Endomorphisme de Frobenius

En mathématiques, l'endomorphisme de Frobenius, nommé ainsi en l'honneur de Georg Ferdinand Frobenius, est un endomorphisme d'anneau commutatif défini de façon naturelle à partir de la caractéristique.

Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la théorie de Galois, soit dans le cas des corps de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des corps finis et dans la théorie des corps de classe. Si le corps est fini, il s'agit alors d'un automorphisme.

Il est généralement utilisé en théorie algébrique des nombres, par exemple pour la démonstration de la loi de réciprocité quadratique.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Applications
- 3.1 Polynôme et séparabilité
- 3.2 Polynôme minimal et corps fini
4 Références
5 Voir aussi
- 5.1 Liens externes

Définition

Soit A un anneau commutatif unitaire ayant pour caractéristique un nombre premier $p>0\,$ . L'endomorphisme de Frobenius est l'application définie par:

$\begin{matrix}Frob_A &:& A& \to& A\\ && x &\mapsto &x^p\end{matrix}$

Elle est souvent notée Frob s'il n'y a pas d'ambiguïté et Frob_A dans le cas contraire.

Un élément de Frobenius est une puissance de l'endomorphisme de Frobenius pour la loi de composition des applications.
L' automorphisme de Frobenius désigne l'endomorphisme de Frobenius s'il est bijectif.

Si l'endomorphisme de Frobenius est bijectif, il en est de même pour chaque élément de Frobenius, l'ensemble des éléments forment alors un sous-groupe du groupe des bijections de l'anneau, d'où la définition suivante:

Dans le cas de la bijection, le groupe de Frobenius est l'ensemble des éléments de Frobenius munis de la loi de composition des applications.

Propriétés

Morphisme

L'endomorphisme de Frobenius est un morphisme d'anneau.

Les propriétés de morphismes multiplicatifs sont évidentes, en effet, comme l'anneau est commutatif:

$\forall a,b \in A \quad Frob_A(a.b)=(a.b)^p=a^p.b^p=Frob_A(a).Frob_A(b)$

De plus si a est un élément inversible de l'anneau, alors:

$Frob_A(a^{-1})=a^{-p}=(a^p)^{-1}=Frob_A(a)^{-1}\;$

Pour la structure de groupe additif la formule du binôme de Newton montre l'égalité suivante:

$\forall a,b \in A \quad Frob_A(a+b)=(a+b)^p=\sum_{k=0}^p {p \choose k} a^{n-k} b^k$

Or l'analyse des diviseurs des coefficients binomiaux montre que tous sont des multiples de p à l'exception du premier et du dernier (cf Diviseurs et coefficients binomiaux). Ce résultat est la conséquence de l'égalité suivante, comme p ne divise pas k il divise le coefficient du binôme d'après le lemme d'Euclide :

$k.{p \choose k}=p.{p-1 \choose k-1}$ .

Cette propriété montre que:

$\forall a,b \in A \quad Frob_A(a+b)=(a+b)^p=a^p+b^p=Frob_A(a)+Frob_A(b)$

Si p est différent de deux, alors comme il est premier il n'est pas multiple de 2. En conséquence:

$Frob_A(-a)=(-a)^p=-(a^p)=-Frob_A(a)\;$

Si p est égal à deux, alors tout élément est égal à son opposé et Frob_A(-a) est encore égal à -Frob_A(a).

Injectivité et surjectivité

Si l'anneau A est intègre alors l'endomorphisme de Frobenius est injectif.

Si l'anneau est intègre, alors par définition zéro n'admet pas de diviseur autre que lui-même. En conséquence une puissance d'un élément est nul si et seulement si cet élément est nul.

Dans le cas ou la structure est finie, alors l'injectivité impose la surjectivité car l'ensemble de départ est le même que celui d'arrivée. L'application est alors une permutation. Ce qui démontre la proposition suivante:

Si l'anneau A est intègre et fini, l'endormorphisme est une bijection. On parle alors d'automorphisme de Frobenius

Point fixe

Le corps premier $\mathbb F_p$ possède pour éléments les itérés de l'unité. C'est un corps premier à p éléments (cf corps fini). Comme P^* est un groupe à p - 1 éléments, le petit théorème de Fermat s'applique, en conséquence:

$\forall a \in \mathbb F_p \quad a^p=a \quad ou \quad Frob_A(a)=a\;$

La démonstration est la même que celle du petit théorème de Fermat, le théorème de Lagrange indique que tout sous-groupe d'un groupe fini divise le cardinal du groupe. En conséquence le groupe monogène engendré par a, un élément du corps premier, est un groupe d'ordre d un diviseur de p -1 et a^d = 1 et donc a^p-1 = 1.

Tout élément du corps premier est invariant par l'endormorphisme de Frobenius.

Dans le cas ou l'anneau est intègre, alors le polynôme X^p - X ne peut posséder plus de racines que son degré. Il possède donc exactement les racines de son corps premier.

Si l'anneau est intègre les seuls points fixes de l'endormorphisme de Frobenius sont les éléments du corps premier.

Une conséquence directe est le fait suivant:

L'endormorphisme de Frobenius est un endomorphisme d'espace vectoriel sur A ou A est considéré comme un $\mathbb F_p$ espace vectoriel.

La dernière proposition se traduit de la manière suivante:

$\forall (\alpha_i) \in \mathbb F_p^n \; \forall (u_i) \in A^n \quad Frob_A(\sum_{i=1}^n \alpha_i.u_i)=\sum_{i=1}^n \alpha_i.Frob_A(u_i)$

Cette dernière égalité donne l'identité remarquable sur les polynômes à coefficients dans $\mathbb F_p$ :

$\forall P[X] \in \mathbb F_p[X] \quad P[X^p]=(P[X])^p$

Théorie de Galois

Articles détaillés : Corps fini et Théorie des corps de classe.

Dans le cas des corps commutatifs de caractéristique p ou p est premier, l'endomorphisme de Frobenius apparaît comme un élément du groupe de Galois. Comme ce groupe est essentiel à la compréhension de la structure du corps. Il représente un outil largement utilisé.

Dans le cas des corps finis, toutes les extensions sont séparables d'après le paragraphe précédent, elles sont aussi normales et donc en conséquence galoisiennes. L'automorphisme de Frobenius apparaît alors comme le générateur du groupe de Galois. Cette raison amène la définition suivante:

Un élément de Frobenius est un élément du groupe engendré par l'endomorphisme de Frobenius.

Tout élément du groupe de Galois est donc un élément de Frobenius dans le cas des corps finis. Si le corps est fini, alors il est une extension finie de $\mathbb F_p$ , si n est sa dimension, alors le cardinal du corps est pⁿ et le groupe de Galois est d'ordre n. Il existe alors n éléments de Frobenius formant un groupe cyclique.

Le sous-corps des éléments invariants par un élément de Frobenius d'ordre l est le sous-corps $\mathbb F_q$ ou q est égal à $p n / l$ . Toutes ces propriétés sont démontrées dans l'article sur les corps finis.

Dans le cas des extensions infinies, les éléments de Frobenius jouent aussi un rôle majeur. Ils sont particulièrement utilisés pour comprendre comment les idéaux premiers se décomposent dans les extensions abéliennes.

Applications

Les applications sont nombreuses, l'endomorphisme de Frobenius apparaît comme un outil indispensable pour l'analyse des anneaux intègres de caractéristique p si p est premier. On peut citer comme exemple l'analyse de la séparabilité ou encore celles des polynômes minimaux dans un corps fini.

Polynôme et séparabilité

Article détaillé : Extension séparable.

L'objet est ici de démontrer le théorème :

Un corps commutatif de caractéristique p est parfait si et seulement si son endomorphisme de Frobenius est bijectif.

dont se déduit le corollaire suivant, dû au fait que l'endomorphisme de Frobenius est bijectif sur tout corps fini (cet endomorphisme est bien défini car un tel corps est commutatif d'après le théorème de Wedderburn) :

Tout corps fini est parfait.

Avant de se limiter au cas d'un corps, on peut remarquer que pour tout anneau commutatif intègre de caractéristique p, l'ensemble A[X] des polynômes à coefficients dans A est aussi un anneau intègre et de caractéristique p. L'endomorphisme Frob_A[X] est donc défini et injectif. Les propriétés de morphisme permettent de déduire la propriété suivante :

$\forall (a_i) \in A^{n+1} \quad Frob_{A[X]}\left(\sum_{i=0}^n a_i.X^i\right)=\sum_{i=0}^n a_i^p.X^{pi}\;$

Ainsi, l'image de Frob_A[X] est constituée des polynômes de la forme Q(X^p) avec Q polynôme à coefficients dans l'image de Frob_A.

Supposons désormais que A est un corps commutatif de caractéristique p. Un polynôme de A[X] est dit séparable s'il n'admet pas de racine multiple dans son corps de décomposition. (Par exemple, un élément de l'image de Frob_A[X] n'est pas séparable, puisque c'est une une puissance p-ième ; donc un multiple d'un tel élément non plus.) Dans le cas où le polynôme est irréductible, la caractérisation suivante est démontrée dans l'article Extension séparable :

Un polynôme irréductible P(X) de A(X) est séparable si et seulement s'il n'existe pas de polynôme Q(X) dans A[X] tel que l'on ait l'égalité P(X)=Q(X^p).

Par conséquent, si Frob_A est bijectif, un polynôme irréductible est non séparable si et seulement s'il appartient à l'image de Frob_A[X]. Mais cette éventualité est exclue, car les éléments de l'image de Frob_A[X] sont par définition des puissances p-ièmes, donc sont réductibles. On a ainsi montré que si un corps de caractéristique p admet un endomorphisme de Frobenius bijectif, alors tous les polynômes irréductibles sur ce corps sont séparables, et donc le corps est parfait.
Réciproquement, si Frob_A n'est pas bijectif, il existe dans A un élément a qui ne possède pas de racine p-ième. Considérons le polynôme P(X)=X^p-a, et r une racine dans un corps de rupture L. Alors (X-r)^p=P(X) donc P(X) n'est pas séparable. Montrons qu'il est cependant irréductible sur A. Soit D(X) un diviseur irréductible de P(X) dans l'anneau A[X]. On a alors D(X)=(X-r)^k dans L[X] pour un certain entier k, qui est strictement supérieur à 1 (puisque r n'est pas dans A) et D(X) n'est donc pas séparable. Alors la caractérisation ci-dessus de la séparabilité pour les polynômes irréductibles en caractéristique p garantit l'existence d'un polynôme Q(X) tel que D(X)=Q(X^p), et donc, son degré k est un multiple de p, d'où k=p, ce qui est le résultat attendu : il existe donc sur A un polynôme irréductible non séparable, si bien que le corps n'est pas parfait.

Polynôme minimal et corps fini

Dans le cas des corps finis, l'automorphisme de Frobenius permet la détermination de tous les polynômes minimaux. Dans ce paragraphe, le corps considéré est $\mathbb F_q$ où q est égal à pⁿ avec p premier et n un entier strictement positif. $\mathbb F_q$ est considéré comme une extension de $\mathbb F_p$ et l'objectif est la détermination des polynômes minimaux des éléments de $\mathbb F_q$ .

L'automorphisme Frobⁿ est égal à l'identité, ce qui montre que le polynôme X^q - X a pour racines tous les éléments de $\mathbb F_q$ . Ce polynôme a pour degré le cardinal du corps, en conséquence l'ordre de multiplicité de chaque racine est exactement un. Ceci démontre que :

Chaque polynôme minimal d'un élément $\mathbb F_q$ apparaît une et une seule fois dans le polynôme X^q - X. En conséquence tout polynôme irréductible différent de X divise un cyclotomique.

La définition suivante permet d'affiner l'analyse :

Deux éléments de $\mathbb F_q$ sont dits conjugués si et seulement s'ils ont même polynôme minimal.

La conjugaison apparaît comme une classe d'équivalence sur $\mathbb F_q$ . Le cardinal d'une classe d'équivalence est égal au degré du polynôme minimal associé. Les propriétés de morphismes de l'application de Frobenius montre l'égalité suivante :

$\forall P[X] \in \mathbb F_p[X] \; \forall l \in \mathbb Z \quad Frob^l (P[X])=P[Frob^l(X)]$

On en déduit que l'image d'une racine d'un polynôme minimal M[X] par un élément de Frobenius est une racine de M[X]. Réciproquement l'image d'une racine par un élément de Frobenius est annulée par M[X], et M[X] est un polynôme irréductible unitaire. En conclusion, les classes de conjugaisons sont les ensembles constitués par les différentes images d'un élément par les itérés du groupe de Frobenius.

Les classes d'équivalences de la relation de conjugaison sont les orbites de l'action de groupe du groupe des éléments de Frobenius.

Il devient alors possible de déterminer exactement le nombre de polynômes minimaux pour de degré n ainsi que le nombre de polynômes primitifs, c’est-à-dire les polynômes dont les racines engendrent toute le groupe multiplicatif du corps. Un élément a de $\mathbb F_q$ admet un polynôme minimal si et seulement si $\mathbb F_p[a]$ est égal à $\mathbb F_q$ . Sinon $\mathbb F_p[a]$ apparaît comme un espace vectoriel sur $\mathbb F_p$ dont la dimension divise celle de $\mathbb F_q$ (cf Extension algébrique). En conclusion :

Soit p un nombre premier et n un entier strictement positif. Le nombre de polynômes à coefficients dans $\mathbb F_p$ irréductibles et de degré n est égal à la fraction de numérateur q moins le nombre d'éléments de $\mathbb F_q$ appartenant aussi à un de ses sous-corps stricts et de dénominateur n où q est égal à pⁿ.

L'article sur les corps finis montre qu'un élément de $\mathbb F_q$ est primitif si et seulement s'il est généraleur du groupe mutiplicatif $\mathbb F_q^*$ . Il existe donc φ(p^d -1) éléments primitifs. Ce qui démontre la proposition suivante:

Soit p un nombre premier et n un entier strictement positif. Le nombre de polynômes à coefficients dans $\mathbb F_p$ primitifs et de degré n est égal à d ^-1φ(p^d -1) si φ désigne l'indicatrice d'Euler.

Deux exemples sont donnés dans le paragraphe Polynôme irréductible de l'article corps fini.

Références

Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
G. Heuzé, Sur les corps finis, Mathématiques et Sciences Humaines, 1974
André Warusfel, Structures algébriques finies, Hachette Université, 1971

Voir aussi

Liens externes

(fr) Codes géométriques et algébrique et arithmétique sur les corps finis par le Centre de Mathématiques de l'École Polytechnique
(fr) Corps finis par David A. Madore
(fr) Corps finis par les mathématiques.net
(fr) corps finis et automorphisme de Frobenius par le Ceremade de l'université de Paris-Dauphine
(fr) signature et Frobenius par le Ceremade de l'université de Paris-Dauphine

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