Équations de Navier-Stokes

Pour les articles homonymes, voir Stokes.

En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrivent le mouvement des fluides « newtoniens » (visqueux) dans l’approximation des milieux continus. Elles modélisent par exemple les mouvements de l'air de l'atmosphère, les courants océaniques, l'écoulement de l'eau dans un tuyau, et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de fluides. Elles sont nommées d'après deux physiciens du XIX^e siècle, Claude Navier et George Stokes. Pour un gaz peu dense, il est possible de dériver ces équations à partir de l’équation de Boltzmann.

La résolution des équations de Navier-Stokes constitue l'un des problèmes du prix du millénaire^[1].

Sommaire

1 Lois de conservation
- 1.1 Formulation différentielle
- 1.2 Expression en coordonnées cartésiennes
2 Loi de comportement du fluide
3 Interprétation
4 Origine du terme d'advection
5 Notes et références
6 Annexes
- 6.1 Bibliographie
- 6.2 Articles connexes

Lois de conservation

Formulation différentielle

Il existe bien des formes des équations de Navier-Stokes. Nous n'en présenterons que certaines. Ces formes dépendent aussi des notations utilisées. Ainsi, il existe plusieurs façons équivalentes d'exprimer les équations de conservation en termes d’opérateurs différentiels.

La formulation différentielle de ces équations en coordonnées cartésiennes est :

Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse) $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div} (\rho \vec{v}) = 0$

Équation de bilan de la quantité de mouvement $\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \operatorname{div} \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\mathrm{grad}} (p) + \operatorname{div} (\overline{\overline {\tau}}) + \rho \vec{f}$

Équation de bilan de l'énergie $\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \operatorname{div} \left[ \; \left(\rho e + p\right) \vec{v} \; \right] = \operatorname{div} \left( \overline{\overline {\tau}} \cdot \vec{v} \right) + \rho \vec{f} \cdot \vec{v} - \operatorname{div} (\vec{\dot{q}}) + r$

Dans ces équations :

$t$ représente le temps (unité SI : $s$ ) ;

$ρ$ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg⋅m^-3) ;

$\vec{v} = ( v_1, v_2, v_3 )$ désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m⋅s^-1) ;

$p$ désigne la pression (unité SI : $Pa$ ) ;

$\overline{\overline{\tau}} = \left( \tau_{i,j} \right)_{i,j}$ est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : $Pa$ ) ;

$\vec{f}$ désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : N⋅kg^-1) ;

$e$ est l'énergie totale par unité de masse (unité SI : J⋅kg^-1) ;

$\vec{\dot{q}}$ est le flux de chaleur perdu par conduction thermique (unité SI : J⋅m^-2⋅s^-1) ;

$r$ représente la perte de chaleur volumique due au rayonnement (unité SI : J⋅m^-3⋅s^-1).

Remarques :

L'énergie totale peut se décomposer en énergie interne $u$ et en énergie cinétique selon $e = u + \frac{1}{2} \; \vec{v} \cdot \vec{v} = u + \frac{1}{2} \; v^2$
L'opérateur nabla, $\overrightarrow{\nabla} = \left(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3}\right)$ en coordonnées cartésiennes, est un opérateur de dérivation spatiale du 1^er ordre. Les opérateurs gradient, divergence et laplacien peuvent s'écrire à l'aide de cet opérateur :
- $\mathrm{div} \; \vec{a} = \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{a}$ ;
- $\overrightarrow{\mathrm{grad}} \; A = \overrightarrow{\nabla} A$ ;
- $\Delta \; A = \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \overrightarrow{\nabla} A \right) = \nabla^2 A$ .

Expression en coordonnées cartésiennes

En coordonnées cartésiennes $(x 1, x 2, x 3)$ , les équations de conservation s'écrivent :

Équation de continuité : $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} ( \rho v_i )= 0$

Équation de bilan de la quantité de mouvement ( $j = 1,2,3$ ) $\frac{\partial \left( \rho v_j \right)}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\rho v_i v_j \right) = -\frac{\partial p}{\partial x_j} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \tau_{i,j}}{\partial x_i} + \rho f_j$

Équation de bilan de l'énergie $\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \left(\rho e + p\right) v_i \right] = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left( \tau_{i,j} v_j \right) + \sum_{i=1}^3 \rho f_i v_i - \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial x_i} + r$

Loi de comportement du fluide

Fluide newtonien, hypothèse de Stokes

En première approximation, pour de nombreux fluides usuels comme l'eau et l'air, le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel à la partie symétrique du tenseur des taux de déformation (hypothèse du fluide newtonien) et le flux de chaleur est proportionnel au gradient de la température (loi de Fourier), c'est-à-dire

$\overline{\overline {\tau}} = \mu \left[ \left( \overrightarrow{\nabla} \otimes \vec{v} \right) + \left( \overrightarrow{\nabla} \otimes \vec{v} \right)^t \right] + \eta \left( \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{v} \right) \; \overline{\overline {I}}$

$\vec{\dot{q}} = - \lambda \overrightarrow{\nabla} T$

où :

$μ$ désigne la viscosité dynamique du fluide (unité SI : $Po$ (Poiseuille), 1 Po = 0,1 Pa⋅s) ;
$η$ désigne la viscosité de volume du fluide (unité SI : $Po$ ) ;
$\overline{\overline {I}}$ désigne le tenseur unité ;
$λ$ désigne la conductivité thermique du fluide (unité SI : $W.K - 1 .m - 1$ ) ;
$T$ désigne la température (unité SI : $K$ ).

L'ensemble des fluides pour lesquels cette hypothèse est vérifiée sont appelés fluides newtoniens. On lui adjoint généralement l’hypothèse de Stokes :

$3 \eta + 2 \mu = 0~$ .

Cette hypothèse se révèle totalement fausse mais est couramment utilisée dans l'aéronautique.

Remarque

De nombreux fluides, tels que les polymères, les hydrocarbures lourds, le miel, ou encore la pâte de dentifrice, ne vérifient pas ces hypothèses : on recourt alors à d'autres lois de comportement visqueux, dites non-newtoniennes (par exemple la loi du fluide de Bingham). La science chargée d'étudier les relations entre contrainte et déformation pour de tels fluides s'appelle la rhéologie.

Expression pour les écoulements de fluides compressibles

L'écoulement d'un fluide est dit incompressible lorsque l'on peut négliger ses variations de masse volumique au cours du temps. Cette hypothèse est vérifiée lorsque le nombre de Mach $M a$ est faible. En général, on considère l'écoulement incompressible lorsque $M a < 0.3$ . Dans le cas contraire, c'est-à-dire pour un écoulement compressible, on adjoint pour fermer le système une équation d'état du fluide, de la forme

$f(p,\rho, T) = 0\,$

Pour un gaz parfait, cette équation d'état s'écrit

$p = \rho \frac{R}{M} T$

où $R$ désigne la constante des gaz parfaits et $M$ la masse molaire du fluide.

Expression pour les écoulements de fluides incompressibles

Pour un fluide visqueux newtonien et lorsque l'écoulement est incompressible, l'équation de l'énergie est découplée des équations de continuité et de quantité de mouvement, c'est-à-dire qu'on peut déterminer la vitesse et la pression indépendamment de l'équation de l'énergie. L'expression des équations de continuité et de quantité de mouvement sont considérablement simplifiées. On obtient alors

Équation de continuité appelée alors équation d'incompressibilité $\overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{v}= 0$

Équation de bilan de la quantité de mouvement $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \overrightarrow{\nabla} p + \nu \nabla^2 \vec{v}+ \vec{f}$

où $\nu = \tfrac{\mu}{\rho}$ désigne la viscosité cinématique du fluide (unité SI : $m 2 .s - 1$ ) et $(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\nabla})\vec{v}$ est le terme de convection.

que l'on peut décomposer en coordonnées cartésiennes :

${\partial v_x \over \partial x} + {\partial v_y \over \partial y} + {\partial v_z \over \partial z} = 0$

$\frac{\partial v_x}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y}+ v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left(\frac{\partial^2 v_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v_x}{\partial z^2}\right) + g_x$

$\frac{\partial v_y}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_y}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_y}{\partial y}+ v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left(\frac{\partial^2 v_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v_y}{\partial z^2}\right) + g_y$

$\frac{\partial v_z}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_z}{\partial y}+ v_z \frac{\partial v_z}{\partial z}= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + \nu \left(\frac{\partial^2 v_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v_z}{\partial z^2}\right) + g_z$

Interprétation

L'équation de conservation de la quantité de mouvement se déduit de la relation fondamentale de la dynamique (aussi appelée seconde loi de Newton) : $m \vec{a} = \Sigma\vec{F}$ en l'appliquant dans le contexte des milieux continus.

Le membre de droite fait apparaître deux types de forces :

Les forces intérieures (ou contraintes) :

liés à la pression, qui existent même lorsque le fluide n'est pas en mouvement (on parle de contrainte hydrostatique).
liés à la viscosité, qui traduisent la résistance du fluide à la déformation. Le terme contenant la viscosité de volume $η$ disparaît si le fluide est incompressible : les déformations se font alors à volume constant (on parle de fluide isovolume).

Les forces extérieures :

Les efforts volumiques, qui peuvent être des forces de gravité ( $\vec{f}=\vec{g}$ ) ou électromagnétiques ( $\scriptstyle\vec{f}=\frac{q}{\rho}(\vec{E}+\vec{v}\wedge\vec{B})$ ) par exemple.
Les efforts surfaciques, qui correspondent la plupart du temps aux conditions aux limites imposées par un obstacle ou une paroi solide.

Le membre de gauche exprime l'accélération du fluide.

Pour comprendre d'où provient cette expression, il est utile de rappeler que deux points de vue peuvent être adoptés pour décrire le mouvement dans un milieu continu :

La description lagrangienne suit chaque particule le long de sa trajectoire : la valeur d'une variable (température, pression, vitesse...) dépend de l'instant $t$ et de la particule considérée (identifiée par sa position $\vec{\xi}$ à l'instant $t 0$ de référence).
La description eulérienne est associée à un repère indépendant du mouvement du fluide, généralement fixe : la valeur des variables fluides dépend alors du temps t et de la position d'observation $\vec{x}$ .

La description lagrangienne est peut-être plus intuitive mais revêt un inconvénient majeur pour décrire les fluides : contrairement aux solides, les particules peuvent se déplacer librement dans la totalité d'un domaine fluide. L'analyse d'un écoulement est alors une tâche très ardue (on ne peut même pas exprimer un gradient par exemple, car on ne connait pas les particules voisines !). On préfère donc très largement utiliser un point de vue eulérien pour décrire le mouvement d'un fluide. La difficulté réside alors dans le fait que la conservation de la quantité de mouvement est physiquement vérifiée uniquement si l'on considère une particule fluide. Or la particule $\vec{\xi}$ (variable de Lagrange) coïncidant avec le point d'observation $\vec{x}$ (variable d'Euler) change à chaque instant t. En termes plus imagés, le randonneur qui observe un point fixe de la rivière n'a jamais les mêmes particules fluides sous les yeux. En particulier, il n'y a aucune raison pour qu'au point $\vec{x}$ il voie la même particule aux instants

t

t + δ t

. Comment peut-il alors calculer la vitesse ou l'accélération de la particule fluide qu'il a instantanément sous les yeux ?

A la lumière des explications ci-dessus, on peut justement interpréter le membre de gauche comme l'expression de l'accélération d'une particule fluide $\vec{\xi}$ exprimée à l'aide des variables d'Euler $\vec{x}$ . Il s'agit de ce que l'on appelle la dérivée particulaire de la vitesse, à laquelle on doit recourir pour établir les équations de conservation en formulation eulérienne :

$\frac{Dv}{Dt} = \left \lfloor \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right \rfloor _{\xi} = \left \lfloor \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right \rfloor _{x} + \vec{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} \vec{v}$

On voit apparaître deux termes :

la dérivée locale $\tfrac{\partial\vec{v}}{\partial t}$ qui caractérise l'évolution temporelle intrinsèque de la variable vitesse (nulle si écoulement stationnaire)
la dérivée convective $\vec{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} \vec{v}$ qui caractérise la modification de la variable due à son déplacement vers une région différente (nulle si le champ est uniforme)

La résolution de l'équation de Navier-Stokes est extrêmement difficile. Elle reste l'une des grandes énigmes mathématiques non résolues à ce jour. Elle fait partie des Problèmes du prix du millénaire. À la complexité inhérente aux équations aux dérivées partielles couplées (vitesse, pression, voire température si le fluide est compressible) s'ajoute la non-linéarité du terme d'auto-advection de la vitesse, à l'origine du phénomène de turbulence.

Les écoulements rampants (viscosité infinie) ainsi que les écoulements potentiels (viscosité nulle) permettent parfois de résoudre analytiquement un problème (simple) de mécanique des fluides. Le reste du temps, on a recours à des simulations numériques.

$\star$ ATTENTION: une particule fluide ne correspond pas à une molécule seule ! Au contraire, une des hypothèses de base de la mécanique des milieux continus est que le nombre de Knudsen est très faible. Autrement dit, une particule fluide est un volume élémentaire contenant un nombre suffisamment important de molécules pour que la définition d'une vitesse d'ensemble ou d'une température moyenne ait un sens. Par contre, la particule fluide est très petite devant les dimensions caractéristiques du domaine considéré, de sorte qu'on peut l'assimiler à un point matériel $\vec{\xi}$ .

Origine du terme d'advection

Le terme d'advection caractéristique des équations de Navier-Stokes a une origine mathématique simple inhérente à la relation entre une différentielle totale exacte et les dérivées partielles. En effet, pour une particule fluide l'accélération est donnée par:

$\frac{\mathrm d\rho\vec{v}}{\mathrm dt} = \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial t} + \sum_i \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial x_i}\frac{\mathrm d x_i}{\mathrm d t}$

avec $ρ$ la densité du fluide, $\vec{v}$ le vecteur vitesse et ${x i}$ les coordonnées spatiales considérées.

En coordonnées cartésiennes on obtient donc:

$\frac{\mathrm d\rho\vec{v}}{\mathrm dt} = \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial t} + \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial x}\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} + \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial y}\frac{\mathrm d y}{\mathrm d t} + \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial z}\frac{\mathrm d z}{\mathrm d t} = \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial t} + v_x\frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial x} + v_y\frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial y} + v_z\frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial z}$

En coordonnées cylindriques de même on obtient:

$\frac{\mathrm d\rho\vec{v}}{\mathrm dt} = \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial t} + \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial r}\frac{\mathrm d r}{\mathrm d t} + \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial \theta}\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t} + \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial z}\frac{\mathrm d z}{\mathrm d t} = \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial t} + v_r\frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial \theta} + v_z\frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial z}$

En coordonnées sphériques:

$\frac{\mathrm d\rho\vec{v}}{\mathrm dt} = \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial t} + \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial r}\frac{\mathrm d r}{\mathrm d t} + \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial \theta}\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t} + \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial \phi}\frac{\mathrm d \phi}{\mathrm d t} = \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial t} + v_r\frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r \sin\theta}\frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial \theta} + \frac{v_\phi}{r}\frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial \phi}$

Quelles que soient les coordonnées, on retrouve donc le terme d'advection:

$\frac{\mathrm d\rho\vec{v}}{\mathrm dt} = \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial t} + \left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)\rho\vec{v} = \frac{\partial\rho\vec{v}}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right)$

Comme souvent, la formulation de l'accélération sous forme de dérivées partielles permet une recherche plus facile de solutions à des problèmes particuliers, l'intégration de dérivées partielles étant grandement facilitée en comparaison des équations comportant des différentielles totales exactes. Ici cette démarche conduit à l'apparition du terme d'advection qui rend compte du transport de matière, découplé de la variation intrinsèque de la vitesse dû à des forces externes au fluide.

Notes et références

↑ (en) Navier-Stokes Equation, Clay Mathematics Institute.

Annexes

Bibliographie

A. Bonnet et J. Luneau, Aérodynamique : Théories de la Dynamique des Fluides, Éditions Cépaduès, septembre 1989, 544 p.
E. Guyon, J.-P. Hulin et L. Petit, Hydrodynamique Physique, CNRS Editions Juin 2001 673p.

Articles connexes

v · Mécanique des fluides
Fluides	Fluide caloporteur • Fluide de Stokes • Fluide hydraulique • Fluide incompressible • Fluide parfait • Fluide électrorhéologique
Écoulements	Écoulement complexe • Écoulement de Couette • Écoulement de Poiseuille • Écoulement incompressible • Écoulement laminaire • Écoulement torrentiel • Écoulement polyphasique
Équations	Équations de Navier-Stokes • Théorème de Bernoulli •Équation de Darcy-Weisbach • Équation de Prony • Équation de Rankine-Hugoniot • Équation de Schlichting • Écoulement de Stokes • Équations d'Euler • Équation de continuité • Équations primitives atmosphériques
Nombres	Nombre d'Archimède • Nombre capillaire • Nombre d'Ekman • Nombre d'Ellis • Nombre de Bond • Nombre de Bulygin • Nombre de Cameron • Nombre de Fedorov • Nombre de Froude • Nombre de Galilée • Nombre de Grashof • Nombre de Goucher • Nombre de Hartmann • Nombre de Hedström • Nombre de Hersey • Nombre de Karlovitz • Nombre de Kutateladze • Nombre de Lewis • Nombre de Mach • Nombre d'Ohnesorge • Nombre de Prandtl • Nombre de Rayleigh • Nombre de Reech • Nombre de Reynolds • Nombre de Rossby • Nombre de Rouse • Nombre de Schmidt • Nombre de Stewart • Nombre de Strouhal • Nombre de Taylor • Nombre de Weber

v · Problèmes du prix du millénaire
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