Convergence simple

Convergence simple

En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme et le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.

Contre-exemple : les fonctions continues en vert fn(x)=sinn(x) convergent simplement vers la fonction discontinue en rouge.

Sommaire

Convergence simple d'une suite de fonctions

Définition

Soient X un ensemble quelconque, Y un espace topologique, et (f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions définies sur X et à valeurs dans Y.

  • On dit que la suite de fonctions (f_n)_{n\in\N} converge simplement si :
    pour tout x \in X, la suite (f_n(x))_{n\in\N} converge dans Y.
  • Si l'application f: X\to Y est telle que
    pour tout x\in X, la suite (f_n(x))_{n\in\N} converge vers f(x),
    on dit que la suite d'applications (f_n)_{n\in\N} converge simplement vers l'application f.

Remarques

  • L'ensemble de départ X n'est pas supposé muni d'une structure topologique.
  • Si l'espace d'arrivée Y est supposé séparé, alors l'éventuelle limite simple d'une suite de fonctions à valeurs dans Y est toujours unique.
  • Si Y est même un espace métrique, c'est-à-dire muni d'une distance d et de la topologie déduite, alors on peut traduire la notion de convergence simple en termes de « epsilon » :
    Une suite (fn)n de fonctions converge simplement sur A vers une fonction f si et seulement si :
    \forall x \in A,\forall \epsilon >0, \exists N_{\epsilon,x}, \forall n \in \N, n \ge N_{\epsilon,x} \Rightarrow d(f_n(x),f(x))<\epsilon.

Topologie faible

Article détaillé : Topologie produit.

Définition

L'ensemble des applications de X dans Y est noté YX. Il existe sur cet ensemble une topologie, qu'on appelle parfois topologie faible, pour laquelle la convergence des suites n'est autre que la convergence simple. Cette topologie peut être définie à l'aide d'une base de topologie ou plus directement comme topologie produit. La première méthode est la suivante :

Soient x un point de X et V un ouvert de Y. On note W(x, V) l'ensemble des applications f de X dans Y tel que f(x)∊V. L'ensemble des intersections finies de W(x, V) quand x parcourt X et V parcourt les ouverts de Y forment une base de topologie de la topologie faible. C'est-à-dire que les ouverts sont des réunions d'éléments de cette base.

Remarques

  • La convergence simple d'une suite de fonctions est équivalente à sa convergence pour la topologie faible.
  • Si l'ensemble X est infini non dénombrable alors YX (muni de la topologie faible) n'est pas métrisable[1], ni même séquentiel[2], donc la remarque précédente ne suffit pas à caractériser sa topologie.
  • D'après le théorème de Tychonov, si Y est compact alors YX aussi.

Propriétés

La topologie faible est un critère de convergence peu contraignant comme son nom l'indique. Il existe donc moins de propriétés que dans le cas de la convergence uniforme par exemple.

  • La convergence uniforme implique la convergence simple. La démonstration découle directement des définitions. En revanche la réciproque est fausse comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
  • La convergence simple ne conserve pas la continuité, comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
  • Dans le cas où l'ensemble de départ est un espace mesurable et où l'ensemble d'arrivée est le corps des réels alors la convergence simple peut indiquer la convergence pour la norme L1 avec l'ajout de certaines hypothèses décrites dans les articles Théorème de convergence monotone et Théorème de convergence dominée.
  • Le passage à la limite pour l'intégrale des limites simples a contribué à motiver l'introduction par Henri Lebesgue de sa notion de fonction mesurable. La préservation de l'intégrabilité locale n'est en effet pas vrai au sens de Riemann employé dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Riemann.

Notes

  1. ↑ Alors que l'espace de Cantor et le cube de Hilbert, produits dénombrables, sont métrisables.
  2. ↑ Sauf bien sûr si la topologie sur Y est grossière.

Voir aussi


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