- Convergence ponctuelle
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Convergence simple
En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme et le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.
Sommaire
Définition
Convergence simple
- Soient et deux espaces topologiques, soit une suite de fonctions définies sur à valeurs dans . On dit que la suite de fonctions converge simplement si :
-
- , la suite converge dans
- Si l'application est telle que on dit que la suite de fonctions converge simplement vers la fonction , ou que f est 'limite simple' de la suite .
Remarque
Si l'espace Y est supposé séparé, l'éventuelle limite simple d'une suite de fonctions à valeurs dans Y est toujours unique.
Il convient également de remarquer que la topologie de l'espace de départ X n'intervient pas du tout dans la définition : on peut donc se passer de structure topologique sur celui-ci, et définir cette notion pour tout ensemble X.
Topologie faible
Définition
Il existe une topologie associée à la convergence simple, on l'appelle en général topologie faible. Cette topologie est souvent définie à l'aide d'une base de voisinages. On la définit de la manière suivante:
Soit une fonction de dans deux espaces topologiques tel que soit séparé. Soit un élément de tel que soit définie en . On considère alors une base de voisinage de pour la topologie de . À chaque élément de on associe le sous ensemble des fonctions de dans définies en et tel que soit élément de . L'union de tous les ensembles de type quand parcourt l'ensemble des fonctions et parcourt le domaine de définition de forme une base de voisinage. La topologie associée est appelée la topologie faible.
Remarques
On peut démontrer que la convergence simple d'une suite de fonctions est équivalent à la convergence pour la topologie faible de la suite.
Si n'est pas un ensemble fini, alors il n'existe pas de distance associée à cette topologie. Nous savons en effet que tout espace métrique est muni d'une topologie déduite. Cette topologie ne peut jamais être la topologie faible.
Propriétés
La topologie faible est un critère de convergence peu contraignant comme son nom l'indique. Il existe donc moins de propriétés que dans le cas de la convergence uniforme par exemple.
- La convergence uniforme implique la convergence simple. La démonstration découle directement des définitions. En revanche la réciproque est fausse comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
- La convergence simple ne conserve pas la continuité, comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
- Dans le cas où l'ensemble de départ est un espace mesurable et où l'ensemble d'arrivée est le corps des réels alors la convergence simple peut indiquer la convergence pour la norme L1 avec l'ajout de certaines hypothèses décrites dans les articles Théorème de convergence monotone et Théorème de convergence dominée.
- Le passage à la limite pour l'intégrale des limites simples a contribué à motiver l'introduction par Henri Lebesgue de sa notion de fonction mesurable. La préservation de l'intégrabilité locale n'est en effet pas vrai au sens de Riemann employé dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Riemann.
Convergence simple dans un espace métrique
On suppose maintenant que est un espace métrique, c'est-à-dire que est muni d'une distance et de la topologie qui lui est associée. On sait d'abord qu'un espace métrique est toujours séparé. On peut alors traduire la notion de convergence simple en termes de « epsilon »:
Une suite de fonctions converge simplement sur vers une fonction si et seulement si :
Voir aussi
- convergence uniforme
- limite (mathématiques)
- Théorème d'Egoroff
- Théorème de la limite simple de Baire
- Portail des mathématiques
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