiennent en considérant une suite extraite de la table de Padé selon la première configuration du paragraphe précédent.

Les fractions continues du premier type s'obtiennent avec des polynômes β réduits à des constantes et tel que le monôme α soit du premier degré. L'étude des relations de récurrence montrent qu'elles s'obtiennent nécessairement à l'aide d'une suite de réduites correspondant à la première configuration du paragraphe précédent. Quitte à remonter cette suite jusqu'au bord du tableau, on remarque qu'il en existe une pour chaque case à la frontière du tableau. Lagrange a développé celle ayant pour première réduite la fraction 1 + x. On obtient l'expression suivante :

$1 + \frac{x\mid}{\mid 1} - \frac{\frac 12 x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 16x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 16x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{14}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{14}x \mid}{\mid 1}+\cdots$

Elle correspond à la suite des réduites rouges sur la figure.

Gauss définit une fraction continue du même type. En revanche, son point initial correspond à une fraction de numérateur réduit à une constante. La fraction initiale correspond au couple (0,1), c'est-à-dire la fraction 1/(1 - x). Il est possible d'en construire d'autres de cette nature, par exemple à l'aide de la série bleue illustrée sur la figure, correspondant à la fraction initiale 1/(1 - x + x²/2 - x³/6). Le choix de Gauss correspond à la fraction continue suivante :

$\frac{1\mid}{\mid 1} - \frac{x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 13x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 16x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{6}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{14}x \mid}{\mid 1}+\cdots$

Démonstration

Pour les deux fractions continues, la constante β_n est égale à 1 :

Un calcul manuel montre que si n est égal à 0 ou 1, β_n est bien égal à 1. Le paragraphe sur la relation de récurrence montre que β_n+2 est une constante et que α_n+2 est un monôme du premier degré que l'on note a_n+2.x. On dispose de l'égalité suivante :

$\beta_{n+2}\cdot h_{(p_{n+1},q_{n+1})} = h_{(p_{n+2},q_{n+2})} - a_{n+2}\cdot xh_{(p_n,q_n)}$

Les polynômes h_{(p_n+2,q_n+2)} et h_{(p_n+1,q_n+1)} ont tout deux une constante égale à 1. En revanche, le polynôme a_n+2.x.h_{(p_n,q_n)} possède une constante égale à 0. On en déduit que β_n+2 est aussi égal à 1 si n est un entier positif quelconque.

Calcul du coefficient du monôme pour la fraction continue de Lagrange :

Un calcul manuel montre que a₁ = 1 et a₂ = -1/2. Si n est un entier strictement positif, alors (p_2n, q_2n) = (n, n) et (p_{2n + 1}, q_{2n + 1}) = (n+1, n). Considérons l'égalité suivante, déterminant le dénominateur de f_2n :

$k_{(n,n)} = k_{(n,n-1)} + a_{2n}\cdot xk_{(n-1,n-1)}$

L'égalité entre les coefficients des termes de plus haut degré montre, à l'aide de l'expression des réduites de l'exponentielle :

$(-1)^n\frac {(n!)^2}{(2n)!n!} = a_{2n}(-1)^{n-1}\frac {((n-1)!)^2}{(2n-2)!(n-1)!}\quad\text{et}\quad a_{2n} = - \frac {n!(2n-2)!}{(2n)!(n-1)!}= -\frac 1{4n-2}$

La même égalité pour f_2n+1, cette fois sur les numérateurs montre :

$h_{(n+1,n)} = h_{(n,n)} + a_{2n+1}\cdot xh_{(n,n-1)}$

Le calcul du terme de plus haut degré montre que :

$\frac {(n+1)!n!}{(2n+1)!(n+1)!}= a_{2n+1}\frac{n!(n-1)!}{(2n-1)!n!}\quad\text{et}\quad a_{2n+1} =\frac {n!(2n-1)!}{(2n+1)!(n-1)!}= \frac1{4n+2}$

Remarque : Le calcul pour expliciter la fraction continue de Gauss est exactement analogue.

Fraction continue du deuxième type

Les fractions continue du deuxième type s'obtiennent comme précédemment, mais en suivant un déplacement soit toujours vertical soit toujours horizontal.

Les fractions continues de la deuxième catégorie correspondent à la configuration 2. Elles s'obtiennent à l'aide d'un déplacement continue soit vers le bas soit vers la droite. Les numérateurs α sont des monômes du premier degré et les dénominateurs β, des polynômes du premier degré ayant une constante non nulle. Trois exemples sont illustrés sur la figure de gauche. Le plus célèbre est probablement celui d'Euler, qui correspond à suite illustrée en vert. Il correspond à la suite telle que la réduite d'ordre n est le développement limité à l'ordre n de la fonction exp(x).

On obtient l'expression suivante :

$\frac{1\mid}{\mid 1} - \frac{x \mid}{\mid 1+x} - \frac{\frac 12x \mid}{\mid 1+ \frac 12x} - \frac{\frac 13x \mid}{\mid 1+\frac 13 x} - \frac{\frac 14x \mid}{\mid 1+\frac 14x} - \cdots$

La fraction continue est décrite par les expressions suivantes :

$\alpha_n(x) = -\frac 1n x \quad\text{et}\quad \beta_n (x) = 1 + \frac 1n x$

Le travail de Padé montre que l'exemple d'Euler ne correspond qu'à un cas particulier de fraction continue de cette nature. Il en existe en fait une infinité, exactement une par case de la frontière de la table de Padé. Cette situation est d'ailleurs la même pour tous les types de fractions continues.

Démonstration

On utilise la même approche que pour les fractions du premier type, les deux premières valeurs pour α et β se vérifient manuellement. Ici, (p_n, q_n) = (n, 0), ce qui montre que k_{(p_n, q_n)} = 1. Avec les mêmes notations que celles du paragraphe précédent, la relation de récurrence sur les dénominateurs montre que, si n est plus grand que 2 :

$\beta_n = 1 - a_nx\;$

Ce qui donne la relation sur les numérateurs:

$k_{(n,0)} = (1 - a_nx)k_{(n-1, 0)} + a_nxk_{(n-2,0)}\;$

Cette relation, appliquée au monôme dominant, de coefficient égal à 1/n! pour k_(n,0) montre que :

$\frac 1{n!} = -a_n \frac 1{(n-1)!}\quad\text{et}\quad a_n = -\frac 1n$

Fraction continue du troisième type

Les fractions continue du troisième type se caractérisent par des dénominateurs égaux à des monômes du deuxième degré.

Le dernier type de configuration correspond à la troisième décrite dans le paragraphe sur les relations de récurrence. Ici, le passage d'une réduite à une autre s'obtient par un déplacement diagonale. Les monômes α sont toujours du second degré. Les polynômes β sont du premier degré, à l'exception de la fraction continue associée à la diagonale principale, en rouge sur la figure. Le terme du premier degré s'annule et l'expression est réduite à une constante.

Lagrange découvre celle associé à la série bleue sur la figure. Elle fournit l'expression suivante :

$1 + x + \frac{\frac 12x^2\mid}{\mid 1-\frac 13x} + \frac{\frac 1{36}x^2 \mid}{\mid 1-\frac 1{15}x} + \frac{\frac 1{100}x^2 \mid}{\mid 1- \frac 1{35}x} + \cdots$

Les formules exactes sont :

$\forall n\ge 3 \quad \alpha_n(x) = \frac {x^2}{4(2n-3)^2}\quad\text{et}\quad \beta_n(x) = 1 - \frac x{(2n-1)(2n-3)}$

La diagonale principale est aussi étudié par Lagrange. Elle n'est pas à proprement parlé du troisième type car les dénominateurs sont des constantes à partir de la valeur deux de l'indice; C'est l'unique exception.

$1 + \frac{x\mid}{\mid 1-\frac 12x} + \frac{\frac 1{12}x^2 \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{60}x^2 \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{140}x^2 \mid}{\mid 1}\cdots\quad\text{avec}\quad \forall n\ge 2 \quad \alpha_n(x) = \frac {x^2}{4(2n-1)(2n-3)}$

Démonstration

Calcul pour la première fraction continue :

Pour les trois premiers termes, le calcul est manuel. Ensuite, le monôme α_n est du second degré, il est noté ici a_nx² et le polynôme β_n c_n + b_n.x. La relation de récurrence sur les numérateurs montre que si n est plus grand que 1 :

$h_{(n+2,n+1)} =a_{n+2}x^2h_{(n,n-1)} + (c_{n+2} + b_{n+2}x)h_{(n+1,n)}\;$

La constante du polynôme h_(n+2,n+1) est égal à 1, d'après l'égalité précédente, elle est aussi égale à c_n+2. On en déduit que c_n+2 est égal à 1.

Le calcul du coefficient du monôme dominant correspondant à cette relation de récurrence, appliquée au numérateur ainsi qu'au dénominateur montre que :

$\text{Num.}\quad \frac {(n+1)!}{(2n+3)!} = b_{n+2}\frac {n!}{(2n+1)!} + a_{n+2}\frac {(n-1)!}{(2n-1)!}\quad\text{Denom.}\quad \frac {(n+2)!}{(2n+3)!} = -b_{n+2}\frac {(n+1)!}{(2n+1)!} + a_{n+2}\frac {n!}{(2n-1)!}$

On en déduit :

$\begin{cases} n(n+1) &= b_{n+2}\cdot n(2n+2)(2n+3) + a_{n+2}\cdot 2n(2n+1)2(n+1)(2n+3) \\ (n+2) &= -b_{n+2}\cdot (2n+2)(2n+3) + a_{n+2}\cdot 2n(2n+1)2(2n+3)\end{cases}$

En multipliant la dernière égalité par n et en additionnant les deux égalités on obtient :

$n(2n+3) = 4(2n+1)(2n+3)n(2n+1)\cdot a_{n+2} \quad\text{et}\quad a_{n+2} = \frac 1{4(2n+1)^2}$

En simplifiant la première égalité par n(n + 1) et en remplaçant a_n+2 par sa valeur, on obtient :

$1 = 2(2n+3)b_{n+2} + \frac {2n+3}{2n+1}\quad\text{et}\quad b_{n+2} = \frac {-1}{(2n+1)(2n+3)}$

Calcul pour la deuxième fraction continue :

Avec les mêmes notations que pour le calcul précédent, on a :

$h_{(n+2,n+2)} =a_{n+2}x^2h_{(n,n)} + (c_{n+2} + b_{n+2}x)h_{(n+1,n+1)}\;$

Le calcul du coefficient constant montre à nouveau que c_n+2 est égal à 1. La déterminantion du monôme dominant donne :

$\text{Num.}\quad \frac {(n+2)!}{(2n+4)!} = b_{n+2}\frac {(n+1)!}{(2n+2)!} + a_{n+2}\frac {n!}{(2n)!}\quad\text{Denom.}\quad \frac {(n+2)!}{(2n+4)!} = -b_{n+2}\frac {(n+1)!}{(2n+2)!} + a_{n+2}\frac {n!}{(2n)!}$

En soustrayant les deux égalités, on obtient le fait que b_n+2 est égal à 0 puis :

$a_{n+2} = \frac {(2n)!(n+2)!}{(2n+4)!n!} = \frac {(n+1)(n+2)}{(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)} =\frac 1{4(2n+1)(2n+3)}$

Convergence des réduites

Les fractions continues des trois types précédents, sont toutes uniformément convergentes sur les intervalles réels bornées ou les disques complexes de rayons finis. De manière plus précise, on dispose de la propriétés :

Soit (p_n) et q_n) deux suites croissantes à valeurs positives et entières dont l'une au moins tend vers l'infini, si le rapport p_n / q_n tend vers une limite, finie ou infinie, la suite de fractions rationnelles h_{(p_n, q_n)} / k_{(p_n, q_n)} converge uniformément sur tout ensemble borné.

Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers des séries entières. Si p_n / q_n à pour limite ω, alors :

$\lim_{n \to \infty} h_{(p_n,q_n)}(x) = \exp \left(\frac {\omega x}{1 + \omega}\right)\quad \text{et}\quad \lim_{n \to \infty} k_{(p_n,q_n)}(x) = \exp \left(\frac {-x}{1 + \omega}\right)$

Si p_n croît infiniment plus que q_n, alors le numérateur tend vers la fonction exponentielle et le dénominateur vers la fonction constante 1.

Démonstration

Pour démontrer cette proposition, on suppose dans un premier temps que la suite p_n /q_n est convergente vers une limite ω.

Si a_k,n et b_k,n désignent les coefficients des termes du k^ièmes degré polynômes h_{(p_n, q_n)} et k_{(p_n, q_n)}, alors :

$\lim_{n \to \infty} a_{k,n} = \frac 1{k!}\left(\frac {\omega}{1+\omega}\right)^k \quad\text{et}\quad \lim_{n \to \infty} b_{k,n} = \frac 1{k!}\left(\frac {-1}{1+\omega}\right)^k$

En effet, désignons par ω_n le rapport h_{p_n} / k_{q_n}, qui est nécessairement défini à partir d'une certaine valeur de n, sinon le rapport h_{p_n} / k_{q_n} n'aurait pas de limite. On dispose des égalités :

$\forall n > k \quad a_{n,k} = \frac {p_n!\cdot (p_n+q_n -k)!}{(p_n-k)!\cdot (p_n+q_n)!\cdot k!}\quad\text{et}\quad b_{n,k} = (-1)^k\frac {q_n!\cdot (p_n+q_n -j)!}{(q_n-j)!\cdot (p_n+q_n)!\cdot k!}$

Ce qui s'écrit encore :

$\forall n > k \quad a_{n,k} = \frac 1{k!} \prod_{i=0}^{k-1} \frac {p_n -i}{p_n + q_n -i}\quad\text{et}\quad b_{n,k} = \frac{(-1)^k}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\frac {q_n-i}{p_n+q_n -i}$

En utilisant les égalités suivantes

$\frac {p_n -i}{p_n + q_n -i} = \frac {\omega_n}{1+\omega_n} - \frac {ip_n}{(p_n+q_n)(p_n+q_n -i)}\quad\text{et}\quad \frac {q_n -i}{p_n + q_n -i} = \frac {1}{1+\omega_n} - \frac {iq_n}{(p_n+q_n)(p_n+q_n -i)}$

On remarque que chaque facteur des deux produits est la différence d'une valeur et d'un terme qui tend vers 0 si n tend vers l'infini. Comme la fonction qui, à k termes associe leur produit est continue, les limites recherchées prennent bien la valeur annoncée.

Soit E un ensemble borné, A un majorant de la borne de E et ε un réel strictement positif.

Les deux suites (h_{(p_n, q_n)}(x)) et (k_{(p_n, q_n)}(x)) converge uniformément sur E ainsi que leur rapport :

La série entière associée à exp(x) converge normalement (c'est-à-dire que la série des valeurs asolues converge uniformément) sur tout ensemble borné. On en déduit l'existence d'un entier naturel N₁ tel que :

$\forall x \in E,\;\forall m > N_1 \quad \sum_{k=m}^{\infty} \left| \frac {x^k}{k!} \right|< \frac {\epsilon\exp (-A)}6 ,\; \sum_{i=m}^{\infty} \left|\frac {(-x)^k}{k!}\right|< \frac {\epsilon\exp (-A)}{12} ,\; \sum_{k=m}^{\infty} \left| \frac 1{k!}\left(\frac{\omega x}{1 + \omega}\right)^k \right|< \frac {\epsilon\exp(-A)}6 \;et\; \sum_{k=m}^{\infty} \left| \frac 1{k!}\left(\frac{-x}{1 + \omega}\right)^k \right|< \frac {\epsilon\exp (-A)}{12}$

Soit m un entier plus grand que N₁, on a :

$\left| h_{(p_n,q_n)}(x) - \exp\left(\frac {\omega x}{1 + \omega}\right)\right| = \left| \sum_{i=0}^{p_n} \frac {p_n!\cdot (p_n+q_n -i)!}{(p_n-i)!\cdot (p_n+q_n)!\cdot i!} \cdot x^i - \sum_{i=0}^{\infty}\frac 1{i!}\left(\frac{\omega x}{1 + \omega}\right)^i \right| \le R_{n,m} + S_{n,m} + T_m$

avec :

$R_{n,m} = \sum_{i=0}^m \frac {A^i}{i!}\left|\frac {p_n!\cdot (p_n+q_n -i)!}{(p_n-i)!\cdot (p_n+q_n)!} - \left(\frac{\omega}{1 + \omega}\right)^i \right|,\; S_{n,m} =\sum_{i=m}^{p_n} |a_{i,n}x^i|< \sum_{i=m}^{\infty} \frac {|x|^i}{i!}< \frac{\epsilon\exp(-A)}6 \;\text{et}\; T_m = \sum_{i=m}^{\infty} \left| \frac 1{i!}\left(\frac{\omega x}{1 + \omega}\right)^i \right|< \frac{\epsilon\exp(-A)}6$

La proposition précédente montre qu'il existe N tel que si n est choisi plus grand que N, alors R_n,m est, en valeur absolue (ou en module dans le cas complexe) plus petit que εexp(-A)/6. On en déduit :

$\forall x \in E,\;\forall n > N \quad \left| h_{(p_n,q_n)}(x) - \exp\left(\frac {\omega x}{1 + \omega}\right)\right| < \frac{\epsilon\exp(-A)}2$

Et, de manière analogue :

$\forall x \in E,\;\forall n > N \quad \left| k_{(p_n,q_n)}(x) - \exp\left(\frac {-x}{1 + \omega}\right)\right| < \frac{\epsilon\exp(-A)}4$

De plus, comme la limite exp(-x/(1+ ω)) n'est pas nulle, on peut supposer que :

$\forall x \in E,\;\forall n > N \quad \left| \frac {\exp\left(\frac {x}{1 + \omega}\right)}{k_{(p_n,q_n)}(x)}\right| < 2$

Une fois ces majorations obtenues, la convergence uniforme se déduit simplement :

$\forall x \in E,\;\forall n > N\quad \left|\frac {h_{(p_n,q_n)}}{k_{(p_n,q_n)}} - \exp(x)\right| = \left|\frac {h_{(p_n,q_n)}}{k_{(p_n,q_n)}} - \frac {\exp\left(\frac {\omega x}{1+\omega}\right)}{\exp\left(\frac {-x}{1+\omega}\right)}\right| \le \left|\frac {h_{(p_n,q_n)}}{k_{(p_n,q_n)}} - \frac {h_{(p_n,q_n)}}{\exp\left(\frac {-x}{1+\omega}\right)}\right| + \left|\frac {h_{(p_n,q_n)}}{\exp\left(\frac {-x}{1+\omega}\right)} - \frac {\exp\left(\frac {\omega x}{1+\omega}\right)}{\exp\left(\frac {-x}{1+\omega}\right)}\right|$

Il suffit alors de remarquer que :

$\left|\frac {h_{(p_n,q_n)}}{k_{(p_n,q_n)}} - \frac {h_{(p_n,q_n)}}{\exp\left(\frac {-x}{1+\omega}\right)}\right| = \left|h_{(p_n,q_n)}\right|\cdot \left|k_{(p_n,q_n)} - \exp\left(\frac {-x}{1+\omega}\right)\right|\cdot \left|\frac{\exp\left(\frac x{1+\omega}\right)}{k_{(p_n,q_n)}}\right| \le \exp(A)\cdot \frac{\epsilon\exp(-A)}4\cdot 2 = \frac{\epsilon}2$

et que :

$\left|\frac {h_{(p_n,q_n)}}{\exp\left(\frac {-x}{1+\omega}\right)} - \frac {\exp\left(\frac {\omega x}{1+\omega}\right)}{\exp\left(\frac {-x}{1+\omega}\right)}\right| = \left|\frac 1{\exp\left(\frac {-x}{1+\omega}\right)}\right|\cdot \left|h_{(p_n,q_n)} - \exp\left(\frac {-x}{1+\omega}\right)\right| \le \exp (A)\cdot \frac{\epsilon\exp(-A)}2 = \frac{\epsilon}2$

pour conclure.

Cas où p_n croît infiniment plus que q_n :

Des calculs analogues aux précédents montrent que a_n,k tend vers 1/k! et a_n,k vers 0 sauf si k est égal à 0 et la suite est constante égale à 1.

Les majorations du cas précédent permettent de conclure que le numérateur tend uniformément vers la fonction exponentielle sur E et le dénominateur vers 1.

Notes

Références

↑ L. Euler, Introductio in analysin infinitorum t. 1 par. 368-373 Lire en Pdf 1748
↑ J.-L. Lagrange Sur l’usage des fractions continues dans le Calcul intégral Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres t. 4 p. 301 (1779)
↑ C. F. Gauss Disquisitiones generales circa superficies curvas Œuvres t. 3 p. 123 (1827)
↑ H. Padé Mémoire sur les développements en fractions continues de la fonction exponentielle Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure Sér. 3 pp 395-426 (1899) Lire en Pdf
↑ H. Padé Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne 1892
↑ Cette table est extraite de l'article de H. Padé : Sur les fractions approchées d'une fonction par des fractions rationnelles Annales scientifique de l'ENS. 3^ième série tome 9 p 16 1892

Liens externes

(fr) Approximants de Hermite-Padé, déterminants d’interpolation et approximation diophantienne S. Khémira thèse de l'Université de Jussieu

Bibliographie

C. Brezinski & M. R. Zaglia, Extrapolation Methods: Theory and Practice, North-Holland 1991 (ISBN 0444888144)
G. A. Baker & P. Graves-Morris, Padé Approximants Encyclopedia of Mathematics and its Applications N° 59 2^nd Ed 1996 (ISBN 0521450071)

Portail de l'analyse

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Approximant de Padé de la fonction exponentielle de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

Approximant De Padé — Le concept de l article doit son nom à Henri Padé (1863 1953) un mathématicien français. En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, l approximant de Padé est une méthode d approximation d une fonction analytique par … Wikipédia en Français
Approximant de Pade — Approximant de Padé Le concept de l article doit son nom à Henri Padé (1863 1953) un mathématicien français. En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, l approximant de Padé est une méthode d approximation d une fonction… … Wikipédia en Français
Approximant de padé — Le concept de l article doit son nom à Henri Padé (1863 1953) un mathématicien français. En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, l approximant de Padé est une méthode d approximation d une fonction analytique par … Wikipédia en Français
Fonction exponentielle (mathématiques élémentaires) — Exponentielle Pour les articles homonymes, voir Exp. Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu) … Wikipédia en Français
Fonction exponentielle — Exponentielle Pour les articles homonymes, voir Exp. Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu) … Wikipédia en Français
Approximant de Padé — Le concept de l article doit son nom à Henri Padé (1863 1953) un mathématicien français. En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, l approximant de Padé est une méthode d approximation d une fonction analytique par une fonction… … Wikipédia en Français
Fonction exponentielle — Pour les articles homonymes, voir Exponentielle. Courbe représentative de la fonction En mathématiques, la fon … Wikipédia en Français
Fonction Rationnelle — En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans un ensemble K. En pratique, cet ensemble est généralement (ensemble des réels) ou (ensemble des complexes). Si P et Q sont deux fonctions polynômes et … Wikipédia en Français
Fonction rationnelle — En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans un ensemble K. En pratique, cet ensemble est généralement (ensemble des réels) ou (ensemble des complexes). Si P et Q sont deux fonctions polynômes et … Wikipédia en Français
Henri Padé — Naissance 17 décembre 1863 Abbeville (France) Décès 9 juillet 1953 (à 89 ans) Aix e … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Approximant de Padé de la fonction exponentielle

Sommaire

Réduite de la fonction exponentielle

Table de Padé

Formule de récurrence