Description Lagrangienne

Description Lagrangienne

Description lagrangienne

Pour décrire mathématiquement les propriétés d'un fluide en mouvement, deux systèmes cohabitent, l'un et l'autre présentant des avantages dans des situations particulières. Il s'agit de la description lagrangienne et de la description eulérienne.

La description lagrangienne consiste à observer les modifications des propriétés d'une particule fluide que l'on suit dans son mouvement.

Dans le cadre de cette description, et ρ désignant la densité du fluide, \rho(\overrightarrow{x},t) désigne la densité du fluide qui, initialement (temps 0), était à la position \overrightarrow{x} et se trouve désormais (temps t) en \overrightarrow{X}(\overrightarrow{x},t)... mais cela peut bien sûr s'appliquer à n'importe quelle autre fonction décrivant une propriété locale du fluide.

Cette description donne une bonne idée de ce qui se passe dans le fluide, par exemple, si \frac{d\rho}{dt}<0, alors on peut affirmer que le fluide s'étend (la densité de la particule fluide baisse). La dérivée droite \frac{d}{dt} est réservée à la description lagrangienne. En particulier, on peut faire un bilan des forces s'appliquant à la particule fluide que l'on suit, et appliquer la relation fondamentale de la dynamique en écrivant que la somme des forces vaut la masse de la particule fluide multipliée par son accélération, écrite comme \frac{d\overrightarrow{u}}{dt} où \overrightarrow{u} = \frac{d\overrightarrow{X}}{dt} est la vitesse.

L'inconvénient de cette méthode est que le référentiel se déplace avec le fluide, et donc, qu'il est difficile de connaître l'état du fluide en un point donné de l'espace et du temps.


Le lien entre la description lagrangienne et la description eulérienne est démontré ici en 1D : Pendant l'intervalle de temps dt, une particule fluide s'est déplacée de (x,t) à (x+vdt,t+dt), donc on peut écrire

\frac{df}{dt} dt = f(x+vdt,t+dt)-f(x,t)

\frac{df}{dt} dt = f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial x} v dt + \frac{\partial f}{\partial t} dt -f(x,t)

\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x}

... que l'on généralise en 3D à :

\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad} f

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