Équation aux dérivées partielles

En mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles.

Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire (à une seule variable) ; les problèmes incluent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions. Alors que les ensembles de solutions d'une équation différentielle ordinaire sont paramétrées par un ou plusieurs paramètres correspondant aux conditions supplémentaires, dans le cas des EDP les conditions aux limites se présentent plutôt sous la forme de fonction ; intuitivement cela signifie que l'ensemble des solutions est beaucoup plus grand, ce qui est vrai dans la quasi-totalité des problèmes.

Les EDP sont omniprésentes dans les sciences, puisqu'elles apparaissent aussi bien en dynamique des structures, mécanique des fluides que dans les théories de la gravitation ou de l'électromagnétisme (équations de Maxwell). Elles sont primordiales dans des domaines tels que la simulation aéronautique, la synthèse d'images, ou la prévision météorologique. Enfin, les équations les plus importantes de la relativité générale et de la mécanique quantique sont également des EDP.

L'un des sept problèmes du prix du millénaire consiste à montrer l'existence et la continuité par rapport aux données initiales d'un système d'EDP appelé équations de Navier-Stokes. Ces équations servent énormément en mécanique des fluides.

Sommaire

1 Introduction
2 Notations
- 2.1 En mathématiques
- 2.2 En physique
3 Exemples d'EDP
4 Méthodes de résolution numérique
5 Articles connexes
6 Bibliographie

Introduction

Une équation différentielle très simple est :

$\frac{\partial u}{\partial x}=0\,$

où u est une fonction inconnue de x et y. Cette relation implique que les valeurs u(x,y) sont indépendantes de x. Les solutions de cette équation sont :

$u(x,y) = f(y),\,$

où f est une fonction de y.

L'équation ordinaire :

$\frac{du}{dx}=0\,$

a pour solution :

$u(x) = c,\,$

avec c une valeur constante (indépendante de x). Ces deux exemples illustrent qu'en général, la solution d'une équation différentielle ordinaire met en jeu une constante arbitraire, tandis que les équations aux dérivées partielles mettent en jeu des fonctions arbitraires. Une solution des équations aux dérivées partielles n'est généralement pas unique.

Trois catégories importantes d'EDP sont les équations aux dérivées partielles linéaires et homogènes du second-ordre dites elliptiques (en), hyperboliques (en) et paraboliques (en).

Notations

En mathématiques

Pour les EDP, par souci de simplification, il est d'usage d'écrire u la fonction inconnue et D_xu (notation française) ou u_x (notation anglo-saxonne, plus répandue) sa dérivée partielle par rapport à x, soit avec les notations habituelles du calcul différentiel :

$u_x = {\part u \over \part x}$

et pour les dérivées partielles secondes :

$u_{xy} = {\part^2 u \over \part x\, \part y}$

En physique

Les opérateurs de l'analyse vectorielle sont utilisés.

Résumé d'analyse vectorielle

L'opérateur nabla $\left[ \vec{\nabla} = \left(\begin{array}{c} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z}\end{array}\right)\right] \$ représente le jeu des dérivées partielles d'ordre 1

Pour une fonction vectorielle $\vec{u}\left(x,y,z,t\right) = \left(\begin{array}{c} u_x\left(x,y,z,t\right) \\ u_y\left(x,y,z,t\right) \\ u_z\left(x,y,z,t\right) \end{array}\right)$ , en lui appliquant le produit scalaire par $\vec{\nabla}$ , on définit la divergence:

$\ \vec{\nabla}\cdot \vec{u}\left(x,y,z,t\right)= \left(\begin{array}{c} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z}\end{array}\right) . \left(\begin{array}{c} u_x \\ u_y \\ u_z \end{array}\right) = \frac {\partial u_x}{\partial x}+ \frac {\partial u_y}{\partial y} + \frac {\partial u_z}{\partial z} \equiv {\rm div} \, \vec{u}$

En utilisant le produit vectoriel, on définit le rotationnel

$\ \vec{\nabla} \wedge \vec{u}\left(x,y,z,t\right) = \left(\begin{array}{c} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z}\end{array}\right) \wedge \left(\begin{array}{c} u_x \\ u_y \\ u_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac {\partial u_z}{\partial y} - \frac {\partial u_y}{\partial z} \\ \frac {\partial u_x}{\partial z} - \frac {\partial u_z}{\partial x} \\ \frac {\partial u_y}{\partial x} - \frac {\partial u_x}{\partial y}\end{array}\right) \equiv \overrightarrow{{\rm rot}}\, \vec{u} \equiv \overrightarrow{{\rm curl}}\, \vec{u}$

Pour une fonction qui à tout point de l'espace associe un nombre scalaire, $u\left(x,y,z,t\right)$ , on définit le gradient:

$\ \vec{\nabla} \, u\left(x,y,z,t\right)= \left(\begin{array}{c} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z}\end{array}\right) . u\left(x,y,z,t\right) = \left(\begin{array}{c} \frac {\partial u}{\partial x} \\ \frac {\partial u}{\partial y} \\ \frac {\partial u}{\partial z}\end{array}\right) = \overrightarrow{{\rm grad}}\, u$

On utilise également l'opérateur Laplacien, analogue de la divergence pour la dérivation d'ordre 2

$\Delta \equiv \nabla^2 = \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} + \frac {\partial^2} {\partial z^2}$

voir aussi l'opérateur Laplacien vectoriel

Exemples d'EDP

Équation de Laplace

L'équation de Laplace est une EDP de base très importante :

${\part^2 u \over \part x^2} + {\part^2 u \over \part y^2} + {\part^2 u \over \part z^2} = 0$

où u(x,y,z) désigne la fonction inconnue.

En notation d'analyse vectorielle, en utilisant l'opérateur laplacien $Δ$

Soit $\psi \equiv u\left(x,y,z,t\right) \$ , fonction d'onde.

$\Delta \psi \ = \ 0$

Équation de propagation (ou équation des cordes vibrantes)

Cette EDP, appelée équation de propagation des ondes, décrit les phénomènes de propagation des ondes sonores et des ondes électromagnétiques (dont la lumière). La fonction d'onde inconnue est notée u(x,y,z,t), t représentant le temps :

${\part^2 u \over \part x^2} + {\part^2 u \over \part y^2} + {\part^2 u \over \part z^2} = {1 \over c^2} {\part^2 u \over \part t^2}$

Le nombre c représente la célérité ou vitesse de propagation de l'onde u.

En notation d'analyse vectorielle, en utilisant l'opérateur laplacien $Δ$ :

Soit $\psi \equiv u\left(x,y,z,t\right) \$ , fonction d'onde.

$\Delta \psi \ = - \ {1 \over c^2} {\part^2 \psi \over \part t^2}$

Équation d'onde, forme générale
Onde $~\psi$		Partie longitudinale		Partie transversale		Propagation		Dissipation
$~\Delta \psi$	$\ =$	$\overrightarrow{\textrm{grad}}\left[\textrm{div} \ \psi \right]$	$\ -$	$\overrightarrow{\textrm{rot}}\left[\overrightarrow{\textrm{rot}} \ \psi\right]$	$\ =$	${ 1 \over c^2} {\part^2 \psi \over \part t^2}$	$\ +$	${1 \over \alpha} {\part \psi \over \part t}$

Voir aussi onde sismique, onde mécanique, Son, Onde sur une corde vibrante, Onde stationnaire dans un tuyau, Equations de Maxwell

Équation de Fourier

${\part^2 u \over \part x^2} + {\part^2 u \over \part y^2} + {\part^2 u \over \part z^2} = {1 \over \alpha}{\part u \over \part t}$

Cette EDP est également appelée équation de la chaleur. La fonction u représente la température. La dérivée d'ordre 1 par rapport au temps traduit l'irréversibilité du phénomène. Le nombre $α$ est appelé diffusivité thermique du milieu.

En notation d'analyse vectorielle, en utilisant l'opérateur laplacien $Δ$ :

Soit $\psi \equiv u \left(x,y,z,t\right) \$ , fonction d'onde de température.

$\Delta \psi \ = \ {1 \over \alpha } {\part \psi \over \part t}$

Équation de Poisson

En utilisant l'opérateur laplacien $Δ$ :

Soient $\psi\left(x,y,z,t\right) \$ , fonction d'onde et $\rho\left(x,y,z,t\right)$ densité de charge.

$\Delta \psi \ = - 4\pi\rho$

Équation d'onde de Langmuir

Soient $\psi\left(x,y,z,t\right) \$ , fonction d'onde et $\rho\left(x,y,z,t\right)$ densité de charge.

$\Delta \psi \ = {1 \over c^2 }. { \part^2 \psi \over \part t^2} - { \rho \over \epsilon }$

Cette équation décrit des ondes électriques longitudinales en propagation dans un plasma.

Équation de Stokes

L'équation de Stokes décrit l'écoulement d'un fluide newtonien incompressible en régime permanent et à faible nombre de Reynolds, s'écrit :

$\eta \Delta \vec{v} = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p - \rho \vec{f}$ ,

Notations :

$\vec{v} (\vec{r})$ est la vitesse du fluide ;
$p (\vec{r})$ est la pression dans le fluide ;
$ρ$ est la masse volumique du fluide
$η$ est la viscosité dynamique du fluide;
$\vec{f}$ est une force massique s'exerçant dans le fluide (par exemple : pesanteur) ;
$\overrightarrow{\mathrm{grad}}$ et $Δ$ sont respectivement les opérateurs différentiels gradient et laplacien.

Équation de Schrödinger

Article détaillé : Équation de Schrödinger.

$i\hbar {\part \psi \over \part t} \ = \left[ - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V\right] \psi$

Notations :

$\psi\left(x,y,z,t\right)$ , fonction d'onde.
$\hbar\$ constante de planck réduite.
m est la masse de la particule.
$i$ nombre complexe imaginaire tel que $i 2 = - 1$ .
V opérateur potentiel (représente le potentiel en tout point), en général électrique.
$Δ$ est le laplacien.

Équation de Klein-Gordon

Article détaillé : Équation de Klein-Gordon.

Soit $\psi\left(x,y,z,t\right)$ , fonction d'onde.

$-\hbar^2 {\part^2 \psi \over \part t^2} \ = - \hbar^2 c^2 \Delta \psi + m^2c^4 \psi$

Notations :

$\psi\left(x,y,z,t\right)$ , fonction d'onde.
$\hbar\$ constante de planck réduite.
m est la masse de la particule.
c est la vitesse de la lumière
$Δ$ est le laplacien.

Méthodes de résolution numérique

Les méthodes numériques les plus couramment utilisées pour la résolution des équations aux dérivées partielles sont :

Bibliographie

Lars Hörmander ; The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag (1983 à 1985). Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

Lars Hörmander ; Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag (1963). Le livre qui contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.

Yu.V. Egorov & M.A. Shubin ; Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag (2ème édition - 1998), ISBN 3-540-63825-3. Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l' Encylopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

Michael E. Taylor ; Partial Differential Equations - Basic Theory, Series: Texts in Applied Mathematics, Vol. 23, Springer-Verlag (2ème édition - 1999), ISBN 0-387-94654-3. Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

Vladimir I. Arnold ; Lectures on partial differential equations, Springer-Verlag (2004), ISBN 3-540-40448-1.

v · Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs • Champ scalaire • Équation aux dérivées partielles (de Laplace et de Poisson)
Opérateurs	Nabla • Gradient • Rotationnel • Divergence • Laplacien scalaire • Bilaplacien • Laplacien vectoriel • D'alembertien
Théorèmes	de Green • de Stokes • de Helmholtz • de flux-divergence • du gradient • du rotationnel

Portail de l'analyse

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Équation aux dérivées partielles de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

Equation aux derivees partielles — Équation aux dérivées partielles En mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles ou équation différentielle partielle (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vérifiant … Wikipédia en Français
Équations aux dérivées partielles — Équation aux dérivées partielles En mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles ou équation différentielle partielle (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vérifiant … Wikipédia en Français
Principe du maximum (équations aux dérivées partielles) — Pour les articles homonymes, voir principe du maximum. En mathématiques, et plus précisément en analyse, le principe du maximum est une propriété des solutions de certaines équations aux dérivées partielles, de type elliptique ou parabolique qui… … Wikipédia en Français
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications — On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d’équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions… … Encyclopédie Universelle
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique — Plus peut être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l’utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de… … Encyclopédie Universelle
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire — Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de… … Encyclopédie Universelle
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires — L’étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l’interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l’ingénieur sont non linéaires et une modélisation par… … Encyclopédie Universelle
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse microlocale — Soit P un opérateur différentiel sur un ouvert 行 de Rn , P = a 見(x ) Dx 見. | 見| 諒m Son symbole principal: s’interprète, si l’on fait un changement de coordonnées sur 行, comme une fonction sur T 行, le fibré cotangent à 行. Si P est à… … Encyclopédie Universelle
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) — LES ÉQUATIONS aux dérivées partielles sont sans doute le domaine des mathématiques où le lien avec la physique est le plus étroit. Il ne s’agit pas seulement du fait que les recherches les plus actives, et en général les plus importantes, ont été … Encyclopédie Universelle
Equation — Équation (mathématiques) Cet article concerne les équations mathématiques dans leur généralité. Pour une introduction au concept, voir Équation (mathématiques élémentaires). … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Équation aux dérivées partielles

Sommaire

Introduction