Forme sesquilineaire

Forme sesquilineaire

Forme sesquilinéaire

En algèbre, une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe E est une application de E × E dans \mathbb C, linéaire selon l'une des variables et antilinéaire (aussi dit semi-linéaire) par rapport à l'autre variable. Elle possède donc une propriété de « un-et-demi » linéarité (cf. sesqui). C'est l'équivalent complexe aux formes bilinéaires réelles.

Les formes sesquilinéaires les plus étudiées sont les formes hermitiennes. Parmi celle-ci, les formes hermitiennes définies positives permettent de munir E d'un produit scalaire et ouvrent à l'étude des espaces hermitiens, des espaces préhilbertiens complexes et des espaces de Hilbert.

Définitions et conventions

Les conventions diffèrent quant au choix de l'argument qui est linéaire. Le choix ci-dessus (première variable : linéaire, deuxième variable : antilinéaire) est plus courant en mathématiques (peut-être pas universel), mais le choix opposé est utilisé par tous les physiciens, ceci étant dû à l'origine à l'utilisation de la notation bra-ket.

Forme antilinéaire : Soit E un \mathbb C-espace vectoriel, l'application φ de E dans \mathbb C est antilinéaire si et seulement si :

Elle respecte l'addition et presque la multiplication scalaire : pour tous x, y de E, pour tout λ de \mathbb C : \varphi (x + \lambda y) = \varphi(x) + \bar \lambda \varphi(y)\,

Forme sesquilinéaire : L'application f de E × E → \mathbb C est une forme sesquilinéaire si et seulement si :

a) Elle est linéaire à droite : pour tout x, y, y' de E, pour tout λ de \mathbb C : f(x,y+\lambda y') = f(x,y) + \lambda f(x,y')\,
b) Elle est antilinéaire à gauche, ce qui signifie que pour tout x, x', y de E, pour tout λ de \mathbb C : f(x+ \lambda x',y) = f(x,y) + \overline{\lambda} f(x',y) où \overline{\lambda} est le conjugué de λ.

Forme hermitienne : c'est une forme sesquilinéaire qui vérifie la propriété de symétrie hermitienne

c) Pour tous x et y de E, f(y,x) = \overline{f(x,y)}
En particulier : f(x,x) = \overline{f(x,x)}, donc f(x,x) est un réel.

Forme hermitienne définie positive : c'est une forme hermitienne telle que

d) Pour tout x de E, f(x,x) \ge 0
e) Pour tout x de E, f(x,x) = 0\, implique x = 0\,

Une forme hermitienne définie positive est encore appelée produit scalaire (sous-entendu au sens complexe).

Exemples

  • En dimension finie, on prouve que les seules formes sesquilinéaires sont celles définies par

f(x,y) =^t \overline X AY où X et Y sont les vecteurs colonnes, coordonnées de x et y dans la base (e1,...,en), et où A est la matrice définie par a_{i,j} = f(e_i,e_j)\,. L'ensemble des formes sesquilinéaires dans un ensemble de dimension n est donc en bijection avec l'ensemble des matrices carrée n \times n.

  • Soit B un ensemble non vide et \mathbb C^B le \mathbb C-espace vectoriel des applications de B dans \mathbb C, et soient a et b deux éléments de B. La forme fa,b définie par f_{a,b}(x,y) =\overline{ x(a)}y(b) est une forme sesquilinéaire.
  • Dans un espace métrique, le produit interne (scalaire) est sesquilinéaire. Pour tout x, y, z de E et pour tout a, u de \mathbb C on a :
  1. (ax+uy|z) = a(x|z) + u(y|z)
  2. (x|ay+uz) = â(x|y) + û(y|z) où â et û sont respectivement les complexes conjugués de a et u.

Articles connexes

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre bilinéaire
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