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Théorème de convergence dominée
Le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.
Sommaire
Le théorème de convergence dominée
Théorème — Soit
une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré
, à valeurs dans
ou
telle que :
- La suite de fonctions
converge simplement vers une fonction
sur E.
- Il existe une fonction
telle que :
Alors
et
ce qui entraîne :
La démonstration de ce théorème repose principalement sur le lemme de Fatou.
DémonstrationCommençons par montrer que
:
puisque
est limite simple d'une suite de fonctions mesurables, elle est mesurable et comme pour tout
on a
, par passage à la limite,
donc
.
Ensuite, on adonc on peut appliquer le lemme de Fatou,
et comme
alors,
d'où
et donc on en déduit :
Généralisation
En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :
Théorème — Soit
une suite de fonctions mesurables sur
, un espace mesuré, à valeurs dans
ou
telle que :
- La suite de fonctions
admet une limite presque partout , c'est-à-dire,
existe presque partout
- Il existe une fonction
telle que :
,
μ- presque partout.
Alors
Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.
DémonstrationSoit
, alors
pour tout
car ces ensembles sont négligeables. En posant
on a toujours
et ainsi on peut redéfinir fk = 0 sur N ce qui permet de se ramener au théorème de convergence dominée dans le cas simple.
Remarque :
Dans le cas d'une mesure de probabilité la première hypothèse peut être modifiée en :
- La suite de fonctions
converge en probabilité vers une fonction mesurable f.
Exemple d'application
Si
, sa transformée de Fourier
est continue La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque
; le théorème de convergence dominée permet de voir que
est séquentiellement continue, donc continue.
Voir aussi
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