Mesure De Haar

Mesure De Haar

Mesure de Haar

Une mesure de Haar sur un groupe topologique localement compact séparable G est une mesure borélienne positive λ invariante par translation à gauche. Autrement dit, pour toute partie borélienne B de G, et pour tout g dans G, on a :

μ(gB) = μ(B).

L'existence d'une mesure de Haar λ est assurée dans tout groupe localement compact et séparable. Elle est extérieurement régulière et finie sur les parties compactes de G. De plus, toute mesure borélienne complexe invariante par translations à gauche s'écrit α.λ où α est un nombre complexe. Bien qu'elle ne soit définie qu'à un coefficient multiplicateur près, de nombreux ouvrages parlent, par abus de langage, de la mesure de Haar. Cet usage est justifié pour un groupe compact ou pour un groupe discret, où des normalisations peuvent être effectuées.

Sommaire

Exemples

  • Par définition, la mesure de Lebesgue sur un espace euclidien E est l'unique mesure invariante par les isométries et valant 1 sur tout cube engendré par les vecteurs d'une base orthonormée. Invariante par translations, la mesure de Lebesgue est donc une mesure de Haar. Sa définition dépend cependant du choix de la structure euclidienne.
  • Sur un groupe discret, la mesure de comptage est une mesure de Haar.
  • Sur le groupe R+*, la mesure dx/x est une mesure de Haar.

Preuves de l'existence

Groupe de Lie

Article détaillé : Groupe de Lie.

Sur toute variété différentielle orientée M de dimension n, une n-forme différentielle définit une mesure sur M. Un groupe de Lie G est une variété différentielle munie d'une loi de groupe différentiable. Il est connu que G est parallélisable, a fortiori orientable : toute base de l'espace tangent TeG définit par translation à gauche un champ de base invariant à gauche sur G. De fait, toute n-forme sur l'espace tangent TeG définit une unique n-forme différentielle invariante par translation à gauche : la mesure borélienne correspondante est une mesure de Haar sur G.

Groupe topologique compact

Article détaillé : Groupe topologique compact.

L'existence d'une mesure de Haar sur un groupe topologique compact peut être déduite du théorème du point fixe de Kakutani.

Comme le groupe G est compact, λ(G) est finie, et quitte à effectuer une normalisation, il est possible de supposer λ de probabilité.

Groupe topologique localement compact et séparable

Preuve de l'unicité

Note historique

La notion de « mesure de Haar » a été introduite par Alfréd Haar en 1933, ainsi que la démonstration de son existence[1]. La démonstration de son « unicité » a été faite par John von Neumann en 1935[2].

Notes

  1. ↑ Haar (A.), Der Maassbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen, Annals of Mathematics (II), t.34 (1933), p 147.
  2. ↑ Neumann (J. von), The uniqueness of Haar's measure, Math. Sbornik, t 1/43 (1936), p 721


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